同达插班生数学历年真题2

1、同达插班生高分辅导基地咨询电话33626002网址：同达 2016-2017 插班生历年真题（下）五：空间解几与多元微分学 证明三平面: x = cy + bz, y = az + cx, z = bx + ay 经过同一直线的充要条件是:1.a2 + b2 + c2 + 2abc = 1.已知点 A(1,0, 0) , 点 B(0,1,1) , 线段 AB 绕 z 轴旋转一周所成旋转曲面为S , 求由S ,z = 0 和 z = 1所围立体的体积 2.zzy设函数 z = arctan，则 x+ y=3.()xyxA : x ；B

2、: y ；C : z ；D : 0 。函数 f (x, y) 具有连续的偏导数, 已知 f / (x, y) 0,如果a= f (1,1),b= f (-1,1)4.xyc = f (-1, -1) , d = f (1,-1) 四个数中最大的数是 M ,最小的数是 m ,则有()A : M = a, m = d ;B : M = c, m = a ;C : M = d , m = b ;D : M = b, m = d .y z则 x z + y z设函数 z = z(x, y) 由方程 F ( , ) = 0 确定,且 F 0 ,=其中 F 为可微函数,5.()2xyx xC : - x

3、;D : - zA : x ;B : z ;设函数 z = f (x, y) 的全微分为dz = xdx + ydy , 则点(0, 0) :6.()A : 不是 f (x, y) 的连续点;B : 不是 f (x, y) 的极值点;C :是 f (x, y) 的极大值点;D :是 f (x, y) 的极小值点.（y2 +1)x若 f (x, y, z) =，则 f yy (1,1,1) = 7.z31同达插班生高分辅导基地咨询电话33626002网址：8. 函数 z = (x2 +1)ln y 的全微分 dz ( ) = 1,e2

4、z19. z =f (xy) , 其中 f 具有二阶连续导数, 则: = xyx2 z10. 设 z = f (2x- y) + g(x, xy),其中 f , g 有二阶连续导数.则 = x y2 z则 = xy11. 设函数 f (u, v) 具有二阶连续偏导数, z = f (x, xy) ,12. 设函数 z = z(x, y) 由方程(z + y)x = xy 确定,则 z= .(1,2)xx + y + b = 0x + ay - z = 3在平面P 上, 而平面P 与曲面 z = x + y相切于点13. 设直线l :22M 0 (1,-2,5) , 则 a, b 分别为: z,

5、 z14. 求由方程 z2 - x2 y + ez - x = 1所确定函数 z = z(x, y) 的偏导数 以及yx (1,1,1)(1,1,1)2 z二阶偏导 y2.(1,1,1) z215. 设 z = z(x, y) 由方程 x 3y + sin( y - z) = z 确定的函数, 求二阶偏导数 , 其中 P 为 x20P0y = z = 1所对应的点。16. 设 z = z(x, y) 是由方程 x2 + y2 - z = j(x + y + z ) 所确定的函数, 其中j具有二阶导数,1( z - z ) ,ux且j -1, (1)求: dz ;(2)记u(x, y) =求:x

6、 - y xy2z2z17. 设函数 f (u) 具有二阶连续导数, z = f (e cos y) 满足+= (4z + e cos y)e .x2xxx2y22同达插班生高分辅导基地咨询电话33626002网址：若 f (0) = 0, f (0) = 0 ，求 f (u) 的表达式。18. 求出 f (x, y) =（1+ e y )x 2 + ye y 的极值，并且说明是极大还是极小值。19. 求二元函数 f (x, y) = x2 (2 + y 2 ) + y ln y 的极值.20. 已知函数 f (u, v) 具有连续的

