电路课件第6章分解法及单口网络

1、第六章 一阶电路,6-1 分解方法在动态电路分析中的运用,6-2 零输入响应,6-4 零状态响应,6-3 阶跃响应 冲激响应,6-5 线性动态电路的叠加原理,6-6 分解和叠加方法的综合应用三要素法,6-7 瞬态和稳态,6-8 正弦激励的过渡过程和稳态,动态元件的VCR为微分或积分形式，故线性、 时不变动态电路要用线性常系数微分方程来描述。 分析动态电路即是求解线性、常系数微分方程。,本章内容概述,含有一个独立的动态元件的电路，要用线性、 常系数一阶微分方程来描述，故称为一阶电路。,本章重点讨论一阶电路在直流激励下的动态 分析。分别介绍换路定律、零输入响应、零状态 响应和全响应，并推导出一阶电

2、路在直流激励下 求解任一变量响应的一般方法 三要素法。,本章还将介绍瞬态（暂态）和稳态的概念。,(1) 把给定的网络N分解为两个明确的单口网络 N1和N2 (P114 ) ； (2) 分别求单口网络 N1、N2 的VCR (4-2 )； (3) 联立VCR，求单口网络端钮上的电压 u= a 和电流 i = b ； (4) 应用置换定理，分别求单口网络N1、N2中的电压和电流 。,分解法的基本步骤,6-1 分解方法在动态电路分析中的运用,6-1 分解方法在动态电路分析中的运用,6-1 分解方法在动态电路分析中的运用,ROic+uC=uOC,iC +iGO =iSC,戴维南 等效电路,诺顿 等效电

3、路,一阶微分方程求解,非齐次常系数线性微分方程,齐次常系数线性微分方程,求解,1. 直接积分法,一阶微分方程的求解,，且应满足初始条件 Y(t0) = Y0，,（1）解的结构：Y(t) = Yh(t) + Yp(t),2. 猜试法,有两种解法：,（2）Yh(t) ：对应的齐次方程的通解,（3）Yp(t) ：非齐次方程的一个特解 一般与输入（激励）函数具有相同形式,（4）根据初始条件，确定积分常数,稳定状态: 指电路中的电压和电流在给定的条件下 已达到某一稳定值（对交流量是指它的幅值达到稳 定值）。稳定状态简称稳态。,瞬态（暂态）: 电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态往往不能跃变，而是需要一

4、定过程（时间）的，这个物理过程就称为过渡过程。电路的过渡过程往往为时短暂，所以电路在过渡过程中的工作状态常称为暂态（瞬态），因而过渡过程又称为暂态过程。,过渡过程的基本概念,换路: 指电路的接通、切断、短路、电压改变或参数 改变等。,产生过渡过程的原因：当电路中有储能元件电容或电感， 而且换路的结果将引起电容中的电场能或电感中的磁场 能发生变化时，因为电路元件中能量的储存和释放是需 要一定的时间的，所以电路中就会出现过渡过程。,本章将要分析RC和RL一阶线性电路的过渡过程， 着重讨论下面两个问题：,(1) 暂态过程中电压和电流(响应)随时间的变化规律;,(2) 影响暂态过程快慢的电路的时间常数

5、。,设 t=0 为换路瞬间，而以 t=0 表示换路前的 终了瞬间，t =0+ 表示换路后的初始瞬间。,换路定律,由于电容中的电场能和电感中的磁场能不会突变，所以换路瞬间，电容上的电压和电感中的电流是不可能突变的。因此，电容电压和电感电流在换路后的初始值应等于换路前的终了值，这一规律，称为电路的换路定律。,iL(0 ) = iL(0+),uC(0 ) = uC(0+),6-2 零输入响应,以下利用叠加方法求解一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应。,设电路中电容电压在 t0 时的值为uC(t0)。将其分解为一个未充电的电容 C 和一个数值为uC(t0)的电压源的串联。,+,零输入响应,零状

