函数压轴题精选VIP

1、1. 已 知a ，b ，c ，d是 不 全 为 零 的 实 数 ， 函 数f (x)bx2cxd，g ( x)ax 3bx 2cxd ，方程 f （ x）=0=0 的根，反之，g（f （ x） =0 的实数根都是有实根，且 f（ x）=0 f（ x） =0 的根。的实数根都是g（ f（ x）（ 1）求 d 的值；（ 3 分）（ 2）若 a=0，求 c 的取值范围；（ 6 分）（ 3）若 a=1， f （ 1） =0，求 c 的取值范围。（ 7 分）解：（ 1）设 x0 是 fx0的根，那么fx00 ，则 x0是 g( f (x)0 的根，则gfx00, 即 g00 ，所以 d0。（2 ）因为a

2、0，所以fxbx2cx, gxbx2cx，则g( f (x)f xbfxc=bx2cxb2 x2bcxc=0的根也是fxx bxc0 的根。（ a）若 b0，则 c0，此时 fx0 的根为 0，而 g ( f (x)0 的根也是0，所以c0，（ b）若 b0 ，当 c0 时， fx0 的根为0，而 g ( f (x)0的根也是0，当 c0时，fx0 的根为0 和c，而 bfxc0 的根不可能为0 和c，所以 bfxc0bb必无实数根，所以bc24b2 c0, 所以 c24c0,0c4 ，从而 0c4所以当 b0 时， c0 ；当 b0 时， 0c4 。（ 3） a 1, f(1) 0 ，所以

3、bc0，即 fx0 的根为0 和 1，所以cx 2cx2ccx2cxc =0 必无实数根，2c ，即函数 h（ a）当 c0 时， t =cx2cx =cx1ctt 2ctc 在244cc2c2t， h t0 恒 成 立 ， 又 h tt 2ct ctc， 所 以424ht minc0 ，即c2c2c0, 所以 0c16h164；432c ，即函数 h（ b）当 c0 时， t =cx2cx =cx1ctt 2ctc 在244c ， h t2c2t0 恒成立，又 h tt2ctctcc，所以424c，c2c2h t minh0c0，而c0，所以 c0，所以c不可能小于0244，（ c）c0,

4、则 b0, 这时 f x0 的根为一切实数， 而 gf x0 ，所以 c0, 符合要求。所以 0 c1632. 已知 a0 ，函数 f ( x)axbx2（ I ）当 b0 时，若对任意xR 都有 f ( x)1，证明 a2b（ II ）当 b1 时，证明：对任意x 0,1 ， | f ( x) |1 的充要条件是 b1 a2 b ；（ III ）当 0 b1时，讨论：对任意 x 0,1 ， |f (x) |1的充要条件。2证 ：（ 1 ） 依 设 ， 对 任 意 xR ， 都 有 f ( x)1因 为 f ( x)b( xa ) 2a 22b4baa21 因为 a 0, b 0a 2 bf

5、( )4b2b（ II ） 必要性：对任意 x 0,1, | f ( x) | 11f ( x) ，据此可以推出1f (1)即 ab1ab1对任意 x0,1, | f ( x) | 1f (x)1因为 b1，可以推出f (1 )1 即 a111a2bb1a2 bbb充 分 性 ： 因 为 b1, ab1 ， 对 任 意x 0,1， 可 以 推 出 ：axbx2b(xx 2 )xx1 即 axbx 21因 为 b1, a2 b ， 对 任 意x 0,1 ，可以推出 axbx 22b xbx21即 axbx 211f ( x)1综上，当 b1 时，对任意x 0,1， | f ( x) |1的充要条

6、件是 b1a2b（ III）解：因为 a0,0b1时，对任意 x0,1 ： f (x)axbx2b1，即 f (x)1 ；f (x)1f (1)1ab1即 ab1ab 1f ( x)(b1) xbx21，即 f ( x)1所以，当 a0,0b1 时，对任意 x0,1， | f ( x) |1 的充要条件是 ab13. 设 a0 ， 如 图 ， 已 知 直 线 l : yax 及 曲 线 C : yx2 , C 上 的 点 Q1 的 横 坐 标 为a (0aa).从 C上的点 Q (n1)作直线平行于 x 轴，交直线l于点Pn，再从点Pn 1作直111n线平行于 y 轴，交曲线 C于点 Qn 1

7、 . Qn (n1,2,3,）的横坐标构成数列an（）试求 an 1与 an 的关系，并求an的通项公式；（）当 a1n(ak ak 1 )ak1,a1时，证明2k 1n1（）当 a1 时，证明( akak 1) ak 2k13（）解： Qn (an 1 , an2 ), Pn 1 ( 1an2 , an2 ), Qn 1 ( 1aa an 11an2 , an1an2 11 ( 1an2aaa a1232cylr2Q3r1Q2Q1an2 , 12 an4 ).Oa1 a2 a3xa2 ) 2( 1 )1 2 an2 22a( 1 )1 2 ( 1 an23 ) 22( 1 )1 2 2 2

8、an23 2aaa11 22n 22n 112 n 112 n 1a1)2n 1， ana1)2n 1( )a1( )a1a(a(.aaaa（）证明：由=1 知2,111an 1ana1, a2, a3.a1624当时1.k1,ak 2 a316n(akak 1 ) ak 21n(aka k 1 )1an 1 )116 k(a1.k111632（）证明：由（）知，当a=1 时， ana12 n 1,nn2k 12k2 k 12 n 1因此( akak 1 )ak 2ii 12i 2(a1a1 )a1(a1a1)a1k1k1i12 n 13=a15123i2a1(1 a1 )a1i 1 a1(1

