2008年全国高中数学联赛湖北省预赛试题及答案

1、2008年全国高中数学联赛湖北省预赛活动介绍2008年全国高中数学联赛湖北省预赛由湖北省数学竞赛组织委员会主办并具体组织活动，委托华中师范大学数学竞赛与数学普及研究所命题。试题以高中数学竞赛大纲（2006年修订稿）为依据，所涉及的知识范围不超出现行全日制普通高级中学数学教学大纲中所规定的教学内容和要求，在方法的要求上有所提高，主要考查学生对基本知识和基本技能的掌握情况，以及综合、灵活运用知识的能力，适当考虑全国联赛加试对参赛学生的要求。试题包括10道填空题和3道解答题，全卷满分150分，考试时间为120分钟。竞赛活动时间为2008年9月13日（星期六）上午，由各地市（州）安排考试并组织阅卷，参

2、加湖北省预赛的考生约5万人。试卷复评工作由湖北省数学竞赛组织委员会于9月底以前完成，并且确定获奖名单以及各地参加2008年全国高中数学联赛的人数和名单，参赛全国高中数学联赛的考生总人数约8000人。2008年全国高中数学联赛湖北省预赛试题一、填空题（本题满分90分，每小题9分。）1. 已知集合，则_.2. 设数列满足：，则_ .3. 函数的最小值为_.4. 已知正三棱锥的底面正三角形的边长为1，其外接球的球心满足，则这个正三棱锥的体积为_.5. 设为锐角三角形的垂心，已知，则_.6. 在等腰梯形中，且.设以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，则 _ .7. 设，其中

3、为实常数，则_ .8. 有六张分别写有数字1，2，3，4，5，6的卡片，每次从中抽取一张，记下上面的数字，然后放回. 这样取了4次，则抽到的最大数与最小数的差等于5的概率为_.9. 设表示不超过的最大整数，则_ _ .10. 已知三个正数满足，则的最小值是_.二、解答题（本题满分60分，每小题20分。）11. 设为椭圆上的一个动点，过点作椭圆的切线与：相交于两点，在两点处的切线相交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）若是第一象限的点，求的面积的最大值.12. 设数列满足：，.（1）求与之间的递推关系式；（2）证明：.13. 如果正整数可以写成其中的形式，则称为“好数”.在与2的正整数次幂相邻的正

4、整数中，试找出所有的“好数”.参考解答一、填空题1. 解 由，得.由于时，所以.因此.2. 解 根据递推关系式计算可得，可以证明：当时，.所以数列是以4为周期的周期数列，从而.3. 解 ，所以，当时，函数取得最小值.4. 解 因为，所以点在点所确定的平面上，即四点共面，从而点在底面上.又由于，所以点是的重心.而是正三角形，所以点是它的中心.如图，连接，则，所以正三棱锥的体积为.5. 解 在中，由正弦定理得.在中，由正弦定理得.由于为的垂心，所以，所以，因此，.6. 解 如图，设，则，所以.过点作于，由等腰梯形的对称性，得.所以.7. 解 在题设等式中令，可得.对题设等式两边同时求导，得，取，代

5、入得.因此.8. 解 要使抽到的最大数与最小数的差等于5，就是在4次抽取中6和1都必须抽到过.4次抽取可能出现的结果有种，在这种结果中，没有抽到1的有种，没有抽到6的有种， 1和6都没有抽到的有种.从而1与6都抽到过的结果有302种.故所求概率为9. 解 当时，且在区间中的正整数有个.设，注意到，所以.记，则，两式相减得，所以.因此.xyO10. 解 已知不等式可变形为，.设，则有它表示的图形为阴影区域（如图）.令，则，它表示斜率为的动直线.易知，当动直线经过点时，取得最小值.解方程组可得点的坐标为，所以.因此，的最小值为.二、解答题11.解 设点，.（1）因为点在椭圆上，所以xyQPMNO

6、一方面，易求得椭圆在点处的切线的方程为 另一方面，、为过点所引的：的两条切线，切点弦所在直线的方程为 和表示同一条直线的方程，于是有，故，代入方程，化简得.所以点的轨迹方程是. （2） 过点作轴，过点作轴，则，. .又，所以，从而.因此，的面积的最大值为. 12. 解 （1）由于，易知对一切，.当时，由可得，从而.依次利用上述关系式，可得，从而. （2）显然，由及（）可知：对一切，有成立，从而.当时，故.于是，将以上各式相加得.而，所以，从而.又，所以，因此.13. 解 设所求的“好数”为，它可以表示为其中的形式，由于与2的正整数次幂相邻，所以存在正整数，使得，显然为奇数.（1）若为奇数，则 从而.由于，均为奇数，而奇数个奇数相加或相减的结果一定是奇数，所以