6、态响应,最终得,代入初始条件 uC(0) = U0，,t 0,uC(t) 的零输入响应为一随时间衰减的指数函数。,利用直接积分法：,故有,积分得,一阶线性常系数齐次微分方程,（一）RC电路的零输入响应,R,C,uR,t=0,b,a,+ -,U0,i,S,uC,零输入响应是指无电源激励， 输入信号为零，由电容元件 的初始状态uC(0+) 所产生的 响应。分析RC电路的零输入响应，实际上就是分析它的 放电过程。,上图中，若原来开关S合于a，电容上电压已充电到U0， 在t=0时将S由a合向b， 即 uC(0)= U0 ，,根据KVL Ri + uC=0,6-2 零输入响应,+,+,上式的通解为指数函

7、数，即,由特征方程 RCp +1=0 得,特征根（固有频率） p = 1/RC,通解 uC = Ae t /RC,确定积分常数A，由换路定律,uC(0+)=uC(0)= U0,，得 A= U0,所以 uC = U0e t /RC,uR = uC = U0e t /RC,U0,U0,变化曲线,在零输入响应电路中，各部分电压和电流都是由初始值按同一指数规律衰减到零。, = RC 称为RC电路的时间常数,时间常数,时间常数 = R C,从理论上讲，电路只有在 t 时 才能衰减到零。但在工程上，通常认为 t(45) 时，电容放电过程基本结束。,时间常数 越大，衰减越慢； 时间常数 越小，衰减越快。,O

8、,t,U0,uC(t),0.368 U0,3 2 1,电压uC衰减的快 慢决定于电路的时 间常数 ,时间常数 越大，uC衰减(电容 器放电)越慢。,uR = uC = U0e t /RC,例1 电路如图，已知uc(0)=15V, 求uc(t), ic(t)和i(t), t0。,解：uC(0)=15V, = ROC = 50.01= 0.05S,=15e- 20t V t0,求 ic(t)和i(t)，解法1：,例1 电路如图，已知uc(0)=15V, 求uc(t), ic(t)和i(t), t0。,解法2：应用置换定理,用电压源uC(t)置换电容C,例2 求图示电路中i(t), t0, 已知uC

9、(0)=6V。,解:提出电容，用外加电压法求RO,8000i1=4u, =ROC=2103s,uC(0)=6V,t0,例3 下图所示电路中,开关S合在a点时,电路已处于稳态， t=0时开关S由a点合向b点，试求: t0 时 uc、 i1 、 i2 和 i3 随时间的变化规律,画出变化曲线。,C,t=0,b,a,+ -,S,uC,4,2,4,8,10F,+ -,10V,i1,i2,i3,解: uC(0+)= uC(0- ) = 104/(2+4+4)=4V,U0=4V,换路后放电电路等效电阻 R0= ( 8 + 4/4 ) = 10, = R0 C=10 10 106 F =104 s,=4e

10、10000t V,i1 = i3 = i2 / 2,= 0.4e 10000tA,= 0.2e 10000tA,uC = 4e 10000t V,（二） RL电路的零输入响应,R,t=0,b,a,U,iL,S,uL,uR,S合在位置a时,电感中通有 电流, t=0时, 开关S由位置 a合向位置b, RL电路被短路。 若iL(0-)= I0，则iL(0+)= I0,(若换路前电路已处于稳态, 则I0=U/R ),根据KVL uL + uR=0,+ -,齐次常系数线性微分方程,通解为 iL= Ae pt,+ -,+ -,特征方程是 Lp + R=0,特征根(固有频率): p = R/L,微分方程的

11、通解为,iL(0+)=I0 , 故A= I0,在t = 0+时,时间常数 =L / R = GL,通解为 iL= Ae pt,R,t=0,b,a,U,iL,S,uL,uR,+ -,+ -,+ -,iL,根据KVL uL + uR=0,t=0,S,R,L,uV,iL,+ ,2 ,4V,例4 已知电压表的内阻RV=1000 , 求uV(0+)。,解:,iL(0+)= iL(0-) =4/2=2A,uV(0+)= iL(0+) RV =2 1000=2000V,因电压表的内阻很大，在S断开之前，应先将 电压表取下! 以免引起过电压而损坏电压表。,一阶电路的零输入响应代表了电路的固有性质，又 称为固有

