高中数学必修一知识点总结(全);

1、第一章 集合与函数概念课时一：集合有关概念1. 集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东 西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。2. 一般的研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，简称为集。3. 集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面所有的人（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。例：由happy的字母组成的集合h,a,p,y（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合例：a,b,c和a,c,b是

2、表示同一个集合3.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋（1）用大写字母表示集合：a=我校的篮球队员,b=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列举法与描述法。1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 a,b,c2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。xr| x-32 ,x| x-32语言描述法：例：不是直角三角形的三角形venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：x|x2=55、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，

3、则元素属于集合，即：aa （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a au 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：n 正整数集 n*或 n+ 整数集z 有理数集q 实数集r课时二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集（1）定义：如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合a是集合b的子集。记作：（或b）注意：有两种可能（1）a是b的一部分，；（2）a与b是同一集合。反之: 集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作ab或ba2“相等”关系：a=b (55，且55，则5=5)实例：设 a=x|x2-1=0 b=-1,1 “元素相同则两集

4、合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集。aa真子集:如果ab,且a b那就说集合a是集合b的真子集，记作ab(或ba) 或若集合ab，存在xb且x a，则称集合a是集合b的真子集。如果 ab, bc ,那么 ac 如果ab 同时 ba 那么a=b3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集课时三、集合的运算运算类型交 集并 集补 集定 义由所有属于a且属于b的元素所组成的集合,叫做a,b的交集记作ab（读作a交b），即ab=x|xa，且xb由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合

5、，叫做a,b的并集记作：ab（读作a并b），即ab =x|xa，或xb)全集：一般，若一个集合汉语我们所研究问题中这几道的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作：u设s是一个集合，a是s的一个子集，由s中所有不属于a的元素组成的集合，叫做s中子集a的补集（或余集）记作，csa=韦恩图示sa性 质a a=a a =a b=baa ba a bbaua=a au=aaub=bua aubaubb(cua)(cub)= cu(aub)(cua) u (cub)= cu(ab)au(cua)=ua(cua)=课时四：函数的有关概念1 函数的概念：设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对

6、于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：ab为从集合a到集合b的一个函数记作： y=f(x)，xa（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围a叫做函数的定义域；（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xa 叫做函数的值域2 函数的三要素：定义域、值域、对应法则3 函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义域（2）图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。（3）列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (

7、xa)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点p(x，y)的集合c，叫做函数 y=f(x),(x a)的图象c上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在c上 . (2) 画法a、描点法： b、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换。 （3）函数图像变换的特点： 1）函数y=f(x) 关于x轴对称y=-f(x) 2）函数y=f(x) 关于y轴对称y=f(-x) 3）函数y=f(x) 关于原点对称y=-f(-x)课时五：函数的解析表达式，及函数定义域的求法1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方

8、法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）、求函数的解析式的主要方法有： 1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4)拼凑法：2定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问

9、题有意义.3、相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致 (两点必须同时具备)4、区间的概念：（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示课时六：1值域 : 先考虑其定义域（1）观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域； （2）反表示法：针对分式的类型，把y关于x的函数关系式化成x关于y的函数关系式，由x的范围类似求y的范围。(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确定函数的值域，注意定义域的范围。 (4)代换法（换元法）：作变量代换，针对根式的题型，转化成二次函数的类型。课时七1.分段函数

10、（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。（2）各部分的自变量的取值情况（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果y=f(u)(um),u=g(x)(xa),则 y=fg(x)=f(x)(xa) 称为f、g的复合函数。（4）常用的分段函数1）取整函数：2）符号函数：3）含绝对值的函数：2映射一般地，设a、b是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合a中的任意一个元素x，在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：ab为从集合a到集合b的一个映射。记作“f（对应关系）：a（原象）b（象）”对于映射f：ab来说，则应满足：

11、(1)集合a中的每一个元素，在集合b中都有象，并且象是唯一的；(2)集合a中不同的元素，在集合b中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合b中的每一个元素在集合a中都有原象。 注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的，而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数课时八函数的单调性(局部性质)及最值1、增减函数（1）设函数y=f(x)的定义域为i，如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间d上是增函数.区间d称为y=f(x)的单调增区间.（2）如果对于区间d上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2

12、 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间d称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种2、 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.3、函数单调区间与单调性的判定方法(a) 定义法： 任取x1，x2d，且x11，且*当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。此时，a的n次方根用符号 表示。当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数

13、互为相反数。此时正数a的正的n次方根用符号 表示，负的n的次方根用符号 表示。正的n次方根与负的n次方根可以合并成 （a0）。注意：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。当是奇数时，当是偶数时，式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。 3、 分数指数幂 正数的分数指数幂的，0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义4、 有理数指数米的运算性质（1）；（2）；（3）5、无理数指数幂一般的，无理数指数幂aa（a0,a是无理数）是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质同样使用于无理数指数幂。课时十五：指数函数的性质及其特点（1）1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其

14、中x是自变量，函数的定义域为r注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1为什么？2、在同以坐标平面内画出下列函数的图像：（1） （2） （3） （4） （5）图像特征图像特征a1a10a1向、轴正负方向无限延伸函数的定义域为r图像关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图像都在x轴的上方函数的值域为r+函数图象都过定点（0，1）a0=1自左向右看图像逐渐上升。自左向右看图像逐渐上升。增函数减函数在第一象限内图像纵坐标都大于1。在第一象限内图像纵坐标都大于1。x0，ax1x0， ax 1在第二象限内图像纵坐标都小于1。在第二象限内图像纵坐标都大于1。x0，ax 1x1图像上升的趋势愈来愈陡。图像上升的趋势愈来愈陡。函数值开始增加较慢，到了某一值后增长速度极快。函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢。课时十六：指数函数的性质及其特点（1）指数函数的图象和性质a10a1时，若x1x2 ,则有f(x1)10a1定义域x0定义域x0值域为r值域为r在r上递增在r上递减函