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1、1,2.9 闭区间上连续函数 的性质,介值定理( intermediate value theorem ),最大值(maximum )和 最小值(minimum)定理,一、最大值和最小值定理,定义:,例如,定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.,注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.,定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.,证,二、介值定理,定义:,几何解释:,几何解释:,证,由零点定理,推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值 之间的任何值.,例1,证,由零点定理,例2,证,

2、由零点定理,构造辅助函数！,闭区间上连续函数的性质常用于:,证明某些等式;,判断某些方程根的存在性或实根的范围.,例,证明:任何实系数奇数次代数方程必有实根.,证,设实系数奇数次代数方程为,设,且不妨设,由于,故,故,由零点定理,即方程有实根.,因为,在闭区间,上连续,使得,证,例,证明:,令,介值定理,使,即得,一个登山运动员从早上7:00开始攀登某座山峰 ,在下午7:00到达山顶,第二天早上7:00再从山顶开始沿着上山的路下山,下午7:00到达山脚.试问:这个运动员在这两天的某一相同时刻是否会经过登山路线的同一地点？,问题,练习,证,则,零点定理,且,三、小结,四个定理,有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.,注意1闭区间； 2连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立,解题思路,1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;,2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;,16,作业,习题2.9 (第49页) 证明3，4，5； 阅读并思考其余习

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