2011高考数学真题考点分类新编：考点10导数在研究函数中的应用与

1、2011高考数学真题考点分类新编：考点10导数在研究函数中的应用与 考点10 导数在研究函数中的应用 与生活中的优化问题举例 一、选择题 1（2011安徽高考文科10）函数f?x?axn?1?x?在区间?0,1?上的图象如图 2所示，则n可能是（ ） （a）1 （b）2 （c）3 （d）4 【思路点拨】 代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案. 【精讲精析】选a. 代入验证,当n=1时，f(x)?ax(1?x)2?a(x3?2x2?x)，则 1f?(x)?a(3x2?4x?1)，由f?(x)?a(3x2?4x?1)=0可知，x1?,x2?1，结合图象可知函 3111数应在（0，）递增，在递减

2、，即在x?处取得最大值，由 （,1）3331111f()?a?(1?)2?,知a存在. 33322.（2011辽宁高考理科11）函数f（x）的定义域为r，f（-1）=2，对任意xr，f?(x)?2，则f（x）2x+4的解集为 （a）（-1，1） （b）（-1，+?） （c）（-?，-1） （d）（-?，+?） 【思路点拨】先构造函数g(x)?f(x)?(2x?4)，求其导数，将问题转化为求g(x)单调性问题即可求解 【精讲精析】选b.构造函数g(x)?f(x)?(2x?4)，则g(?1)?f(?1)?(?2?4)?2?2?0，又因为f?(x)?2，所以g?(x)?f?(x)?2?0，可知g(x

3、)在r上是增函数，所以 f(x)?(2x?4)可化为g(x)?0，即g(x)?g(?1)，利用单调性可知，x?1选b. 3（2011安徽高考理科10）函数f?x?axm?1?x?在区间?0,1?上的图象如图 n所示，则m,n的值可能是 （a）m?1,n?1 (b) m?1,n?2 (c) m?2,n?1 (d) m?3,n?1 【思路点拨】本题考查函数与导数的综合应用，先求出f(x)的导数，然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m,n的取值. 【精讲精析】选b.函数f?x?axm?1?x?的导数 mmm),则f?(x)在(0,)上大于0，在(,1)上小于 m?nm?nm?n10，由图象可知

4、极大值点为，结合选项可得m=1,n=2. 3f?(x)?(m?n)axm?1(1?x)n?1(x?n二、填空题 4.（2011广东高考理科12）函数f(x)?x3?3x2?1在x? 处取得极小值. 【思路点拨】先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值的时刻. 【精讲精析】答案：2 由f?(x)?3x2?6x?0解得x?0或x?2，列表如下： x f?(x) f(x) ?,0? 0 ?0,2? 2 ?2,? + - + 增 极大值 减 极小值 增 ?当x?2时，y取得极小值. 5（2011辽宁高考文科16）已知函数f(x)?ex?2x?a有零点，则a的取值 范围是

5、 【思路点拨】先求f?(x)，判断f(x)的单调性结合图象找条件本题只要使f(x)的最小值不大于零即可 【精讲精析】选a，f?(x)=ex?2由f?(x)?0得ex?2?0， x?ln2由f?(x)?0得，x?ln2 f(x)在x?ln2处取得最小值 只要fmin(x)?0即可eln2?2ln2?a?0， a?2ln2?2 a的取值范围是(?,2ln2?2 6.（2011江苏高考12）在平面直角坐标系xoy中，已知点p是函数 f(x)?ex(x?0)的图象上的动点，该图象在p处的切线l交y轴于点m，过点p作l的垂线交y轴于点n，设线段mn的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_ 【思路点拨】本题考

6、查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t的表达式，然后考虑单调性求解最值。 【精讲精析】答案：(e?) 设p(x0,ex),则l:y?ex?ex(x?x0),?m(0,(1?x0)ex)，过点p作l的垂线 0000121e11y?ex0?e?x0(x?x0),n(0,ex0?x0e?x0)，t?(1?x0)ex0?ex0?x0e?x0?ex0?x0(e?x0?ex0) 22111t?(ex0?e?x0)(1?x0)，所以，t在(0,1)上单调增，在(1,?)单调减，tmax?(e?)。 22e三、解答题 ex7（2011安徽高考理科16）设f(x)?，其中a为

7、正实数 21?ax（）当a?时，求f(x)的极值点； （）若f(x)为r上的单调函数，求a的取值范围. 43【思路点拨】（）直接利用导数公式求导，求极值. （）求导之后转化为恒成立问题. 1?ax2?2ax【精讲精析】对f(x)求导得，f?(x)?e. (1?ax2)2x（）当a?时，令f?(x)?0，则4x2?8x?3?0.解得x1?,x2?， 列表得 433212x f?(x) f(x) 1(?,) 21 213(,) 223 2?3?,? ?2?+ 0 极大值 12- 0 极小值 + 所以，x1?是极小值点，x2?是极大值点. 1?ax2?2ax（）若f(x)为r上的单调函数，则f?(x

8、)在r上不变号，结合f?(x)?e(1?ax2)2x32与条件a0,知ax2?2ax?1?0在r上恒成立，因此?4a2?4a?4a(a?1)?0.由此并结合a0,知0?a?1. 8.（2011福建卷理科18）(本小题满分13分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y?a?10(x?6)2，其中x?33时，每日可售出该商品11千克. （i）求a的值。 （ii）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【思路点拨】(1)根据“销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克”可知销售

9、函数过点（5,11）,将其代入可求得a的值; （2）利润为y=(每件产品的售价-每件产品的成本) ?销量,表示出函数解析式后，可借助导数求最值. 【精讲精析】 （i）因为x?5时，y?11，所以?10?11,所以a?2. （ii）由（1）可知，该商品每日的销售量y?所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)?(x?3)2?10(x?6)2?2?10(x?3)(x?6)2,3?x?6. x?32?10(x?6)2, x?3a2从而f?(x)?10(x?6)2+2(x?3)(x?6)?30(x?4)(x?6). 于是，当x变化时，f?(x),f(x)的变化情况如下表， x f?(x) f(x) ?3,4? ? 4 0 极大值42 (4,6) ? 单调递增 单调递减 由上表可得，x?4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 所以，当x?4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 当销售价格为4元/千克时，商