高数证明题(1)

1、高数证明题(1) 四、重点关注题目 1.证明：方程 ?x0t4dt?4x?2在区间（1,2）只有唯一实根。 2.设f(x)在0,1上连续，且f(x)?1，证明：方程2x?个实根。 3.设f(x)在?0,?上连续，且f(x)?1，证明：方程 2?x0f(t)dt?1在（0,1）内只有一 ?x01?t4f(t)dt?0cosxe?tdt?0在 2? ?0,?内有唯一实根。 ?2? 4. 试证:当0?x1?x2?2时, tanx2x2? tanx1x15. 当x?0时,arctanx?1? x26.当x?0时，(1?x)e?2x?1?x 7.证明：当1?x?0时，2ln(1?x)?ln2(1?x)?

2、2x 8.证明：当x?0时，(1?x)ln(1?x)?arctanx 9.证明：当0?x?y?2时， 1tany?tanx1? cos2xy?xcos2y10. 当x?1时，试证： 1n?1x?1x?1x?1?ln?. x?1221n1n?11naa?aa?(a?1,n?1) (n?1)2lnan2x?ln(x?1)?x 12.证明：当x?0时， x?111. 证明： 13.试证：当a?b?0,n?1时，nbn?1(a?b)?an?bn?nan?1(a?b). ?14. 设f(x),g(x)在a,b上连续，证明存在?(a,b)使得 f(?)?g(t)dt?g(?)?f(t)dt. ?ab15.

3、设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)?0，试证：?(a,b)，使得f?(?)?kf(?)?0成立（k为实常数）. 16. 设函数f(x)在闭区间0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(1)?1证明：在 预测押题参考，绝密考情通报，敬请关注云飞押题班 (0,1)内至少存在一点?，使得f(?)?f?(?)?2?0成立 18. 证明：19. 求证： ?n?1in?2，并计算i6?2sin6xdx. 20. 设in?2sinxdx，试证in?00nn?20sinxdx?cosnxdx. xsinxxf(sinx)dx?f(sinx)dx，并计算?dx。 01?cos

4、2x20n20?0?21.设函数f(x)在区间0,1上连续，且（1） ?10f(x)dx?0，证明： ?f(1?x)?f(x)dx?0； 01（2）?(0,1)，使得f(1?)?f(?)?0. 23.设f(x),g(x)在?a,a上连续，g(x)为偶函数，f(?x)?f(x)?2， 证明： ?a?af(x)g(x)dx?2?g(x)dx. 0a24. 设f(x)在x?x0处导数存在，试证：f(x)在x?x0处连续。 25. 设函数f(x)在区间(a,b)内处处导数存在，且f?(x)?0，试证：f(x)在区间(a,b)内是增函数。 26. 设函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f?(x)?0，试证：f(x)在区间(a,b)内是常值函数。 27.已知函数f(x)在a,b上连续，设f(x)?xa f(t)dt,x?a,b，试证：f?(x)?f(x)。 28.数f(x)在