2019年第四届爱尖子能力测评--数学答案

1、 第四届爱尖子能力测评数学 2019 年第四届爱尖子数学能力测评一试考试时间：80 分钟满分：120 分一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1.解：本题等价于在集合 A 中选两个数（可以相同），使其和分别可以凑成3, 4,5, 6, 7 由于3, 4, 5, 6 这四个数已能凑出来，故只需要凑7 ，所以 x 可取6,5, 4, 7 共 4 种 2解： AD = ( AB + BC + CD) = AB + BC + CD + 2AB BC + 2 AB CD + 2BC CD ， 22222.所以 AB BC + AB CD + BC CD = -7 ， AC BD = (AB + BC

2、 ) (BC + CD) = AB BC + AB CD + BC CD + BC BC = -7 + 16 = 9 解：因为对任意正整数n ，均有a1a2 + a2a3 + anan+1 = na1an+1 ， 3.+ an-1an = (n -1)a1an , n 2 两式作差得，所以a1a2 + a2a3 +anan+1 = a1 nan+1 - (n -1)an , n 2 = 2 ，且易知数列a 为正项数列，等式两边同时除以n (n -1)a aa，有n n+11n3= 3 n -1, n 2 2n1(n -1)an11(n -1)n, n 2 由累加法知， 1 -a21= 3 -n

3、an+1nan+12因为a = 1 ，所以a22=, n 2 ，即a =, n 3 n+12nn + 3n + 222又因为当n = 1, 2 时， a = 2 ， a = 1 也满足，所以a =, n N* 12nn + 232n + 21111故=, n N ，所以 +a1a2*+= 1021614 an2a20191 第四届爱尖子能力测评数学 4.解：1, 2,3 的全排列有 6 种，若从最高位到最低位的顺序是1, 2,3 ，则1, 2 和2, 3 之间必须插入数，共 2 种 （即15263 和16253 ）同理，若从最高位到最低位的顺序是3, 2,1，也有两种 若从最高位到最低位的顺序

4、是1,3, 2 ，则3, 2 之间必须插入一个数，有 2 种选择， 1,3 之间可插入数也可不插入数则另一个数可放在1,3 前，可放在1,3 之间，也可放在 2 的后面，共有 3 种选择，所以此类有2 3 = 6 种选择， 那么同理若从最高位到最低位的顺序是2,1,3; 2,3,1;3,1, 2 ，各有 6 种 所以满足要求的五位数共有2 2 + 6 4 = 28 个 解：因为a 0 ， x - , ，所以 f (x) = a sin x +a cos x a sin x -a ，5.2 2当且仅当 x =- p 时， f (x )取最小值-a 2另一方面， f (x) = a sin x +

5、a cos x = a2 + a sin(x + j )， 0,j 0, p aa其中cosj = 0,sin j =2 a + a2a + a2所以当且仅当 x = p - j 时， f ( x) 取最大值 a2 + a 2 0, 1 a1所以 g (a) =a2 + a - a =2 a + a + a211 + 1a解：设四棱锥 A - BCDE 的外接球半径为 R ，球心为O ，正方形 BCDE 的中心为G 则有OG面 BCDE 设OG = x ，因为OA2 = R2 = OB2 ， 6.2311121所以- x += R2 = x2 +，解得 x =, R =24262 37.解：依

6、题意可知，直线l 与椭圆C 相交，且在第二象限内有且只有 1 个点到直线l : x - 2y + 2 = 0 的距离为 2 3 ，设该点为 P ( x , y ) ，根据点到直线的距离公式有， 0032 33=，即 x0 - 2 y +0 2 = 2 ，因为椭圆C : x2 + 2 y2 = m 上有且只有 3 个 32x0 - 2 y0 + 2 第四届爱尖子能力测评数学 不同的点到直线l : x - 2y + 2 = 0 的距离为 2 3 ， 3所以过点 P ( x0 , y0 ) 的切线l : xx0 + 2 yy0 = m 与直线l : x -2y + 2 = 0 平行， 2y0 ，联立

7、可得， P (-2,2 ) 或 P (0, 0) （舍去），因为 P (-2,2 ) 在椭圆上，所以 x0 = -所以m = 8 8.解：对 7 名男生的站法进行分类： （1） 7 = 7 : 有n + 1 种站法；（2） 7 = 5 + 2 : 由插空法可知有2C2 种站法； n+1（3） 7 = 4 + 3 :由插空法可知有2C2 种站法； n+1（4） 7 = 3 + 2 + 2 : 由插空法可知有3C3 种站法 n+1所以这 7 名男生中至少有 5 名男生连在一起的概率 2C2 + n + 1n +121= 4036 ，又因为n N* ，所以nmin = 4037 二、解答题（第 9