12、响应，特征根 s=1/又称为固有频率。,一阶电路的零输入响应是按指数规律衰减的，衰减的快慢由时间常数决定，越小，衰减越快。,求出uC(t)或iL(t)再根据置换定理，用电压为uC(t)的电压源置换电容，用电流值为iL(t)的电流源置换电感，在置换后的电路中求其他电压电流。,线性一阶电路的零输入响应是初始状态的线性函数， 即初始状态增大 k 倍，零输入响应也增大 k 倍。,零输入响应小结,1. 一阶电路的零输入响应,6-3 阶跃响应,一.阶跃函数,.单位阶跃函数,2.延时单位阶跃函数,二.用单位阶跃函数表示电源的接入,6-3 阶跃响应,三.阶跃信号、阶跃响应,1.阶跃信号,2.阶跃响应,单位阶跃

13、信号作用下的零状态响应称为阶跃响应，用(t)表示。延时单位阶跃信号作用下的响应为(t-t0)。,uS(t) = US (t) 阶跃信号,uS(t) =US (t - t0) 延时信号,四.分段常量信号作用下一阶电路的求解,f(t) = f1(t)+ f2(t)= (t) - (t-1 ),f(t) = (t) - 2 (t-1 )+3(t-2)-2(t-3),（一）RC电路的零状态响应,零状态响应是指换路前电容元件未储有能量, uC(0)=0, 由电源激励在电路中所产生的响应。分析RC电路的零状 态响应，实际上就是分析它的充电过程。,下图中，t=0时开关S由b点合向a点，相当于输入一个 阶跃电

14、压u，其表示式为,u=,0 t 0,U t 0,6-4 零状态响应,根据KVL，列出t 0时电路的一阶线性非齐次常微分方程,Ri + uC = U,设特解 uC=K 代入上式,得 K=U ， 即 uC=U,uC=Ae pt= Ae t /RC,式(6.1)的通解为,uC = uC+ uC=U+ Ae t /RC,上式的通解有两个部分：一个是 特解 uC，一个是补函数uC,( 6.1 ),uC = uC+ uC=U+ Ae t /RC,根据 uC(0+)= uC(0)=0，可确定积分常数 A= U,uC =U Ue t /RC =U(1et /),时间常数 =RC,当 t = 时， uC =63

15、.2%U,暂态过程中uC可视为由 两个分量相加而得:,uC是到达稳定状态时的 电压,称为稳态分量; uC仅 存于暂态过程中, 称为暂态分 量,它总是按指数规律衰减。,uC的变化曲线,o,t,U,u,i,uC =U(1e t / ),uC 、 uR及i 的变化曲线,uC =U(1e t / ),同样可认为t (45) 以后暂态过程已经结束。,上述暂态过程的分析方法称为经典法。当电路比较 复杂时，可以用戴维南定理将换路后的电路化简为一 个单回路电路，（将电路中除储能元件以外的部分化 简为戴维南等效电源，再将储能元件接上），然后利 用经典法所得出的公式。,例7.8 下图所示电路中，已知：R1=3k，

16、 R2=6k ， C1= 40 F， C2= C3= 20 F ，U=12V,开关S闭合前,电路 已处于稳态，试求: t 0 时的电压 uC 。,解： C2和C3并联后再与C1串联，其等效电容为,将t 0的电路除C以外的部分化为戴维南等效电源,等效电源的内阻为,等效电源的电动势为,由等效电路可得出电路的时间常数, = R0 C=2 103 20 106 =40 103s,uC=E(1 e -t/ ),=8(1e 25t )V,输出电压为,（二）RL电路的零状态响应,R,t=0,U,iL,S,uL,uR,在换路前电感元件未储有 能量，即电路处于零稳态。,+ ,在 t =0时，将开关S合上， 电路

17、即与一恒定电压为U 的电压源接通。,根据KVL uL + uR=U,特解 iL就是稳态分量,(7.2),式(7.2)的通解为,在 t =0时，iL(0+)= iL(0-)=0,4. 一阶电路的零状态响应是输入的线性函数。输入扩大k倍，零状态响应也扩大k倍，如有多个电压源作用，也可用叠加定理来求零状态响应。,2. uC(t)、iL(t)的零状态响应由零向稳态值按指数规律上升，越小，上升越快。,3. 求出uC(t)、iL(t)，根据置换定理，电容用电压值为uC(t)的电压源置换，电感用电流值为iL(t)的电流源置换，在置换后的电路中求其它电压和电流。,5. 如果是非直流激励电路，则需列微分方程求解

