第8章 投资的一般原理(投资学-哈尔滨工程大学,孙伟)_投资学原理

1、第8章 投资的一般原理(投资学-哈尔滨工程大学,孙伟)_投资学原理第8章 投资的一般原理投资的一般原理主要体现在以下两点： 如果u 为风险厌恶的，则f (, ) 关于m 递增，而关于递减。现在假设所有资产的收益为标准正态随机变量，那么这些资产的任意线性组合也是具有某一均值与标准差的一个标准正态随机变量(这是核心性质) 。因此，这些资产的任意一个线性组合的收益将是一个标准随机变量。投资组合问题就等价于在所有可能的资产组合中选择使得函数f (, ) 值最大的那一个资产组合。对一个风险厌恶的效用而言，这再次暗示对于任意一个给定的均值，方差应该最小化。换句话说，该解必然在均值方差的有效集上。因此，当所

2、有收益为标准正态随机变量时，均值一方差准则是合适的。85 线性定价我们现在关注证券定价的一个基本性质。将证券正式定义为一个随机收益变量，表示为d 。收益在期末兑现(收益可以被看作是股利) 。与某一证券相关的是其价格p 。851 a类套利证券的线性定价遵从以下假设，即不可能存在最基本的套利形式。我们将这一套利的基本形式定义如下：如果一项投资产生了一项即期正的报酬而并没有未来支出(无论正负) ，则该项投资称为a 类套利。换句话说，如果你投资于a 类套利，则你会立即获得报酬而不必支付任何相关款项。在假设不存在a 类套利的情形下所引出的线性定价，证券d 1+d 2的价格必定等于p 1+p 2。这就是线

3、性定价。除了不存在a 类套利之外，同时假设证券可以任意分割成两部分，同时假定没有交易成本。852 投资组合现在假设存在n 种证券d 1, d 2, , d n 。这些证券的一个投资组合以一个n 维向量=(1, 2, , n ) 来表示。向量中的第i 个分量i 代表投资组合中证券i 的数量。投资组合的收益为随机变量：d =i d i (8.11)i =1n在假设不存在a 类套利的条件下，投资组合的价格以线性定价获得。因此，总的价格为：p =i p i (8.12)i =1n该表达式为线性定价的更一般的表达式。853 b类套利如果一项投资的成本为非正，但是该项投资获得正收益的概率为正，而没有获得负

4、收益的概率，则该项投资所产生的套利称为b 类套利。换句话说，b 类套利是这样一种情形，即投资者的成本为零(或为负) ，但却有机会获得正的收益。86 投资组合选择如果x 是一个随机变量，我们以x 0表示变量x 不小于零；以x 0表示变量对于某些正的概率具有严格的正收益。假设投资者的效用函数u 为严格的增函数，同时拥有初始财富w 。设存在n 种证券d 1, d 2, , d n 。投资者希望形成一个投资组合，该组合最终财富的期望效用最大。我们以=(1, 2, , n ) 定义该投资组合，i 给出了组合中不同证券的数量。投资者面临的问题是：max e u (x ) i d i =x 约束条件：i =

5、1nx 0i p i w n (8.13)i =1以上的规划问题表明投资者必须选择初始总成本不大于其初始财富w 的一个投资组合(最后一个约束条件) ，最终的财富值x 由投资组合的选择确定(第一个约束条件) ，每一个可能的结果中，这一最终财富必须为非负(第二个约束条件) ，同时投资者希望使得这一最终财富的期望效用最大化。投资组合选择定理：假设u (x ) 为连续函数并且当x 时，u (x ) 递增并趋于无穷大。同时假设存在投资组合0，其满足i 0d i 0。那么，当且仅当没有套利可能性时，(8.13)式所示的最优投资组合规划有一个解。投资组合定价方程式：如果x *=i *d i 是最优投资组合规

6、划(8.13)的一个解，那么，（注意：下式是u (x *) ，而不是u (i *d i ) ，即不是复合函数） *e u (x ) d i =p i (8.14)其中0, i =1, 2, , n 。如果存在收益为r 的一项无风险资产，则： =e u (x *)r p i = *e u (x ) d i re u (x ) * (8.15)上式对于i =1, 2, , n 成立。（对于无风险资产，d i =r , p i =1）表82 电影风险投资收益 概率 收益 概率 十分成功 3 0.3 失败 0 0.3 一般成功 1 0.4 无风险资产1.2 1 例85 一位投资者在考虑投资于一个风险项