7、二阶偏导数, 且 f (1, 1) = 2 是 f (u, v) 的极值,2 zz = f (x + y, f (x, y) , 求 :.xy(1, 1)21. 求函数 f (x, y, z) = x3 y 2 z 的最大值, 其中点(x, y, z) 位于第一卦限的椭球面 y2 + z223x2 += 1 (x 0, y 0, z 0) 上。x2 + y2 - 2z2 = 0已知曲线C : , 求曲线C 上距离 xoy 面最远点和最近点.22.x + y + 3z = 5六：重积分23. 设 f (x) 是连续奇函数, g(x) 是连续偶函数,区域 D = (x, y) 0 x 1, -则正

8、确的是:x y xA : f ( y)g(x)dxdy = 0 ;B : f (x)g( y)dxdy = 0 ;DDC : f (x) + g( y)dxdy = 0 ;D : f ( y) + g(x)dxdy = 0 .DD2 F1xyuF (x, y) =du f (uv)g( )dv , 则 =24. 设函数 f , g 连续,且 xyu10A : f (xy)g( 1) ;xC : xf ( y)g(1) ;xB : xf (x2 y)g(1 );xD : f (x 2 y)g( 1) .x25. 设 D 是由曲线 y = x2 - 3 与直线 x + y + 1 = 0 所围的有

9、界闭区域, 函数 f (x, y) 在 D 上3同达插班生高分辅导基地咨询电话33626002网址：连续, 则将二重积分 I = f (x, y)ds化为先对 y 再对 x 的二次积分时,D26.设 D 为由直线: y = x, y = -x 和 x = 1 所围的闭区域, 则(x2 y3 + ex2 )dxdy = Dx计算 ydxdy , 其中 D 由 xy = 1, x = y 及 y = 2 围成.27.D计算 yds, 其中 D 由直线5x + y = 0, 2x + y - 6 = 0 以及 x 轴所围.28.D2y =

10、0 围成.计算(x + y)3 dxdy , D 由曲线 x = 1+ y 2 与直线 x +2y = 0 及 x -29.D计算(x2 - y)dxdy , 其中 D : x2 + y2 1 .30.D31.闭区域 D = x2 + y2 2 5x , 求 (x2 + y2 )ds.D计算 xyds, 其中区域 D 为曲线 r = 1+ cosq (0 q p) 与极轴围成.32.D计算 xydxdy , 区域 D 由 y = x , 圆 x2 + y2 = 2y 及 y 轴所组成33.Dx2 + y2 t 2设 f (u) 连续, f (0) = 1, 令 F (t) =f (x 2 +

11、y 2 )dxdy , 求: F (0) .34.4同达插班生高分辅导基地咨询电话33626002网址：35. 求马鞍面 z = xy 被柱面 x2 + y2 = 1所截得有界部分的曲面面积.七：线面积分36. 设S 为 x2 + y2 = 2 被平面 z = 0, z = 4 所割下的部分, 则(x2 + y2 + xz)dS =S= 1 , 则(x +y)dS = 37. 设曲面 :x +y +z38. 设S = (x, y, z) x + y + z = 1, x 0, y 0, z 0 , 计算 y2dS .S39. 求曲线积

12、分 ( y3 - y + sin x2 )dx + (e y2 - x3 )dy 的最大值, 其中 L 为平面内光滑的简单 L闭曲线, 并取正向.40. 已知 L 是第一象限中从点(0, 0) 沿圆周 x2 + y2 = 2x 到点(2, 0) , 再沿圆周 x2 + y2 = 4 到点(0, 2) 的曲线段, 计算曲线积分 I = 3x2 ydx + (x3 + x - 2 y)dy .Lx = t - sin t -p(x - y)dx + (x + y)dy41. L 为摆线:,t : 0 2p, 求: y = 1- cos t.x2 + y2L42. 设正函数 f (x) 具有连续导数

13、, 满足 f (1) = 1 , 且在区域 D = (x, y) x 0 内积分: yex f (x) - ydx -ln f (x)dy 与路径无关, 求: f (x) .xL43. P(x, y) 为二元可微函数,且 P(0,1) = 1 , 又积分 I1 = (3xy 2+ x )3dx + P(x, y)dyL及 I2 = P(x, y)dx + (3xy + x )dy 都与积分路径无关, 则 P(x, y) = .23L5同达插班生高分辅导基地咨询电话33626002网址：设在上半平面 D = (x, y)y 0内,函数

