高考数学第二轮专题复习 - 圆锥曲线

1、高考数学第二轮专题复习 - 圆锥曲线 高三数学第二轮专题复习- 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线c(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫 做方程的曲线. 点与曲线的关系 若曲线c的方程是f(x,y)=0，则点p0(x0,y0)在曲线c上?f(x0,y 0)=0； 点p0(x0,y0)不在曲线c上?f(x0,y0)0 两条曲线的交点 若曲线c1，c2的方程分别为f1(x,

2、y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点p0(x0,y0)是c1，c2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点. 2.圆 圆的定义 点集：mom=r，其中定点o为圆心，定长r为半径. 圆的方程 (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是 222 (x-a)+(y-b)=r 圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是 222x+y=r (2)一般方程 22 当d+e-4f0时，一元二次方程 22 x+y+dx+ey+f=0 de叫做圆的一般方程，圆心为(-,-，半径是 22x+y+dx+e

3、y+f=0化为 2 2 d2?e2-4f.配方，将方程 2d2e2d2?e2-4f(x+)+(y+)= 422当d+e-4f=0时，方程表示一个点 (-2 22 2 de,-); 22当d+e-4f0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心c(a,b),半径为r,点m的坐标为(x0,y0)，则 mcr?点m在圆c内， mc=r?点m在圆c上， mcr?点m在圆c内， 其中mc=(x0-a)?(y0-b). (3)直线和圆的位置关系 直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 直线和圆的位置关系的判定 (i

4、)判别式法 (ii)利用圆心c(a,b)到直线ax+by+c=0的距离d= 22aa?bb?ca?b22与半径r的大小关系 来判定. 3.椭圆、双曲线和抛物线 椭圆、双曲线和抛物线的基本知识见下表. 曲 线 椭 圆 双曲线 性 质 点集：(mmf1+点集：mmf1-轨迹条件 mf2=2a,f 1f2mf2. 2a =2a,f2f22a. 圆 形 抛物线 点集m mf=点m到直线l的距离. x2y2+=1(ab0) 标准方程 a2b2顶 点 轴 a1(-a,0),a2(a,0); b1(0,-b),b2(0,b) 对称轴x=0,y=0 长轴长：2a 短轴长：2b f1(-c,0),f2(c,0)

5、 焦点在长轴上 f1f2=2c， c=a2-b2 x2y2-2=1(a0,b2ab0) a1(0,-a),a2(0,a) 对称轴x=0,y=0 实轴长：2a 虚轴长：2b f1(-c,0),f2(c,0) 焦点在实轴上 f1f2=2c, c=a2?b2 y2=2px(p0) o(0,0) 对称轴y= f(焦 点 p，0) 2焦点对称轴上 焦 距 准 线 a2x= c准线垂直于长轴，且在椭圆外. a2x= c准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧. x=-p 2准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等. 离心率 e=c,0e1 ae=c,e1 ae=1 4.圆锥曲线的统一定义 平面内的动点p(x,y

6、)到一个定点f(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点f(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率. 当0e1时，轨迹为椭圆 当e=1时，轨迹为抛物线 当e1时，轨迹为双曲线 5.坐标变换 坐标变换 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做 坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点 的坐标与曲线的方程. 坐标轴的平移 坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫 做坐标轴的平移，简称移轴. 坐标轴的平移公式 设

7、平面内任意一点m，它在原坐标系xoy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x oy中的坐标是(x,y).设新坐标系的原点o在原坐标系xoy中的坐标是(h,k)，则 x=x+h x=x-h (1) 或(2) y=y+k y=y-k 公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式. 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程 中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表. 方 程 焦 点 焦 线 对称轴 (x-h)2a2椭圆 (x-h)2b2(x-h)2a2双曲线 (y-k)2a22(y-k)2+b2(y-k)2+a2(y-k)2-b2(x-h)2-b2=1 (c+h,k) =1 (h,c+k) =1 =1 (c+h

8、,k) (h,c+h) (y-k)=2p(x-h) (y-k)=-2p(x-h) 抛物线 (x-h)=2p(y-k) (x-h)=-2p(y-k) 222p+h,k) 2p(-+h,k) 2p(h, +k) 2p(h,- +k) 2(a2x=+h ca2y=+k ca2=+k ca2y=+k cpx=-+h 2px=+h 2py=-+k 2py=+k 2x=h y=k x=h y=k x=h y=k x=h y=k y=k y=k x=h x=h 二、知识点、能力点提示 (一)曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点 说明 在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简

9、.特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求 出的曲线方程才能准确无误.另外，要求会判断 曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标. 三、 考纲中对圆锥曲线的要求： 考试内容： . 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程； . 双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质； . 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质； 考试要求： . (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程； . (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质； . (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质； . (4)了解圆锥曲线

10、的初步应用。 四对考试大纲的理解 高考圆锥曲线试题一般有3题(1个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计22分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查以圆锥曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。 求圆锥曲线的方程 【复习要点】 求指定的圆锥曲线的方程是高考命

11、题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. 定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0). 定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. 【例

12、题】 【例1】 x2y2双曲线=1(bn)的两个焦点f1、f2，p为双曲线上一点， ?4b2|op|5,|pf1|,|f1f2|,|pf2|成等比数列，则b2=_. 解：设f1(c,0）、f2(c,0)、p(x,y),则 |pf1|2+|pf2|2=2(|po|2+|f1o|2)2(52+c2), 即|pf1|2+|pf2|250+2c2, 又|pf1|2+|pf2|2=(|pf1|pf2|)2+2|pf1|pf2|, 依双曲线定义，有|pf1|pf2|=4, 依已知条件有|pf1|pf2|=|f1f2|2=4c2 16+8c250+2c2,c2又c2=4+b2答案：1 【例2】 x2a2?y2b217, 3517,b2,b2=1. 3320，椭圆c2的方程为 3已知圆c1的方程为?x?2?2?y?1?2?1?a?b?0?，c2的离心率为 2，如果c1与c2相交于a、b两点，且线段ab2恰为圆c1的直径，求直线ab的方程和椭圆c2的方程。 解：由e?设椭圆方程为 2c22,得?,a?2c2,b2?c2. 2a2x22b2?y2b2?1. 由圆心为(2,1). 设a(x1,y1).b(x2,y2).?x1?x2?4,y1?y2?2. y又 2x12