对数的换底公式及其推论

1、最新资料推荐课题： 2.7.3 对数的换底公式及其推论教学目的 ：1掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题2培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力；教学重点： 换底公式及推论教学难点： 换底公式的证明和灵活应用.授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：对数的运算法则如果 a 0， a1 ， M 0 ， N 0有：loga (MN)loga M logaN(1)loga Mloga M loga N(2)Nloga M nnloga M(nR)(3)二、新授内容：1. 对数换底公式 ：log a Nlog m N

2、1 ，m 0 ,m1,N0)( a 0 ,alog m a证明 ：设log a N = x ,则 a x= N两边取以 m 为底的对数： log m a xlog m Nx log m a log m N从而得：log m N log a Nlog m Nxlog m alog m a2. 两个常用的推论 : log a b log b a1 ，log a b log b c log c a1 log a m b nn log a b （ a, b 0且均不为 1）m证： log alg blg a1b log b alg blg a1最新资料推荐 logm bnlg b nnlg bn lo

3、g a balg a mm lg am三、讲解范例：例 1已知 log 2 3 = a， log 3 7 = b,用 a, b表示 log 4256解：因为 log 2 3 = a1log 3 2, 又 log 3 7 = b,，则alog 3 56log 3 73log 3 2ab3 log 42 56log 3 7 log 3 21abb1log 3 421log0.2 3 log 4 3log9 2log 14 32例 2 计算： 52解：原式 =555155log0. 23log 511353原式 =1 log 2 31 log 3 25 log 2 2153224442例 3 设 x

4、, y, z (0,) 且 3x4 y6 z1求证111；2比较 3x,4 y,6z的大小x2 yz证明 1 ：设 3x4 y6zk x, y, z (0,) k 1取对数得： xlg k，ylg klg klg 3， zlg 6lg 411lg 3lg 42 lg 3lg 42 lg 32 lg 2lg 61lg k 2 lg k2 lg k2lg klg kzx 2 ylg k lg642 3x 4 y ( 34 ) lg klg 64 lg 81 lg klg 3lg 4lg 3lg 4810lg 3lg 4 3x4 y2最新资料推荐46lg 36 lg 64lg k lg 9又： 4

5、y6z160() lg klg klg 2 lg 6lg 4lg 6lg 2 lg 6 4 y6z 3x4 y6z例 4 已知 log a x= log a c+b，求 x分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c 移到等式左端，或者将 b 变为对数形式解法一：由对数定义可知： xalog a c balog a cabca b解法二：由已知移项可得 log a xlog a cb ，即 log axbc由对数定义知：解法三：xa bxc a bcb logaa bl o g xl o g cl o

6、g abl o ga c abx c abaaa四、课堂练习：已知log 18 9 = a ,18b = 5 ,用 a, b表示 log 36 45解：log 189 = a log 18181log18 2a log 18 2 = 1 a2 18b= 5 log 18 5 = blog 18 45log 18 9log 18 5ablog 36 451log 18 22alog 18 36若 log 8 3 = p ,log 35 = q,求 lg 53最新资料推荐log 8 3 = p log 233log 2 33 plog 31解： p23 p又 log 3 5qlg 5log 3 5

7、log 3 53 pqlog 3 10log 3 2log 3 513 pq三、小结本节课学习了以下内容：换底公式及其推论四、课后作业 ：log ax1log a b1证明：log ab x证法 1：设 log a xp， log ab x q ， log a br则： xa px(ab) qa qb qba r a p( ab) qa q(1r )从而pq(1r ) q0p1r 即：log ax1 log a b （获证）log ab xq证法 2： 由换底公式左边 log axlog x ablog a ab 1log a b 右边log ab xlog x a2已知 log a1b1log a2b2log a nbn求证： log a1a2an (b1b2bn )证明：由换底公式lg b1lg b2lg bn由等比定理得：lg a1lg a2lg anlg