专项突破六 概率统计在高考中的热点题型

1、专项突破六概率统计在高考中的热点题型样本分布与概率的综合应用1.(2020 届陕西咸阳一模)随着全民健康运动的普及,每天一万步已经成为一种健康时尚.某学校为了教职工健康工作,在全校范围内倡导“每天一万步”健步走活动,学校界定每人每天走路不足 4 千步的为健步常人,不少于 16 千步的为健步超人,其他为健步达人,学校随机抽查了 36 名教职工,将他们每天的走步情况统计如下:现对抽取的 36 人采用分层抽样的方式选出 6 人.(1) 应从这三类人中各抽多少人?(2) 现从选出的 6 人中随机抽取 2 人,求这 2 人健步类型相同的概率.步数0,4000)4000,16000)16000,+)人数6

2、18122.(2020 届陕西西安质检)长时间用手机上网严重影响学生的身体健康,某校为了解 A,B 两班学生手机上网的时长,分别从这两个班中随机抽取 5 名同学进行调查,将他们平均每周手机上网的时长作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字).(1) 你能否估计哪个班级的学生平均每周手机上网时间较长?(2) 从 A 班的样本数据中随机抽取一个不超过 19 的数据记为 a,从 B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21 的数据记为 b,求 ab 的概率.3.(2020 届北京模拟)某公司对员工进行培训,有如下两种方式可以选择:方式一:周一到周五每天培训 1 小时,周日测试.

3、方式二:周六一天培训 4 小时,周日测试.公司有多个班组,每个班组 60 人,现任选两组(记为甲组、乙组)先培训,甲组选方式一,乙组选方式二,并记录每周培训后测试达标的人数如表所示.(1) 用方式一与方式二进行培训,分别估计员工受训的平均时间(精确到 0.1),并据此判断哪种培训方式效率更高.(2) 在甲、乙两组中,从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取 6 人,再从这 6 人中随机抽取 2人,求这 2 人中至少有 1 人来自甲组的概率.第一周第二周第三周第四周甲组2025105乙组81620164.(2020 届河北唐山三模)某市交管部门为了宣传新交规,举办了一次交识问答活动,工作

4、人员随机抽取了一批市民参与知识回答,并将他们按年龄分为五组,各组人数的频率分布直方图如图所示,知识回答结束后,统计各组回答正确的人数如表所示.组别年龄回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例(1) 分别求出 a,b,x,y 的值.(2) 从第 2,3,4 组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取 6 人,则第 2,3,4 组每组应分别抽取多少人?(3) 在(2)的前提下,决定在抽取的 6 人中再随机抽取 2 人颁发幸运奖,求第 2 组至少有 1 人获得幸运奖的概率.统计案例与概率的综合应用第 1 组15,25)50.5第 2 组25,35)a0.9第 3 组35,45)27x第 4 组45,55)

5、b0.36第 5 组55,65)3y1.(2020 届江西模拟)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可参加一次抽奖.随着抽奖活动的开展,参与抽奖活动的人数越来越多,该商场对前 5 天参加抽奖活动的人数进行统计,y 表示第 x 天参加抽奖活动的人数,得到统计表如下:经过进一步统计分析,发现 y 与 x 具有线性相关关系.(1) 若从这 5 天中随机抽取两天,求至少有 1 天参加抽奖的人数超过 70 的概率.(2) 请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程y =b x+ a ,并估计若该活动持续 7天,共有多少名顾客参加抽奖. xiyi-nx y 55参考

6、公式及数据: b =, a =y-bx, xiyi=1200, 2=55.=1n22 -nx=1=1i=1x12345y506070801002.(2020 届江西上饶一模)在 2019 年高考数学的全国卷中,文科和理科的选做题题目完全相同,第 22 题考查坐标系和参数方程,第 23 题考查不等式选讲.某校高三质量检测的命题采用了全国卷的模式,在测试结束后,该校数学组教师对该校全体高三学生的选做题得分情况进行了统计,得到两题得分的统计表如下(已知每名学生只做了一道题):第 22 题的得分统计表第 23 题的得分统计表(1)完成如下 22 列联表,并判断能否有 99.9%的把握认为选做题的选择与

7、文、理科的科类有关.(2) 判断该校全体高三学生第 22 题和第 23 题中哪道题的得分率更高(得分率=题目平均分题目满分100%,结果精确到 0.01%).(3) 按分层抽样的方法在第 23 题得分为 0 的学生中随机抽取 6 名进行单独辅导,并在辅导后随机抽取 2 名学生进行测试,求被抽中进行测试的 2 名学生均为理科生的概率.(-)2附:K2=,其中 n=a+b+c+d.(+)(+)(+)(+)P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828选做 22题选做 23题合计文科人数理科人数总计得分035810理科人数1010152540文科人数552505得分

8、035810理科人数507080100500文科人数520105703.(2020 届重庆质量调研)某科技兴趣小组对昼夜温差的大小与小麦新品种发芽多少之间的关系进行了研究,记录了 2019 年 12 月 1 日至 12 月 5 日五天的昼夜温差与相应每天 100 颗种子的发芽数,得到如下数据:现从这 5 组数据中任选两组,用余下的三组数据求回归方程,再对被选取的两组数据进行检验.(1) 求选取的两组数据恰好是不相邻的两天的概率.(2) 若选取的是 12 月 1 日和 12 月 5 日的两组数据,请根据余下的三组数据,求出 y 与 x 的回归方程y =b x+ a .(3) 若由回归方程得到的估