14、f (x, y) 具有连续的偏导数, 且对任意t 044.都有 f (tx, ty) = t -2 f (x, y) . 证明: 对 D 内任意分段光滑的有向简单闭曲线 L , 都有:Lyf (x, y)dx - xf (x, y)dy = 0 .45. 计算(z2 + x)dydz ,其中S 为 z = 1 (x2 + y 2 ) 介于 z = 0 和 z = 2 之间部分下侧.2Sexdydz , 其中S 为锥面 x =y 2+ z (21 x 2) 的外侧.S46. 计算y 2+ z247. 计算 xy2dydz + (2x + e z )dzdx + (x2 z + 2y2 )dxdy

15、 , 其中S 是曲面 z =x2 + y2S位于0 z 2 的部分, 曲面法向与 z 轴正向的夹角为钝角.48. 设S 为曲面 z = x2 + y2 (z 1) 的上侧，计算曲面积分： I = (x -1)3 dydz + ( y -1)3 dzdx + (z -1)dxdyS49. -xy2dydz + y3dzdx + 2zx2dxdy , 其中S 为 x2 + y2 = 1(0 z 2) 内侧.S50.设G 是球面S x2 + y2 + z2 = 1外侧位于 x 0, y 0, z 0 部分正向边界曲线,求流速场: v = ( y2 - z 2 )i + (z 2 - x2 ) j +

16、 (x2 - y2 )k , 沿G 的环流量F = v dr.Gx2y2z251. 在变力 F = ( yz, zx, xy) 作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面:+= 1a2b2c2上第一卦限的点 M (u, v, w) ,问当u, v, w 取何值时,力 F 所作的功W 最大?并求出最大值.6同达插班生高分辅导基地咨询电话33626002网址：52. G 是曲面 z = xy2 与柱面 x += 1的交线, 从 z 轴正向看向 z 轴的负向, 曲线G 是顺y时针方向的, 计算曲线积分 (x - y2 + 2z)dx + (xy

17、+ x3 + 3z)dy + (2x + 3y)dz .G八：无穷级数53. lim 1 + 2 +L+n =(n +1)!2!3!nC : e -1 ;D : e +1 .A :1;B : e ;则un 发散的充分必要条件是 54. 已知un 0(n = 1, 2, 3,L) ,n=1nA : lim uk = - ;B : lim un = - ;n k =1nnD : lim uk = + .C : un 是数列;n k =11155. 判断级数(-1)n (en - cos ) 的收敛性.nn=1A :条件收敛;B :C :发散;D :无法判别.绝对收敛;(-1)nn2-a1n=156

18、. 已知级数(-1)n sin 绝对收敛,条件收敛, 则a范围为 nnaB : 1 a 1;2n=1A : 0 a 1 ;2C : 1 a 3 ;2D : 3 a 0 , 讨论(2 n a - n b - n c ) 的敛散性.59.n=160. 设an 为单调递增的有界正数列, 证明级数 (1-) 收敛.anan+1n=1已知 an cn bn , 且 an , bn , 收敛,证明: cn 也收敛.61.n=1n=1n=1f (x)1= 0 ,求级数 f ( ) 的敛散性.62. 设 f (x) 在 x = 0 邻域具有二阶连续导数,且limx0xnn=1163. 将函数 f (x) =展

19、开成 x -1的幂级数, 并指出其收敛区间.x2 - 3x - 42n64. 求幂级数xn的收敛域, 以及该幂级数在收敛域内的和函数.n +1n=0(-1)n-1求幂级数x2n 的收敛域及和函数.65.2n -11n2 + n +1求幂级数xn的收敛域及和函数.66.n!18同达插班生高分辅导基地咨询电话33626002网址：x2x4x6x2 n67. 求幂级数1-+-+ L+ (-1) n + L 的和函数.(2 n)!22 42 4 64n2 + 4n + 368. 求幂级数x2n 的收敛域及和函数.2n +1n=0n n2 -

