东方第三章 随机向量1-1

1、第3章 随 机 向 量,3.1 随机向量的分布,3.2 条件分布与随机向量的独立性,3.3 随机向量的函数的分布与数学期望,3.4 随机向量的数字特征,3.5 大数定律与中心极限定理,3.1 随机向量的分布,一、随机向量及其分布函数,定义3.1 设 是同一个样本空间上,间上的一个n维随机向量或n 维随机变量,并称n 元函数（定义3.2）,是n 维随机变量,也简称为联合分布或分布,的联合分布函数，,我们主要讨论二维随机变量(x, y ),其联合分布,函数为,（3.1）,二维联合分布函数的几何意义：,联合分布函数就表示二维随机变量(x, y )落在下图,如果(x, y )表示笛卡尔坐标平面上的点的

2、坐标，,阴影部分的概率.,这时，点(x, y )落入任一矩形,（图3.2）中的概率为,(3.2),x,y,x,y,xx,yy, , ,二维联合分布函数f(x, y)区域演示图:,(x,y),x,y,x1,y1,(x1,y1),x2,y2,(x2,y2),(x1,y2),(x2,y1),如同一维分布函数，还可以证明二维分布函数,具有下述性质:,(2) 对 x 或 y 都是右连续的，即有,(3) 对任意的 x 和 y ,有,(1) 对 x 或 y 都是单调不减的， ；,其中性质(1)、(2)、(3) 、(4)是一个二元函数为联合,分布函数的充分必要条件.,联合分布函数 的边际分布函数.,如果已知二

3、维随机变量(x ,y )的联合分布函数为,那么它的两个分量x 和y 的分布函数即可求得,x 的分布函数,y 的分布函数,是联合分布f(x, y)的边际分布函数，或,边际分布.,下面从几何意义上来看边际分布函数.,注意：由 不能唯一确定 f(x, y).,(x, y),随机点(x,y )落在直线x=x左方的无穷区域内的概率,随机点(x,y )落在直线y=y下方的无穷区域内的概率,随机点(x,y )落在以点(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域g内的概率.,平面上的随机点,边际分布函数的几何意义,则称(x, y )是二维离散型随机变量.,p(x=xi y=yj )= pi j （i，j =1

4、, 2,）,pi j 称为(x, y)的分布律，或x和y的联合分布律.,是有限对或无限可列对(xi , yj) ( i, j =1, 2, ),二、离散型随机向量的概率分布,其相应的概率为:,表格形式：,定义3.3 若二维随机变量(x, y)的所有可能的取值,(x, y )的联合分布律具有下列性质.,1） pi j 0，,二维离散型随机变量的联合分布列及边际分布列表:,设二维离散型随机变量(x, y ) 的分布律为：,p(x=xi , y=yj )= pi j （i，j =1, 2, ）,随机变量x 和y 各自的分布律称作(x, y)的边缘,1、由联合分布律求边缘分布律,问题：随机变量x和y各

5、自的分布律是什么？如何求？,设 x 可能的取值为：,分布律.,同理 p (y= yj）,2、由联合分布律求联合分布函数,f(x, y)= p x x, y y ,也就是把x 取值中小于等于x的xi , 同时y 取值中小于等于y的 yj 所对应的所有的 pi j 都加起来！,补例1 将一枚均匀的硬币抛掷4次，x 表示正面向上的次数，y表示反面朝上次数. 求 (x, y) 的联合分布列.,x y 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0,p(x=0, y=4)=,p(x=2, y=2)=,=1/4,=6/16,p(x=3, y=1)=,=1/4,p(x=4, y=0)= 0.54 =1/16,p(x

6、=1, y=3)=,0.54=1/16,解：概率非零的(x, y) 可能取值对为:,其对应的概率分别为：,列表为：,解,所以当j i 时，,当ji 时，,由乘法公式得,(x, y )的概率分布,p (x=i, y=j )=0，,列表如下：,例3.2 设(x, y )的概率分布由下表给出，求,解,补例3 设随机变量 y n(0, 1),解: (x1, x2) 的可能取值数对及相应的概率如下：,p(x1=0, x2=0) = p(|y|1, |y|2),= p(|y |2),= 2 2(2) = 0.0455,p(x1=0, x2=1) = p(|y|1, |y|2),= p(1|y|2),= 2