18、。,1.恒定输入（直流激励）下一阶电路的零状态响应,零状态响应小结,例5 下图所示电路中,已知：R1= R2= 1k， L1=15mH ， L2= L3=10mH ，(设线圈间无互感,)电流源 I=10mA,开关S闭合前,各电感均未储有能量,试求: t 0 时的电流 i。,t=0,S,i,I,R1,R2,L1,L2,L3,解: 等效电感,=10mH,将电流源与R1并联的电路进行等效变换,E=R1I=10V,R0 =R1= 1k,由等效电路可得出 电路的时间常数,=10 s,等效电路,（一）RC电路的全响应,全响应是指电源激励和电容元件的初始状态uC(0+)均 不为零时电路的响应，也就是零输入响

19、应和零状态响应 的叠加。,下图中，若开关S合于b时，电路已处于稳态, 则 uC(0)= U0 ， t=0时将S由b合向a， t 0时电路 的微分方程为,R,C,uR,t=0,b,a,i,S,uC,+ -,U0,其通解有两个部分: 一个 是特解 uC， 一个是 补函数uC,通解 uC = uC+ uC,6-5 线性动态电路的叠加定理,R,C,uR,t=0,b,a,i,S,uC,+ -,U0,通解 uC = uC+ uC =U+ Ae t /RC,uC(0+)= uC(0)= U0,积分常数 A=U0U,全响应=稳态分量+暂态分量,uC = U0 e -t/ + U(1e -t/),或者写成,全响

20、应 = 零输入响应 + 零状态响应,一阶线性非齐次常微分方程,(三要素法),全响应曲线,o,t,U,u,U0,设U U0,o,t,U,u,U0,uC = U0 e -t/ + U(1e -t/),或,全响应曲线,o,t,U,u,U0,设U U0,uR =(U U0) e -t/,uR,这种由外加激励和初始 储能共同作用引起的响应, 称为RC电路的全响应。,放电过程,充电过程,若U=0，在t=0时将开关S 由1合到2 的位置，如右图。这时 电路中外加激励为零，电路的响应是由电容的初 始储能引起的，故称为RC电路的零输入响应。,电容两端的电压uc由初始值U0向稳态值零衰减， 这是电容的放电过程，其

21、随时间变化表达式为,全响应,若换路前电容元件没有储能，即uC(0+)= U0=0 ，则上式变为,这种初始储能为零，由外加电源激励产生的响应， 常称为RC电路的零状态响应，这是电容的充电过程。,全响应,t,时间常数 =RC,当 t = 时， uC =63.2%U,随时间变化曲线,零状态响应,（二）RL电路的全响应,R,t=0,U,iL,S,uL,uR,+ ,R0,如图所示电路中， iL(0-)= I0 在 t =0时，将开关S合上，则 t 0时电路的微分方程为,通解也为,但积分常数A与零状态时不同,在 t =0时，iL(0+)= iL(0-)=I0 ，,所以全响应为,(6.5.3),全响应=稳态

22、分量+暂态分量,全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,上式可改写为,o,t,U/R,I0,式(6.5.3)中,将电感电流的稳态分量 U/R 用iL()表示得,iL(t) = iL () + iL(0+) iL() e -t/,稳态值 初始值 时间常数,(三要素法),只含有一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路，称为一阶线性电路，其微分方程都是一阶常系数线性微分方程。,对于一阶线性电路，在直流激励作用下，电路的响应是由稳态分量(包括零值)和暂态分量两部分相加而得，写成一般式子，则为,f (t) = f ( t ) + f ( t ) = f () +Ae t /,式中f (t)是电压或电

23、流， f ()是稳态分量(即稳态值), Ae t /是暂态分量,若 f(0+)为初始值,则得A= f(0+) f (),于是,f (t) = f () + f(0+) f() e -t/,稳态值 初始值 时间常数,6-6 分解方法和叠加方法的综合运用三要素法,三要素法,直流激励下一阶电路的响应都是按指数规律变化的，它们的变化无非四种情况。,对于一阶电路，若求恒定输入下的响应，只需求出这三个要素，就可画出它的波形并写出表示式，这就是三要素法。,三个参数（三要素） f(0+)、f()、,f(t) = f(0+) + f() - f(0+) (1-e,) t0,一.求初始值 f(0+),1.先求uC

