高三一轮复习导学案07 第02章 第04节 - 函数的奇偶性与周期性

1、高三一轮复习导学案07 第02章 第04节 - 函数的奇偶性与周期性， 2.4 函数的奇偶性与周期性 1.奇、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做偶函数. 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做奇函数. 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称. 2.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性_，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性_. (2)在公共定义域内， 两个奇函数的和是_，两个奇函数的积是偶函数； 两个偶函数的和、积都是_； 一个奇函数，一个偶函数的积是_.

2、3.周期性 (1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xt)_，那么就称函数yf(x)为周期函数，称t为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中_的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 4.对称性 若函数f(x)满足f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)，则函数f(x)关于直线xa对称. 难点正本 疑点清源 1.函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)(或f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数).

3、其中包含两个必备条件： 定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义 域有利于准确简捷地解决问题； 判断f(x)与f(x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立. 2.函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. (2)若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)f(|x|). (3)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)0. f(0)0是f(x)为奇函数的既不充分

4、也不必要条件. (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”. (5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如f(x)0，定义域是关于原点对称的任意一个数集). 1.已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是_. 2.下列函数中，所有奇函数的序号是_. f(x)2x43x2；f(x)x32x； x21 f(x)；f(x)x31. x 3.(2011广东)设函数f(x)x3cos x1.若f(a)11，则f(a)_. 4.设函数f(x)是定义在r上的奇函数，若当x(0，)时，f(

5、x)lg x，则满足f(x)0的x的取值范围是_. 5.定义在r上的函数yf(x)是奇函数，且满足f(1x)f(1x).当x1,1时，f(x)x3，则f(2 013)的值是( ) a.1 b.0 c.1 d.2 题型一 函数奇偶性的判断 例1 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)9x2x29； (2)f(x)(x1) 4x2(3)f(x). |x3|3 1x ； 1x 探究提高 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的； (2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以

6、转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立. 分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)lg 1x ；(2)f(x)(x1) 1x 2 2 2x ； 2x lg?1x2? (3)f(x)xx ?x0?，xx ?x()对任意x，y(1,1)都有：f(x)f(y)f? ?xy?； ?1xy? ()当x(，0)时，f(x)0，回答下列问题. (1)判断f(x)在(1,1)上的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数f(x)在(0,1)上的单调性，并说明理由； 1

7、?1?1?f?1?f?1?的值. (3)若f?，试求f?5?2?2?11?19? 探究提高 对于抽象函数单调性和奇偶性的判断一般要紧扣定义.通过赋值要出现：f(x1)f(x2)与0的大小关系，f(x)与f(x)的关系.就本题来讲要注意运用x0的条件. 函数yf(x)(x0)是奇函数，且当x(0，)时是增函数，若f(1)0， 1 求不等式fx(x)2题型三 函数的奇偶性与周期性 例3 设f(x)是定义在r上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x).当x0,2时，f(x)2xx2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x2,4时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)f(1)f(2

8、)?f(2 011). 探究提高 判断函数的周期只需证明f(xt)f(x) (t0)便可证明函数是周期函数， 且周期为t，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题. 1 已知f(x)是定义在r上的偶函数，并且f(x2)，当2x3时， f?x? f(x)x，则f(105.5)_. 2.等价转换要规范 试题：(12分)函数f(x)的定义域dx|x0，且满足对于任意x1，x2d.有f(x1x2)f(x1)f(x2). (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明； (3)如果f(4)1，f(3x1)f(2x6)3，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围. 学生

9、解答展示 审题视角 (1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1x21.(2)判断f(x)的奇偶性，就是研究f(x)、f(x)的关系.从而想到赋值x11，x2x.即f(x)f(1)f(x).(3)就是要出现f(m)n的形式求解. 规范解答 解 (1)令x1x21， 有f(11)f(1)f(1)，解得f(1)0.2分 (2)f(x)为偶函数，证明如下：4分 令x1x21， 有f(1)(1)f(1)f(1)，解得f(1)0. 令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)， f(x)f(x).f(x)为偶函数.7分 (3)f(44)f(4)f(4)2， f(164)f(16)f(4)3.8分

10、 由f(3x1)f(2x6)3， 变形为f(3x1)(2x6)f(64).(*) f(x)为偶函数，f(x)f(x)f(|x|). 不等式(*)等价于f|(3x1)(2x6)|f(64).9分 又f(x)在(0，)上是增函数， |(3x1)(2x6)|64，且(3x1)(2x6)0. 711 解得x333 711 x的取值范围是x|x333 批阅笔记 数学解题的过程就是一个转换的过程.解题质量的高低，取决于每步等价转换的规范程度.如果每一步等价转换都是正确的、规范的，那么这个解题过程就一定是规范的.等价转化要做到规范，应注意以下几点： (1)要有明确的语言表示.如“m”等价于“n”，“m”变形为“n”. (2)要写明转化的条件.如本例中：f(x)为偶函数，不等式(*)等价于f|(3x1)(2x6)|f(64). (3)转化的结果要等价.如本例：由于f|(3x1)(2x6)|f(64)?|(3x1)(2x6)|64， 且(3x1)(2x6)0.若漏掉(3x1)(2x6)0，则这个转化就不等价了. 方法与技巧 1.正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握