考研数学《线性代数》考点知识点总结

1、第一章行列式二元线性方程组：，排列的逆序数：（为排列中大于且排于前的元素个数）为奇数奇排列，为偶数偶排列，标准排列。n阶行列式：=t为列标排列的逆序数定理1：排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性推论：奇（偶）排列变为标准排列的对换次数为奇（偶）数定理2：n阶行列式可定义为=行列式的性质：1d=dt，dt为d转置行列式(沿副对角线翻转，行列式同样不变)2互换行列式的两行(列)，行列式变号记作：（）推论：两行(列)完全相同的行列式等于零记作：（）3行列式乘以k等于某行(列)所有元素都乘以k记作：（）推论：某一行(列)所有元素公因子可提到行列式的外面记作：（）4两行(列)元素成比例的行列式为零记作

2、：（）5 上式为列变换，行变换同样成立6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变记作：()，不变注：任何n阶行列式总能利用行运算ri+krj化为上(下)三角行列式对角行列式，上d（下dt）三角形行列式若对设，则有d=d1d2若2n阶行列式，有d2n=(ad-bc)n余子式：n阶行列式中把所在的第行和第列去掉后，余下n-1阶行列式代数余子式：引理：n阶行列式d中，若第行所有元素除外都为零，则有定理3：(代数余子式性质)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘机之和推论：行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘机

3、之和等于零或其中范德蒙德行列式：证明用数学归纳法克拉默法则：设方程组，若，则方程组有惟一解：，其中定理4：若上线性方程组的系数行列式，则方程组一定有惟一解；若无解或有两个不同解，则定理5：若齐次线性方程组(bn=0)的系数行列式，则齐次线性方程组无非零解；若有非零解，则第2章 矩阵及其运算n阶单位矩阵(单位阵)：对角矩阵(对角阵)：另可记作纯量阵：，矩阵与矩阵相乘：若是一个矩阵，是一个矩阵，且，则是一个矩阵，且;若，称与是可交换的矩阵转置：若，则，若，为对称阵方阵的行列式：n阶方阵元素构成的行列式，记或方阵行列式的运算规律：1；2；3，伴随矩阵：为行列式中对应元素的代数余子式逆矩阵：若，则可逆

4、，且称为的逆矩阵，记=-1，的逆阵是唯一的定理1：若矩阵可逆，则定理2：若，则矩阵可逆，且奇异矩阵：当时，称为奇异矩阵矩阵可逆的充要条件：，即矩阵是非奇异矩阵。运算规律：1；2；3；4矩阵的m次多项式：，多项式可相乘或分解因式1 若，则，2 （对角阵），则,分块矩阵的运算规律：加减相乘与矩阵相同。分块对角矩阵：（其中以及均为方阵），若，则性质：，且，则若，则行向量：，列向量：若，则第3章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换：rc初等行(列)变换：1()；2()（）；3()矩阵间等价：行等价：；列等价：；等价：（矩阵a经有限次初等变换变成矩阵b）行阶梯型矩阵：阶梯线下为零，一行一台阶，竖线

5、后非零元。行最简形矩阵：竖线后非零元为1，同列其它元为0标准型：或矩阵经初等变换总能化为标准型等价类：所有等价矩阵组成的集合，标准型为其中形状最简单矩阵。初等矩阵：单位矩阵经一次初等变换所得矩阵e(f)（f为变换规则）：1：()；2：()（）；3：()定理1：矩阵a初等行变换，初等矩阵左乘e(f)a；初等列变换，初等矩阵右乘ae(f)定理2：r方阵a可逆的充要条件：存在有限个初等矩阵e1(f)。e2(f)，el(f)，使a=e1(f)e2(f)el(f)r推论1：方阵a可逆rr推论2：存在可逆矩阵与q，使paq=b重要性质：方阵a可逆，则(a，e)(e，a-1)(a，b)(e，a-1b)，x=

6、a-1b(a，b)(e，x)或矩阵的秩：标准型f中非零行的行数r，记r(a)且r+1阶子式全等于零，r阶非零子式称a的最高阶非零子式。矩阵a的k阶子式：取a中k行与k列交叉处的k2个元素且不改变对应位置组成的k阶行列式。定义：零矩阵的秩为0；满秩矩阵（可逆矩阵），降秩矩阵（不可逆即奇异矩阵）。矩阵秩的性质：0r(amn)minm，n；r(at)=r(a)；若，则r(a)=r(b)；若p、q可逆，则r(paq)=r(a)；maxr(a)，r(b)r(a，b)r(a)+r(b)，特例，当b=b为列向量时，有r(a)r(a，b)r(a)+1；r(a+b)r(a)+r(b)；r(ab)minr(a)，