7、目：制作一部娱乐电影的可能性。他知道这类投资项目具有很高的风险。在这个项目中，他知道基本上有三种可能的收益，表82给出了这三种收益：(1)以0.3的概率，他的投资回报的乘数因子为3.0(为初始投资的3倍) ；(2)以0.4的概率，乘数因子为1.0；(3)以0.3为概率，他将丧失全部初始投资。这三种可能收益的一种将在2年后发生。在这一期间，他也有机会获得20%的无风险收益。他想知道他是否应该投资于这一风险项目；如果是的话，应该投资多少资金?这是一个真实情况的简单化例子。该项目的期望收益为0.33+0.41+0.30=1.3，它优于无风险投资会获得的收益。你应该投资于这个项目多少资金呢？投资者决定

8、使用u (x ) =ln x 作为效用函数。31+1.22 p=0.3x =1+1.22 p=0.4 1.22 p=0.3他的问题是选择两种可用证券的数量1, 2电影投资项目与无风险资产的投资机会，每一种单位价格为1。因此，他的问题是选择(1, 2) ) 来求解：max 0.3ln(31+1.22) +0.4ln(1+1.22) +0.3ln(1.22) 约束条件为： 1+2=w从(8.14)式，或是通过直接计算，我们得到必要条件为：0.30.31113+0.41+0.30=1+1.2231+1.221.221111.2+0.41.2+0.31.2=1+1.2231+1.221.22这两个方程

9、式与1+2=w 一起构成的方程组，可以解出未知量1, 2, (必须求解一个二次方程式) 。结果为1=0.089w , 2=0.911w , =1w 。换句话说，投资者应该以等于其资产总量的数额卖空电影投资项目以投资于另两个投资机会。 87 对数最优定价上一部分所得出的投资组合定价公式： *e u (x ) d i =p i , i =1, 2, , n是个一般性的结果，它有许多重要的衍生结果。它能够转化为许多特殊的、也是很方便的定价公式。这里介绍其中一种特别简洁的形式。定价关系式的主要思想是以方程形式给出价格p i 的表达式。由于价格已知，因而可以应用这些关系式求解出最优的x *，将使用最优的

10、x *反推出价格。我们选择u (x ) =ln x 以及w =1这一特例开始研究。最终财富变量x *即为与投资组合相关的，而且使最终财富的期望效用最大的财富量。由于r *是对数效用最优的收益，因此在这一特例中，以r *表示x *，称r *为对数最优收益。由于d ln(x ) x ，因此，定价方程式(8.14) 变为：d e i*=p i (8.16) r 上式对于所有i 成立。由于上式对于所有证券i 都是有效的，因而对于对数最优投资组合本身它也是线性有效的。这一投资组合的价格为1，因此，我们发现：r * 1=e *= (8.17) r 因此，在这种情况下得到了的值。如果存在一项无风险资产，投资

11、组合定价公式(8.14)也同样有效。无风险资产的价格为1，收益为r ，其中r 为总的无风险资产收益。因此，我们得到：e (1r (8.18)从而知道1r 。使用=1，定价公式(8.16)变为： d p i =e i* (8.19) r 由于这一等式对于任何证券i 都是成立的，因此，对于任何投资组合它也是线性成立的。从而，我们得到如下的一般定价结果：对数最优定价：股利为d 的任意证券(或投资组合) 的价格为：d p =e * (8.20) r 其中r *为对数最优投资组合的收益。上述公式看起来与表达式p =d r 是成立的。在随机情形下，我们需要用r *代替r ，并求期望。例87 假设依赖电影投

12、资项目的可能收益发行一项新的债券，该债券即使在电影投资项目失败时也会获得一些收益。这种类型的证券其一般收益情况为d 1, d 2, d 3，分别与电影投资项目非常成功、一般成功及失败相对应。我们通过运用例86中的对数最优投资组合可以发现这一证券的合适价格。由于例86中第一个例子仅考虑了电影投资项目及无风险证券的情形，因此，不能使用该例中简单的对数最优投资组合。如果一项新的证券由上述两种资产组合而成，则我们可以使用简单的对数最优投资组合进行定价。但是，如果新证券为一个一般化证券，由于它包括了三种可能性的证券，因而我们必须使用第二个例子中的对数最优投资组合。任何一个新的证券将是这三种可能证券的一个