24、(0-)、iL(0-),2.做t = 0+时等效电路 C用电压值等于uC(0+)的电压源置换 L用电流值等于iL(0+)的电流源置换,二.求稳态值 f(),3.在t = 0+的等效电路中求各初始值,在t =的电路中求 f() C开路 L短路,三.求时间常数,求动态元件两端看进去戴维南等效电阻： RC电路：=ROC RL电路：=L/RO,三要素法,例6 在下图中，已知U1=3V， U2=6V，R1=1k R2=2k，C= 3F ，t0时电路已处于稳态。用三要 素法求t 0 时的 uC(t),并画出变化曲线。,解 先确定uC(0+) uC()和时间常数,R2,R1,U1,C,+,1,+,uC,U2

25、,+,t0时电路已处于稳态，意味着电容相 当于开路。,2,t=0,S,例6 在下图中，已知U1=3V， U2=6V，R1=1k R2=2k，C= 3F ，t0时电路已处于稳态。用三要 素法求t 0 时的 uC(t),并画出变化曲线。,解 先确定uC(0+) uC()和时间常数,R2,U1,C,+,1,+,uC,U2,+,2,t=0,S,R1,uc= 4 + (2 4) e -t/(210-3) = 4 2e -500t V,( t 0 ),例6 在下图中，已知U1=3V， U2=6V，R1=1k R2=2k，C= 3F ，t0时电路已处于稳态。用三要 素法求t 0 时的 uC(t),并画出变化

26、曲线。,解,U1,C,+,1,+,uC,U2,+,2,t=0,S,R1,R2,uC(t) 变化 曲线,V,iL(0 ) = iL(0+),uC(0 ) = uC(0+),从 t=0到 t=0+瞬间，电感元件中的电流iL和电容元 件上的电压uC不能跃变。用公式表示为,换路定律 :,换路定律仅适用于换路瞬间，可根据它来确定t=0+时 电路中电压和电流之值，即暂态过程的初始值。,确定各个电压和电流的初始值时,先由t=0的电路求 出iL(0 ) 或uC(0 ), 而后由 t=0+的电路在已求得的iL(0+ ) 或uC(0+ )的条件下求其他电压和电流的初始值。,在直流激励下,换路前如果电路已处于稳态，

27、则在 t=0的电路中,电容元件可视为开路,电感元件可视为短路。,元件的等效电路汇总,稳态值,电路换路后，经过暂态过程又达到新的稳定状态，这时电路中的电压、电流值称为稳态值。用u()、i()表示。求直流激励下的稳态值,可画出t= 的电路，即在换路后的电路中将电容元件开路,电感元件短路。,例7 下图所示电路中，已知：R1=3， R2=6 ， R3=3， C1= 5 F，C2= 10 F，E=20V, 开关S断开 前电路已处于稳态。试求：C1、 C2 和 R1 上电压的 初始值和稳态值。,解： （1）求初始值，画出 t=0的电路,i (0-) =E/(R1+R2+R3 ) =1.67A,uR1(0-

28、) = i (0-) R1 = 5V,uC1(0+)= uC1(0-)= 5V,uC2(0+)= uC2(0-)= 10V,画出t=0+的电路，用支路电流法求i1(0+)，再求uR1(0+),uR1(0+)= 7V,可见 uR1(0+) uR1(0),因此，求初始值时,只 需计算t=0时的iL(0 ) 和uC(0)，因为它们不 能跃变，即为初始值， 而t=0 时的其余电压和 电流都与初始值无关， 不必去求。,而 uR1(0-) = i (0-) R1 = 5V,(2) 求稳态值，画出t= 的电路,uC1()= uC2()=E=20V,uR1()=0,换路前，如果储能元件没有储能 , iL(0+

29、)= iL(0 )=0, 或uC(0+)= uC(0 )=0，则在 t=0+的电路中，可将电容元 件视为短路，将电感元件视为开路。,例8 已知下图中iL(0 )=0 , uC(0 )=0 , 试求S闭合瞬间,电路中各电压、电流的初始值。,解：画出 t=0+的电路,uC(0+)=uC(0)=0，,iL(0+)=iL(0 )=0，,u1(0+)= U，,例9 图中，如在稳定状态下R1被短路，试问短路 后经过多少时间电流才达到15A？,（1）确定i (0+),解 先应用三要素法求 电流i,（3）确定时间常数,（2）确定i (),解,根据三要素法公式,当电流到达15A时,所经过的时间为,t =0.03