7、r(b)；若amnbnl=0，则r(a)+r(b)n定理4：元线性方程组（i）无解的充分必要条件是；（ii）有惟一解的充分必要条件是；（iii）有无限多解的充分必要条件是线性方程组有解，称它相容；无解，就称它不相容定理5：线性方程组有解的充要条件是定理6：元齐次线性方程组有非零解的充要条件是定理7：矩阵方程有解的充要条件是定理8：设，则定理9：矩阵方程只有零解的充要条件是第4章 向量组的线性相关性注：列向量用黑体小写字母、等表示，行向量则用、等表示，若无指明均当列向量定义：向量b能由向量组a线性表示：b=1a1+2a2+mam(i为实数)或可记为(x为一列向量)n维向量(组)：向量(组中每个向

8、量)由n个数组成。向量组等价：两向量组能相互线性表示向量组a线性相关：k1a1+k2a2+kmam=0（ki不全为0)，反之线性无关。向量组的秩：从向量组a中可选出r个向量线性无关，且任意r+1向量都线性相关，r为秩，记ra性质：矩阵a与b行等价，则a的行向量组与b的行向量组等价；列等价，则列向量组等价定理1：向量b能由向量组a：a1，a2，am线性表示的充要条件是r(a)=r(a，b)定理2：向量组b：b1，b2，bl能由向量组a：a1，a2，am线性表示的充要条件是r(a)=r(a，b)推论：向量组a：a1，a2，am与向量组b：b1，b2，bl等价的充要条件是r(a)=r(b)=r(a，

9、b)定理3：若向量组b：b1，b2，bl能由向量组a：a1，a2，am线性表示，则r(b)r(a)逆阵推广：n维单位坐标向量组e：e1，e2，el能由n维向量组a：a1，a2，am线性表示的充要条件是r(a)=n定理4：向量组a：a1，a2，am线性相关的充要条件是r(a)0时一定线性相关。设向量组a：a1，a2，am线性无关，而向量组b：a1，am，b线性相关，则向量b必能由向量组a线性表示，且表示式是唯一的。定理6：矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩推论：由向量组a中部分向量组成向量组a0，若满足a0线性无关且a中任一向量都能由a0线性表示，则向量组a0便是向量组a的一个

10、最大无关组定理7：设矩阵a的秩r(a)=r，则n元齐次线性方程组的解集s的秩rs=nr解的结构：方程通解：x=k11+k22+ktt；方程通解：x=k11+k22+ktt+*基础解系，t=n-r向量空间：非空，封闭（加法、数乘运算均在集合内进行）的n维向量的集合称向量空间由线性无关向量组a1，a2，ar(基)所生成的r维(维数)向量空间为：v=x=1a1+2a2+rar|1，2，rr，i称为x在基a1，a2，ar中的坐标，若基取单位坐标向量组，则该基称自然基。空间向量v的基就是向量组的最大无关组，v的维数就是向量组的秩。变换公式：基变换公式：b=ap；坐标变换公式：xb=p1xap=a1b，p

11、1=b1a，其中a为旧基矩阵，b为新基矩阵，xa为旧基中的坐标列向量，xb为新基中的坐标列向量。p=a1b称为过渡矩阵第5章 相似矩阵及二次型内积性质：1.x，y=y，x；2.x，y=y，x；3.x+y，z=x，z+y，z；4.当x=0时，x，x=0；当x0时，x，x0施瓦茨不等式：x，y2x，xy，yn维向量x的长度(范数)： 向量长度：性质：1.非负性：当x0时，|x|0；当x=0时，|x|=0；2.其次性|x|=|x|；3.三角不等式|x+y|x|+|y|向量夹角：（x0，y0），当x，y=0时，称向量x与y正交；若x=0，x与任何向量都正交。定理1：若n维向量a1，a2，ar是一组两两