13、组合。对数最优投资组合具有如下收益：非常成功 一般成功 失败r * 1.8 0.8 1.8 这些收益由剩余权利的例子中得到的i 计算得出。例如，在非常成功的情况下，r *=31+1.22+63=1.03+1.21.5+60.5=1.8一般成功 r *=1+1.22=1.0+1.21.5=0.8失败 r *=1.22=1.21.5=1.8收益为d 1, d 2, d 3的证券的价格为e (d 2即与第一个基础状态证券等价。882 正的状态价格如果存在一组完整的基础状态证券，或者可以通过现存的证券构造出基础状态证券，则这组基础证券价格必须为正，否则将存在套利机会。 正状态价格定理：当且仅当没有套利

14、机会时，存在一组正的状态价格。 由前可得，p =1u (x *) d =e p s 1 *s s u x d 。我们定义： ss =p s u (x *) s 0 (8.22)其中u (x *) s 为u (x *) 在状态s 的值。因此，p =s d s (8.23)s =1s例88 再次考虑初始电影投资项目。有三种状态，但仅有两个证券：投资项目本身以及无风险证券。因此，状态价格不是惟一的。我们通过使用(8.22)式可以发现一组正的状态价格，同时根据在例85中得到的i 值及=1(w =1) 。我们有：0.31=0.22131+1.222=3=0.4=0.338 1+1.220.3=0.274

15、1.22例8.5中max 0.3ln(31+1.22) +0.4ln(1+1.22) +0.3ln(1.22) 例8.6中max 0.3ln(31+1.22+63) +0.4ln(1+1.22) +0.3ln(1.22) 这些状态价格仅可以用来确定初始两种证券组合的价格。它们不能用来确定购买剩余权利的价格。我们验证初始投资项目的价格，得p =30.221+10.338+00.274=1。无风险资产价格p =(0.221+0.338+0.274) 1.2=1例89 现在考虑例86中讨论的具有三种可用证券的电影投资项目，它引入了剩余权利。由于存在三种状态及三种证券，因此，状态价格是惟一的。事实上可

16、以通过设定三种证券的价格为1而得到状态价格，即：31+2+03=11.21+1.22+1.23=161=1解上述方程组，得：1=12, 3=16d 1+16d 3将这一结果与例87中给出的价格p 的公式相比较，发现它们是完全相同的。另一种方法求解：1=2=3=0.3=121+1.220.3=16+10。则可以将上述公式定价为：s =1sp =0q s d s (8.24)s =1s其中，q s (s =1, 2, , s ) 可以被看作是概率，这是由于它们之和为1且均为正。 使用这些概率，可以将定价公式写作：(d ) (8.25) p =0e表示在主观概率q 下的期望值。 其中e s0的值有着

17、有益的解释。由于0=s ，我们可知0是证券 s =1s的价格，该证券的每一状态(无风险证券) 支付1。由定义，它的价格为1r q s =s r ），其中r 为无风险收益，因此可将价格公式写为：p =1e (d ) (8.26) r这个公式表明证券的价格等于在主观概率下它的期望收益值的贴现。我们称这个定价公式为风险中性定价，因为如果q s 是真实概率，这个公式就是将要使用的，而且我们没有考虑投资者的风险偏好，也把q s 称为风险中性概率。下面是获得风险中性概率q s 的三种方式：(1)风险中性概率可以通过正的状态价格与由无风险利率得到的价格相乘得到。0=16, 2=16将它们与无风险利率1.2相

18、乘，我们得到了风险中性概率：q 1=0.2, q 2=0.6, q 3=0.2 因此，收益为d 1, d 2, d 3的证券的价格为：0.2d 1+0.6d 2+0.2d 3p = 1.2同样，这一定价公式仅对这些证券的线性组合有效。对于风险中性概率的推导很显然是用来确定初始证券的价格。这一风险中性定价结果可以推广到不需要假定存在有限数量状态的一般情况。810 定价选择让我们回顾一些替代性的定价方法。假设存在几种价格已知的证券，然后引入一项新的债券，该债券由期末获得的(随机) 现金流量d 界定。这一债券的正确价格是多少呢? 以下列举了五种可能用于确定该债券价格的方式。每一种情况下，r 为单一时期的无风险收益。(1)期望值贴现。p =(2)capm定价。 e (d ) rp =e (d ) r +(m r )其中是资产与市场有关的风险度量，r m 是市场投资组合的收益。假设市场投资组合等价于马克维茨风险基金。(3)capm的确定性等价形式。2e (d ) cov(r m , d )(m r ) r *) =1/r ，但是方法4得到的结果通常小于方法1。方法5则是通过改变计算期望值所使用的概率来对方法1进行修正。方法25代表着为了获得更加精确的结果，对方法1进行修正的四种不同的方式。如果新的证券