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1、西北工业大学研究生矩阵论试题2006 矩阵论试题（06，12） 一. ?01?11?(18分)填空：设a?,b?. ?90?11?1. a-b的jordan标准形为j= 2. 是否可将a看作线性空间v2中某两个基之间的过渡矩阵（ ）。 3. 是否可将b看作欧式空间v2中某个基的度量矩阵。（ ） 4. vec(b)p，其中1?p?。 ?（ ） 5. 若常数k使得ka为收敛矩阵，则k 应满足的条件是（ ）。 6. a?b的全体特征值是（ ）。 7. 。 a?b2?（ ） (1)8. b 的两个不同秩的1-逆为b二.(10分)设a?c实数 验证 m?n?(1)?,b?。 ?,对于矩阵的2-范数 定义

2、a2和f-范数af， m?na?a2?af22 （任意a?c） a是cm?n中的矩阵范数，且与向量的2-范数相容。 3t?1?1e?1?3t?02?,b(t)?e?,x(0)?1?。 三.(15分)已知a?0?111?0?121. 求e； atd2. 用矩阵函数方法求微分方程x(t)?ax(t)?b(t)满足初始条 dt件x(0) 的解。 ?1?1四.(10分)用householder变换求矩阵a?1?1?解。 200?034?的qr分?030?204?2014?五.（10分）用gerschgorin定理隔离矩阵a?686?的特征 ?11i?值。（要求画图表示） ?0?1六. (15分)已知a

3、?1?2?101?1?212?3?,b?。 ?0101?121?3?1. 求a 的满秩分解； 2. 求a+； 3. 用广义逆矩阵方法判断线性方程组 ax=b 是否有解； 4. 求线性方程组ax=b的极小范数解，或者极小范数最小二乘解x0。（要求指出所求的是哪种解） 七.(15分)已知欧式空间r2?2 的子空间 ?x1v?x?x?3?22x2?x1?x4?0?, ?x4?x2?x3?0?r 2?2 ?a11a12? 中的内积为(a,b)?aijbij,a?, ?a?i?1j?1?21a22?b11b12?b?,v中的线性变换为t(x)=xp+xt, 任意x?v， ?b?21b22?01?p?. ?10?1. 给出子空间v 的一个标准正交基； 2. 验证t 是v 中的对称变换； 3. 求v 的一个标准正交基，使t 在该基下的矩阵为对角矩阵. 八. (7分) 设线性空间vn 的线性变换t 在基x1,x2,?,xn下的矩 阵为a，te表示vn

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