30、9S,例9 图中，如在稳定状态下R1被短路，试问短路 后经过多少时间电流才达到15A？,解：(1)求iL(0+)、i(0+),iL(0-)= 5mA,iL(0+)=iL(0-)=5mA,例10 求图示电路中t 0时1K电阻的电流 。,（2）求i(),（3）求,i () = 10/103 = 10mA,解：(1) i(0+)=5mA,iL(0+) = 5mA,RO= 0.5K,iL(t)= 510-3e-500t=5e-500t mA t 0,iL(t)”=15(1 - e-500t) mA t 0,iL(t) = iL(t) + iL(t)”,= 5e-500t +15(1 - e-500t)

31、,= 15 - 10e-500t mA t 0,= 10 - 5e-500t mA t 0,用叠加定理求iL(t),解：(1)求 i(0+),例11 图示电路中t=0时开关S1闭合，S2打开。已知开关动作前电路处于稳态，求i(t), t 0及开关动作后瞬间4电阻上吸收的功率。（15分）,i(0+) + i2(0+) = i1(0+),2i(0+) + 4 i1(0+) =10,2i2(0+) +4 i1(0+) = uc(0+),解方程得 i(0+) =2A, i1(0+) =1.5A,开关动作后瞬间4电阻上吸收的功率,p =4 i12(0+)=41.52 = 9W,例11 图示电路中t=0时

32、开关S1闭合，S2打开。已知开关动作前电路处于稳态，求i(t), t 0及开关动作后瞬间4电阻上吸收的功率。（15分）,（2）求i(),（3）求,解：(1) i(0+)=2A,（注意： 一定要在换路后的电路中求 ）,例12 图示电路中，开关S闭合前,电路已处于稳态， C=10F, t=0时，将开关S闭合，经0.4ms再将S打开， 试求 t 0 时的 uC(t), 画出变化曲线。,30,R,r,_,+,_,+,S,60,R,E=90V,C,uC,r,解:,(2) uC (0.4ms) = 30 (1+e -1 ) = 41V, =2 ( R r )C = 0.4 ms,uC(t) = 30 (1

33、+e -2500t ) V,(0 t 0.4ms),即为第二个暂态过程的初始值,uC(t) = 60 + (41 60) e -2000( t - 0.410 -3 ),= ( r +R r ) C =0.5 ms,= 60 19 e -2000t + 0.8 V,uC()=60V,(0.4ms t ),30,R,r,90V,_,+,_,+,S,60,R,E,C,uC,r,第1次作业：6-1 6-21 6-23,第2次作业: 6-4 6-9 6-29 6-31,第 6 章作业,第3次作业: 6-34 6-36 6-39 6-40,例7.14 图示电路中,开关S合在a点时,电路已处于稳态， t=

34、0时开关S由a点合向b点，试用三要素法求: t0 时 uc、 i1 、i2 和 i3 的变化规律, 画出变化曲线。,C,t=0,b,a,+ -,S,uC,4,2,4,8,10F,+ -,10V,i1,i2,i3,解: uC(0+)= uC(0- ) = 104/(2+4+4)=4V,uC() =0,换路后放电电路等效电阻 R0= ( 8 + 4/4 ) = 10, = R0 C=10 10 106 F =104 s,=4e 10000t V,uC(t) = uC() + uC(0+) uC() e -t/,i1 = i3 = i2 / 2,= 0.4e 10000tA,= 0.2e 10000tA,uC = 4e 10000t V,f (t) = f () + f(0+) f() e -t/,6-7 阶跃响应及分段常量信号响应,一.阶跃函数,.单位阶跃函数,2.延时单位阶跃函数,二.用单位阶跃函数表示电源的接入,6-7 阶跃响应及分段常量信号响应,三.阶跃信号、阶跃响应,1.阶跃信号,2.阶跃响应,单位阶跃信号作用下的零状态响应称为阶跃响应，用(t)表示。延时单位阶跃信号作用下的响应为(t-t0)。,uS(t) = US (t) 阶跃信