8、小题 16 分，第 10、11 小题 20 分，共 56 分）sin (645x)sin (695x)sin(670x)解： y = tan (645x) - tan (670x) + tan (695x) =+-9.cos(645x)cos(695x)cos(670x)sin (670x) 2 cos2 (670x) - cos(645x)cos (695x) cos(645x)cos(670x)cos(695x)2sin (670x)cos(670x) sin(670x)=-=cos(645x)cos(695x)cos(670x)= sin (670x) 1 + cos(1340x) -

9、cos(645x)cos (695x) = sin (670x) 1 - sin (645x)sin (695x)cos(645x)cos(670x)cos(695x)cos(645x)cos(670x)cos(695x)8 分 kp易知sin(645x)sin(695x) 1，所以令 y = 0 有， x =, k 670, k N 12 分670但当k = 67, 201,335, 469, 603 时，函数无意义， 所以函数 y = tan (645x) - tan (670 x ) + tan (695 x ) 在 x 0,p 有 666 个零点16 分 3 第四届爱尖子能力测评数学

10、证明：因为a= a - 1 a2 a , n N* ，所以a a = 1,n N* ， 10.n+1nnnn12故不存在n N* ，使得a = 2 ， n因为a = 1, a= a - 1 a2 = 1 a (2 - a ), n N* ，所以对于任意n N* ，都有a 0 ，1n+1nnnnn22所以a 1又因为 a= 1 a a = 1 , n 2 ， (2 - a ), n N* 且 an+1nn+1nnn2a22n+1an an+1an2 4 , n 2 故1 4 , n 2 5 分=所以2 - an3an+131= a - a , n N ，所以a = 2 a - a)，(因为a =

11、 1, a2*21n+1nnnn+1n2由累加法知， Tn = 2(a1 - an+1 ) = 2 - 2an+1 15 分an 1 , 2 , n 2 ，因为a= a - 1 a2 , n N* ，所以a - a= 1 a2 ，所以11-= 23 n+1nnnn+1n22aa2an+1nn+1- 2 n -1, 2n - 2 , n 2 ，所以a 32, n 2 ，1a由累加法知，,2n + 4 n + 3 n+123n+1故T 2n + 2 , 2n + 1 2 因为当n = 1时， T = a2 = 1 n + 3n + 2 , nn11所以对任意正整数n ，都有 2n + 2 T 2n

12、 +1 20 分 n +3nn + 2证二：由a= a - 1 a2可得a 2= 2- aa() ，累加得到T = 2(a - a) = 2 -2an+1nnn+1n1n+1n+1nn22n + 2 2n +1 ，即证32故要证明 T n +3n2n +4 an+1 n +3 10 分n + 2当 n = 1时， a = 1 ，结论成立 221若 n = k 时结论成立，则n = k + 1 时 a= a- a2k +2k +1k +12注意 f (x) = x - 1 x2 在 x 1 时单调递增，而32 1 15 分 ak+12k + 4k + 322(k + 2)22122故 ak +

13、2 k +- = 0, D 0 ， A x , y , B22001122()()8 9x + 4 y20144 1 - y200x + x =, x x =10 分 129x2 +16 y21 29x2 + 16 y20000x23xx9x()因为直线l : y =所以 y y =1 -x + x+x x ， 0 01 - 01 2121 2y2y4160 40 x2y212 - 4 y2因为 M 为椭圆C1 :+= 1 上任一点，所以 x2 = 0 0433故FA FB = ( x1 +1, y1) (x2 +1, y2 ) = x1x2 + x1 + x2 +1+ y1y29x29x9(

14、)+= 1 + x x + 1-x + x+ 1 15 分 0 01 21216y24y2y20 0 0()(144 1 - y28 9x + 4 y209x2 +16 y24y2 - 9x900= 00 +00 + 116 y29x2 +16 y24 y29x2 +16 y2y20000000()9 1 - y22 4 y4 + 27 y2 - 8190=+ 00+ 19 + y2y2y2y20000= 801 - 72 y2 - 9 y4 + 8y4 + 54 y2 -162 + 9 y2 + 81 + y4 + 9 y20 = 0 所以AFB = 90 为定值 00000()y 9 +

15、y2200综上所述， AFB = 90 为定值20 分5 第四届爱尖子能力测评数学 加试考试时间：170 分钟满分：180 分一、解：取a = 40,b = 5,c = 3 ，可得k 1600 +125 +81 +2019 80 40 + 5 + 310 分下证a2 + b3 + c4 + 2019 79(a + b + c)79a - a2 = a (79 - a) 792 1561431 79 2 (79b - b3 )2 = 1 (79 - b2 )(79 - b 2 ) 2b 2 2712 ，故79b - b3 271 2234179 13()()()()379c - c=79 - c