20、n + 169. 求和: (-1).2nn=0多元微分(2015 东华) a = (-3, 2,1), b = (2,1, -2) ， 求a 在b 上的投影.【】(2015 上理)向量 a, b, c 为两两垂直的单位向量, 则 s = a + b + c 与c 的夹角为 (2014 上理)一平面过 x 轴, 与平面 y = x 成 p 夹角, 求此平面.3x - 4y -10x -1y - 2z -3= z - 4 和直线 L2 :=(2014 同济)证明: 直线 L1 :相交, 并38473求它们夹角的平分线方程.sin(x2 + xy + y2 )=(2014 复旦) limx0y0发散

21、.x2 + y2 2u2u求 + .x2y2(2014 海事)设u = ln (x -1) +2 ( y -1) , 2(2014 同济)设 z = z(x, y) 是由方程 x2 + y2 + z2 = 3xyz 所确定的隐函数, u = xy2 z3 ,9同达插班生高分辅导基地咨询电话：021-3362600133626002网址：u求 . x (1,1,1)(2015 海事) ez = xyz , 求 dz .【】(2014 海事) xyz +x2 + y 2 + z 2 =2 在(1,0, -1) 处的全微分 dz = . (2015 东华) ux3x

22、2yxe x, ux 3y sin y ，且u(0, 0)1 .求u(x, y) 。 y2 z2 zxy(2014 上大) z = f (,), f (u,v) 二阶可导, 求y x,.xy x2z2 z(2015 上理)已知 z = f (xy, e x+ y ), f (x, y) 具有二阶连续偏导数，求,。x xy2u + 2u- 1 u - u = 0 , 求 f (u) .u = f ( x + y ) , 已知 22(2014 复旦) xy2x x2x - a y -b) = 0 . 证明: 切平面过恒定点.(2014 上理) F (,z - cz - c(2015 上理)在曲面

23、z = xy 上求一点，使曲面在该点处的切平面平行于平面x + 3y + z + 9 = 0 ， 写出切平面方程。 (2015 同济)求经过 L : x - 6 = y - 3 = 2z -1 的 x2 + 2y2 + 3z2 = 21 的切平面.-22110同达插班生高分辅导基地咨询电话33626002网址：(2014 同济)求函数u = 1 (其中 r =x2 + y2 + z 2 )在点 P (x , y , z ) 处的梯度, 并证明在 0000r该点的梯度与球面 x2 + y2 + z2 = r 垂直( 2r =x2 + y

24、2 + z2 ) 200000f(x, y)-xy=1, 则:(2014 华理)已知函数 f (x, y) 在点(0, 0) 的某个邻域内连续, 且limx0y0(x2 + y2)2A : (0, 0) 点不是 f (x, y) 的极值点;B : (0, 0) 点是 f (x, y) 的极大值点;C : (0, 0) 点是 f (x, y) 的极小值点;D : 根据所给条件无法判断点(0, 0) 是否为 f (x, y) 的极值点;(2014 东华)求 f (x, y) = x2 + 2 y 2 + 4xy 在 x2 + y2 1条件下的最大最小值.(2014 海事)用多元函数极值方法求 x2

25、 - 4xy + 5y2 = 1的长半轴与短半轴.(2015 海事)求 F = ln x + ln y + 3ln z 在 x2 + y2 + z2 = 5R2 上的最大值.(2015 东华)求(x - y)2 - z 2 = 1 上的点到原点的最短距离.多元积分 (2014 上大)求 x1+ yf (x2 + y 2 )ds, D : y = x3 , x = -1, y = 1 所围.Ddxdy , D : 0 x 1, -1 y 1 .(2015 上大) D112- y(2014 海事)求 dxedy .0x11x - y同达插班生高分辅导基地咨询电话3362