12、正交的非零向量，则a1，a2，ar线性无关定义：规范正交基：基中向量两两正交且都是单位向量；规范正交基中坐标计算公式： 施密特正交化(基规范正交化)：正交矩阵：n阶矩阵a满足ata=e（即a1=at）a为正交阵的充要条件：a的列(行)向量均是单位向量，且两两正交正交阵：正交阵构成一个规范正交基。性质：1.若a为正交阵，则a1=at也为正交阵，且|a|=1或(-1)；正交变换：y=px（p为正交阵），且|y|=|x|2.若a和b均为正交阵，则ab也是正交阵方阵特征定义：若ax=x成立，数称为方阵a的特征值，非零向量x称为a的对应于特征值的特征向量。特征方程：|ae|=0；特征多项式：f()=|a

13、e|=(1-)(2-)(n-)，f()是的n次多项式。特征性质：设n阶矩阵a=（aij）的特征值为i，则11+2+n=a11+a22+ann；212n=|a|若pi是方阵a的对应特征值i的特征向量，则kpi（k0）也是对应于i的特征向量若是方阵a的特征值，则：1k是ak的特征值；2当a可逆时，1/是a1的特征值；3()是(a)的特征值(其中()=a0+a1+amm；(a)=a0e+a1a+amam）定理2：设1，2，m是方阵a的特征值，p1，p2，pm是对应的特征向量，若i各不相等，则pi线性无关定义：若对矩阵a，b有，p1ap=b，则称b是a的相似矩阵对a进行运算p1ap称对a进行相似变换定

14、理3：若a与b相似，则a与b的特征多项式相同，且a与b的特征值亦相同推论：若a与对角阵相似，则1，2，n即是a的n个特征值定义：把方阵a对角化：p1ap=；可求得=diag(1，2，n)，其中i为a特征值定理4：n阶矩阵a与对角阵相似（即a能对角化）的充要条件：a有n个线性无关的特征向量。推论：若n阶矩阵a的n个特征值互不相等，则a与对角阵相似。定理5：对称阵的特征值为实数。定理6：设1，2是对称阵a的两个特征值，p1，p2是对应的特征向量若12，则p1与p2正交定理7：设a为n阶对称阵，则必有正交阵p，使p1ap=ptap=，其中是以a的n个特征值为对角元的对角阵推论：设a为n阶对称阵，是a

15、的特征方程的k重根，则矩阵ae的秩r(ae)=n-k，从而对应特征值恰有k个线性无关的特征向量对称阵a对角化的步骤：1 求出a的全部特征值1，2，s，它们的重数依次为k1，k2，ks(k1+k2+ks=n)2 分别对ki重特征值i，求(ae)x=0的基础解系，得ki个线性无关特征向量，把它们正交化、单位化3 把求出的总共n个正交、单位向量构成正交阵p，便有p1ap=ptap=，p列向量与的对角元对应二次型：1基本函数式：f(x1，x2，xn)=a11x21+a22x22+annx2n +2a12x1x2+2a13x1x3+2an-1,nxn-1xn2（1中满足）3f=xtax，2中记对称阵a=

16、（aij），xt=（x1，x2，xn）4标准形(或法式)：f=1y21+2y22+ny2n（x=cy代入1）5规范形：f=z21+z2pz2p+1z2r(x=pz代入1，即4中i只取1，-1或0)6f=(cy)tacy=yt(ctac)y（x=cy代入3）7f=yty，4中记=diag(1，2，n)，yt=（y1，y2，yn）定义：二次型与对称阵a之间一一对应，a叫做二次型f的矩阵，f叫做a的二次型，a的秩叫做二次型f的秩设n阶矩阵a与b，若有可逆矩阵c，使b=ctac，则称矩阵a与b合同（若a对称则b对称且r(a)=r(b)）定理8：二次型f总有正交变换x=cy，使f化为标准形f=1y21+

17、2y22+ny2n，其中i是f的矩阵a=（aij）的特征值。推论：二次型f=xtax(at=a)，总有可逆变换x=pz，使f(pz)为规范形f变换：已知x=cy，ctac=diag(1，2，n)，其中i是f的矩阵a=（aij）的特征值，设y=kz，对角阵k=diag(k1，k2，kn)，根据二次型各种形式有f=xtax=yt(ctac)y=ztkt(ctac)kz=ztktkz，且得x=ckz，ktk=diag(1k21，2k22，nk2n)，且得规范形f=1k21z21+2k22z22+nk2nz2n其中配方变换：1二次型有平方项x2i，直接配方2二次型无平方项，有乘积项x2ix2j，取xi=yi+yj，xj=yiyj定理9（惯性定理）：设有二次型f=xtax，