16、79 - c43379 - c 3c 33 1613 ，故79c - c4 161334三式相加可得79(a + b + c) - a2 - b3 - c4 79(a + b + c) 综上， k 的最大值为 7940 分二、解：取子集T = 673,674, 675, 2019，可知此时 T= 1347 且不满足要求10 分故 n 1348 下证 S 的任意 1348 元子集一定满足要求反证，若存在 S 的 1348 元子集T ，使得T 的任意三个不同元素之和均不为 2019设T 中的最小元素为m ，易知m 672 （否则选不出 1348 个数） 考虑m + 1,m + 2, 2018 -

17、2m 这2018 - 3m 个数，它们首尾配对之和均为2019 - m ，故这两个数中最多只能取一个（否则与m 之和为 2019，与假设不符），至少需去掉 2018 - 3m 个数30 分2而从 m 到 2019 共有 2020 - m 个数故一共最多选2020 - m - 2018 - 3m 个数所以2020 - m - 2018 - 3m 1348 22注意m 672 时上述不等式不成立矛盾综上可得n 的最小值为 134840 分6 第四届爱尖子能力测评数学 如图，设 AD 与圆 AI1I2 交点为 Z ，在 AZ 上取点 X1 使得 ZX1 = XB 三、由 I1 X = I1Z ， I

18、1ZA = BXI1 ，可得I1ZX1I1 XB 10 分 所以 BX = ZX1 ， XBI1 = I1 X1Z A再由XBI1 = DBI1 ， BDI1 = X1DI1 ， X1故X1I1DBI1D XY所以 BX = DX1 - DZ = BD - DZ 30 分 I1I2ZC同理设 AD 延长线与圆 AI1I2 交点为 Z ， BDYJ2X在 AZ 延长线上取点 X2 使得 Z X 2 = X B ZJ1X2类似可证J1Z X 2J1 X B， X2 J1DBJ1D 所以 BX = DX 2 - DZ = BD - DZ 40 分 从而 BX - BX = DZ - DZ 同理可证得

19、CY - CY = DZ - DZ ，故 BX - BX = CY - CY 原命题得证 50 分 证二：设BAD = 2a ， CAD = 2b AI1 sin (对 AX , AI1, AI2 由托勒密定理（三弦定理），得 AX = AI2 sin类似可得 AY =10 分 所以 AX - AY = AI1 (sin (2a + b ) + si = 2AI1 cosa - 2AI2 cos b 20 分 cosa = AB + AD - BD ， AI cos b = AC + AD - CD 由内心性质，可得 AI 1222故 AX - AY = ( AB - AC ) - (BD -

20、 CD) 30 分 AJ1 sin (2a + b ) - AJ2 sinasin (a + b )AJ2 sin (a + 2b ) - AJ1 sin bsin (a + b )类似可得 AX =， AY =， 7 第四届爱尖子能力测评数学 AX - AY = 2AJ1 cosa - 2AJ2 cos b 40 分 cosa = AB + AD + BD ， AJ cos b = AC + AD + CD 而 AJ1 222故 AX - AY = ( AB - AC ) + (BD - CD) 所以 AX + AX - AY - AY = 2(AB - AC ) 注意 BX = AB -

21、AX ， BX = AX - AB ， CY = AC - AY ， CY = AY - AC ， 代入即可得证 50 分 四、证：我们先证明如下引理： 给定整数 n（ n 0 ）， n 至多只能表示为2 + log2证明：设 n 可以表示为 m 个不同非零整数 x1, x2 ,n 个不同整数的乘积 , xm 的乘积，则 x1 x2xm = n 除去1 以外，上述其余整数的绝对值都不小于 2，故2m-2 n 从而m 2 + log2n ，结论成立 10 分 对给定质数 p ，设正整数 k 使得 f (x) = (x - a1 )( x - a2 )(x - ak )+ p = g (x) h(x) 其中 g (x) 和 h ( x) 是次数小于 f ( x) 的整系数多项式 则 g (a1 )h(a1 )= g (a2 )h (a2 )= g (ak )h (ak ) = p 注意 p 只能分解为1 p 或 p 1 或(-1)(- p) 或(- p)(-1) 20 分不妨设第一种情况最多，使得 g (a1 ) = g (a2 ) = g (at ) = 1 ，h(a1)= h(a2 )= h(at ) = p 则 g (x) = (x - a1 )( x - a2 )(x - at )G (x) +1 ，h(