26、6002网址：y22(2015 上理)交换二次积分 dyf (x, y)dx 的积分次序。02 y 1f (x)bbdx(b-a)2 .f (x) 在区间a, b 上连续,且恒大于零.证明 f (x)dx(2014 华理)设函数 aa(2014 海事)设 D = (x, y) x2 + y 2 1, 求(x +1)2 ds. Dln( x2 + y2 )dxdy .(2015 海事) limt 0+t2 x2 + y2 1(2014 复旦) D = (x, y) x 2 + y 2 2x, x 2 + y 2 x, 求(x + y)2 ds. D(2014 海事

27、)设 D =(x, y) 1, 求ex+ yds.x +yD(2015 海事)求 (x2 y2 +1)dxdy , D 是由 y = x, y = 4x, y = 1 , y = 2 所围成的区域.xxD(2015 上大) f (t) = e +f ( x + y )dxdy , D : x + y t , 求 f (t) . 222222D(2015 交大)求 z = x2 - y2 被 x2 + y2 = 2, x2 + y2 = 6 两柱面所截部分的曲面面积. (2015 上理)求由曲面 z =2 - x2 - y 2 与 z =x2 + y2 所围成的立体的体积。 (2014 上大)求

28、(x - R)2 + y2 + z 2 dv , W : x2 + y2 + z2 R2 (R 0) 所围. W(1+ x + y + z)2(2015 上大) 1+ x2 + y2 + z2 dxdxdz ,W : x + y + z222 1 (z 0) .W12同达插班生高分辅导基地咨询电话33626002网址：(2015 东华)立体W 由 z =x2 + y2 和 z = 1围成，计算x2 + y2 + z2 dv . W(2014 交大)求由 z = 2(x2 + y 2 ), x2 + y 2 = x, x2 + y 2

29、= 2x, z = 0 所围立体的体积. x2y2(2015 东华) (2xy + 3x2 + 4 y 2)ds, L :+= 1 ，其周长为 a .43L(2014 同济)设S : x2 + y2 + z2 = a2 (z 0), S 为S 在第一卦限的部分, 则有 1A : xdS = 4 xdS ;B : ydS = 4 ydS ;SS1SS1C : zdS = 4 zdS ;D : xyzdS = 4 xyzdS .SS1SS1S : x2 + y2 + z2 = 2z . (2014 复旦)求 (x2 + 3 y2 + 5z2 )dS ,S(2015 上大) (ex cos y -

30、2x - 2 y)dx - (ex sin y - x)dy ,LL : y =2x - x 2 从 A(2, 0) 到O(0, 0)ydx - xdyx +=1正向边界., L :y(2014 上大)求 x2 + y2ydx - xdy(2014 东华)求 LL : x2 + y2 = 1 正向边界.,x2 + 2 y2(x - y)dx + (x + y)dyx2y2(2014 同济)设 L 为椭圆+= 1, 逆时针方向, 9求 L.x2 + y2413同达插班生高分辅导基地咨询电话33626002网址：x2 - 3y dy +

31、y3dx ， L : x2 + y2 = 4 正向. (2015 同济) L(2014 同济)计算 I = (y2 + z2)dx+(z2 + x2)dy+(x2 + y2)dz, G为球面 x2 + y2 + z2 = 2bx 与柱 G面 x2 + y2 = 2ax(b a 0) 的交线(z 0) , 从 z 轴正向看, G 方向逆时针.(2015 上大) xy2dydz + yz2dzdx + zx2dxdy , S : z =R2 - x2 - y2 (z 0) 上侧.S(2015 东华) S : z2 = a2 - x2 - y2 取上半球上侧，求 xy2dydz + yz2dzdx + x2 zdxdy . Sx2y2z2+ = 1 上半部分上侧.(2015 同济)计算： (2x3 + 3y 2)dydz + y 3dzdx, S : +a2b2c2S无穷级数n +1 -