7、(2) (1),= 0.2719,求,的联合分布列.,p(x1=1, x2=0) = p(|y|1, |y|2) = 0,p(x1=1, x2=1) = p(|y|1, |y|2),= p(|y|1),= 0.6826,列表为：,三、连续型随机变量的概率密度函数,设(x, y )为二维随机变量，f(x, y) 是,使对任意的(x, y ),有,定义3.5,如果存在一个非负可积函数 f (x, y),其联合分布函数，,则称(x, y )为二维连续型随机变量，,f(x, y)是一个,连续型的联合分布函数，,并且称函数,是(x, y ),的联合概率密度函数，或简称为密度.,说明,1 连续型随机变量的

8、联合分布函数处处连续.,2 联合概率密度函数不唯一.,由分布函数的性质可知，任一二元密度函数,必具有下述性质：,反过来，任意一个具有上述两个性质的二元函数,必定可以作为某个二维随机变量的密度函数.,此外，密度函数还具有性质：,(3) 若f (x, y)在点(x, y)连续，,f(x, y)是相应的分布,函数，则有,联合分布函数f(x, y)的边际分布函数，联合密度,(4) 若 g 是平面上的某一区域，则,函数 f (x, y)的边际密度函数为,从而可知,相应的密度,是一个连续型分布函数,函数为,从而可知,其密度函数,是一个连续型分布函数,也称为边际分布密度函数或边际密度.,例3.3 设g 是平

9、面上的一个有界区域,其面积为a,则f (x, y)是一个密度函数，以f (x, y)为密度函数的二,维联合分布称为区域g上的均匀分布.,若二维随机变量(x, y)的联合分布是区域g上的均,则对中的任一(有面积)子区域 d , 有,其中sd 是区域d 的面积.,匀分布，,补例1 设二维随机变量(x, y )具有密度函数,试求 (1) 常数c ; (2) 分布函数f(x, y);,(3) f(x, y)的边际分布函数及相应的边际密度;,(4) 求(x, y )落在图中区域g 内的概率.,解 (1),讨论x的取值,于是有,因此边际密度函数为,同理可得,补例2 设二维随机变量( x, y )的概率密度

10、为,求边缘概率密度.,解：,为确定积分限，先画出被积函数不为0的区域. 因为,积分变量y 的取值范围与x 有关，讨论 x,同理,补例 4 设二维随机变量(x, y )的联合分布函数,为f(x, y), 用f(x, y)表示下列概率：,解,四、二元正态分布,二维正态分布的图形,求二维正态随机变量的边缘概率密度.,解,由于,于是,令,则有,即,同理,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,联合分布不一定是二维正态分布.,反之，边缘分布均为正态分布的随机变量，其,合分布不一定是二维正态分布.,反例,因此边缘分布均为正态分布的随机变量，其联,3.2 随机变量的独立性,一般地，两个随机变量x 和y

11、之间存在着相互,因而一个随机变量的取值可能会影响另一个,随机变量的取值的规律性.,联系，,如果一个随机变量x 的取值对另一个随机变量y,的取值没有任何影响，,即是随机变量x 和,同时，随机变量y 的取值对随,机变量y 的取值也没有任何影响，,y 之间相互独立.,定义3.6,设随机变量x 和y 的联合分布函数为,其边际分布函数为,如果对于任,恒有,f(x, y),意实数 x 和 y ，,则称随机变量x 和y 相互独立，简称x 和y 独立.,定理3.1，3.2超出要求（了解）. 但有下面定理：,定理 若随机变量x 和y 相互独立，且函数 f (x),g(x)连续或逐段连续，则随机变量 f (x) 和 g(y ) 也,多个随机变量的独立性,定义3.7,设 是n个随机变量，其联,边际分布函数为,注意：,相互独立.,合分布函数为,如果对于任意实数,恒有,则称,相互独立.,定理3.3 设x, y是离散型随机变量，则x, y 独立,离散型随机变量的独立性,都成立.（证明略）,的充要条件是：,对x, y 的任意取值,定理3.4 设连续型随机变量(x, y )的密度函数为,连续型随机变量的独立性,对任意取的实数 x, y,立的