9、计值与所选出的两组实际数据的误差均不超过两颗,则认为得到的回归方程是可靠的,试判断(2)中得到的回归方程是否可靠. xiyi-nx y附:在回归方程y =b x+ a中, b =2 .=1n2 -nxi=1日期12 月 1日12 月 2日12 月 3日12 月 4日12 月 5 日温差 x()911101213发芽数y(颗)21342636404.(2020 届辽宁沈阳模拟)某网络平台从购买该平台某课程的客户中,随机抽取了 100 位客户的数据,并将这100 个数据按学时数、客户性别等进行统计,整理得到下表.(1) 根据上表估计男性客户购买该课程学时数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值

10、代表,结果保留两位小数).(2) 从这 100 位客户中,对购买该课程学时数在 20 以下的女性客户按照分层抽样的方式随机抽取 7 人,再从这 7 人中随机抽取 2 人,求这 2 人购买的学时数都不低于 15 的概率.(3) 将购买该课程达到 25 学时及以上者视为“十分爱好该课程者”,25 学时以下者视为“非十分爱好该课程者”.请根据已知条件完成以下 22 列联表,并判断能否有 99.9%的把握认为是否为“十分爱好该课程者”与性别有关?(-)2附:K2=,n=a+b+c+d.(+)(+)(+)(+)P(K2k0)0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0

11、246.63510.828非十分爱好该课程者十分爱好该课程者合计男性女性合计100学时数5,10)10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)男性181299642女性24827134概率统计与函数在决策优化中的综合应用1.(2020 届福建泉州一模)鱼卷是泉州十大名小吃之一,不但本地人喜欢,还深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷生产和批发多年,有不少来自零售商和酒店的客户.当地的习俗是农历正月不生产鱼卷,客户正月所需要的鱼卷都会在农历十二月底进行一次性采购.小张把去年年底采购鱼卷的数量 x(单位:箱)在100,200)的客户称为“熟客”,并把他们去年采购的数量绘制成下

12、表:(1)根据表中的数据,补充完整下面的频率分布直方图,并估计采购数在 168 箱以上(含 168 箱)的“熟客”人数.采购数 x100,120)120,140)140,160)160,180)180,200)客户数10105205(2)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总销售量的5,估算小张去年年底的总销售量(同8一组中的数据用该组区间的中点值代表).(3)由于鱼卷受到游客们的青睐,小张做了一份市场调查,决定今年年底是否在网上出售鱼卷.若没有在网上出售鱼卷,则按去年的价格出售,每箱利润为 20 元,预计销售量与去年持平;若计划在网上出售鱼卷,则需把每箱售价下调 2 至 5 元,

13、且每下调 m(2m5)元,销售量可增加 1000m 箱.求小张在今年年底收入 Y(单位:元)的最大值.2.(2020 届安徽滁州模拟)经过多年的努力,炎陵黄桃在国内乃至国际上逐渐打开了销路,成为炎陵部分农民脱贫致富的好产品.为了更好地销售,现从某村的黄桃树上随机摘下了 100 个黄桃进行测重,其质量(单位:克)分布在区间200,500内,统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示.(1) 按分层抽样的方法从质量在350,400),400,450)的黄桃中随机抽取 5 个,再从这 5 个黄桃中随机抽 2 个,求这 2 个黄桃至少有一个质量不小于 400 克的概率.(2) 以各组数据的中间数值代表

14、这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知该村的黄桃树上大约还有100000 个黄桃待出售,某电商提出两种收购方案:A. 所有黄桃均以 20 元/千克收购;B. 低于 350 克的黄桃以 5 元/个收购,高于或等于 350 克的以 9 元/个收购. 请你通过计算为该村选择收益最好的方案.3.某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过 200 度的部分按 0.5 元/度收费,超过 200 度但不超过 400 度的部分按 0.8 元/度收费,超过 400 度的部分按 1.0 元/度收费.(1) 求某户居民用电费用 y(单位:元)关于月用电量 x(

15、单位:度)的函数解析式;(2) 为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年 1 月份 100 户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这 100 户居民中,今年 1 月份用电费用不超过 260 元的占 80%,求 a,b 的值;(3)在满足(2)的条件下,估计 1 月份该市居民平均用电费用(同一组中的数据用该组区间的中点值代表).4.(2020 届福建质检)如图是某小区 2018 年 1 月至 2019 年 1 月当月在售二手房均价(单位:万元/平方米)的散点图(图中月份代码 113 分别对应 2018 年 1 月2019 年 1 月).根据散点图选择 y=a+b和y=

16、c+dln x 两个模型进行拟合,经过数据处理得到两个回归方程分别为y =0.9369+0.0285和y =0.9554+0.0306ln x,并得到以下一些统计量的值:(1)请利用相关指数 R2 判断哪个模型的拟合效果更好.y =0.9369+0.0285xy =0.9554+0.0306ln x残差平方和13 (yi- yi)2 i=10.0005910.000164总偏差平方和13 (yi-y)2i=10.006050(2) 某位购房者拟于 2019 年 6 月份购买这个小区 m(70m160)平方米的二手房(欲购房为其家庭首套房),请你利用(1)中拟合效果更好的模型解决以下问题:(i) 估算该购房者应支付的购房金额.(购房金额=房款+税费,房屋均价精确到 0.001 万元/平方米)(ii) 若该购房者拟用不超过 100 万元的资金购买该小区的一套二手房,试估算其可购买的最大面积.(精确到 1平方米)附注:假设二手房交易需要缴纳若干项税费,税费是按房屋的计税价格进行征收(计税价格=房款).主要征收方 式见下表:参考数据:ln 20.69,ln 31.10,ln 172.83,ln 192.94,21.41,31.73,174.12,194.36.2 (yi- y i)参考公式:相关指数