9、 a1 )a11 a131 a1 a123.4已知函数 f (x)( xR) 满足下列条件：对任意的实数x ， x都有12( x1x2 )2( x1x2 ) f (x1)f (x2 )和 f ( x1 )f ( x2 )x1x2，其中是大于0 的常数 .设实数 a0， a， b 满足 f ( a0 )0 和 baf ( a)( ) 证明1，并且不存在 b0a0 ，使得 f (b0 )0 ；( ) 证明 (b a0 ) 2(12 )(aa0 )2 ；( ) 证明 f (b) 2(12 )f ( a) 2.证明：（ I）任取 x1 , x2R, x1 x2 ，则由( x1x2 ) 2(x1x2 )

10、 f ( x1 )f (x2 )和 | f ( x1 )f (x2 ) | | x1x2 |可知( x1x2 ) 2( x1x2 ) f (x1 )f ( x2 ) | x1x2 | | f ( x1 )f ( x2 ) | | x1 x2 |2 ，从而1.假设有 b0a0 ，使得f (b0 )0，则由式知0( a0b0 ) 2(a0b0 ) f (a0 )f (b0 )0矛盾不存在 b0a0 ，使得 f (b0 )0.（ II）由 baf (a)可知(ba0 ) 2 aa0f ( a) 2(aa0 ) 22(aa0 ) f (a)2 f (a) 2由f(a0)0和 式，得( aa0) f (

11、a)(aa) f (a)f (a0)(aa) 200由f(a0)0 和式知， f (a) 2 f (a)f (a0)2(a a) 20由、代入式，得(b a0 ) 2(aa0 )222 (aa0 ) 22 ( aa0 )2(12 )(aa0 )2（III ）由式可知 f (b) 2 f (b)f ( a)f ( a) 2 f (b)f (a) 22 f (a) f (b)f ( a) f (a) 2(ba) 22 ba f (b)f (a) f (a) 2（用式）2 f (a) 22 (b a) f (b)f ( a) f (a) 22 f (a)22(ba) 2 f ( a) 2（用式）2

12、f (a) 22 2 f (a) 2 f (a) 2(12 ) f (a) 25. f ( x)x 2 | x a |当 a2 时，求使 f (x)x 成立的 x 的集合；求函数 yf (x) 在区间1,2上的最小值（）由题意，f ( x)x 2 | x2 |当 x2时，由 f ( x)x2 (2x)x ，解得 x0 或 x1；当x时，由 f ( x)x2 ( x2)x ，解得 x122综上，所求解集为 0,1,12( ) 设此最小值为 m当 a1时，在区间 1 ，2 上， f ( x)x3ax 2 ，因为 f ( x)3x22ax 3x(x2a)0 ， x(1,2) ，3则 f (x) 是区

13、间 1 ， 2 上的增函数，所以mf (1) 1a当 1a2 时，在区间 1 ， 2上， f ( x)x 2| xa |0 ，由 f (a)0 知mf ( a)0当 a2 时，在区间 1， 2上， f ( x)ax 2x3f ( x)2ax3x 23x(2ax)3若 a3，在区间（ 1， 2）上， f ( x) 0，则 f (x) 是区间 1 ， 2 上的增函数，所以mf (1)a1若 2a3，则 12 a23当 1x2 a 时， f ( x)0 ，则 f ( x) 是区间 1 ，2a 上的增函数，当 2323ax2时， f ( x)0 ，则 f (x) 是区间 a ，2 上的减函数，33因此

14、当 2a3 时， mf (1)a 1或 mf (2)4(a 2)当 2a72)a1，故 mf (2)4(a 2) ，时， 4(a3当 7a 3时， 4(a2)a1 ，故 mf (1)a131aa101a 2总上所述，所求函数的最小值m 4(a 2)27a3a1a736. 设a为实数，设函数f ( x) a 1 x21 x1 x的最大值为 () 。g a（）设 t 1 x1x ，求 t 的取值范围，并把f( x) 表示为 t 的函数 m( t )（）求 g( a)1（）试求满足g (a )g () 的所有实数a解：（ ） t1x1x , 要使 t 有意义，必须 1x0且1x0, 即1x1 t 2

15、22 1 x2 2,4,t0 t的取值范围是 2,2由得1x 21t 21 m(t)a(1t 21)t1at 2ta,t 2 ,2222（）由题意知g(a) 即为函数 m(t)1 at 2ta, t 2,2 的最大值2注意到直线 t1是抛物线 m(t)1 at 2t a 的对称轴，分以下几种情况讨论。a2（ 1）当 a0，函数 ym(t), t2,2 的图像是开口向上的抛物线的一段，由t10知 m(t )在2,2 上单调递增。g (a)m( 2)a2a（ 2）当 a=0 时， m(t)=t， t 2,2 ， g (a)2（ 3）当 a0 时， 12110 ，此时 g (a)a2, g()21a

16、aa2解得 a1,由a0知a1由 a 2a综上知，满足g(a)g( 1 ) 的所有实数 a 为：2a2 或 a1a2解法二：当 a1 时,g (a)a23222当2a1时, a1,2),1(2 ,1 ，所以 a1 ,22222a22ag (a)a12 ( a)2a当 a0时, 10，由 g (a)a1当 a0时, a1,因此 aa(1 )2 。因此，当 a2 时, g(a)22a2g( 1 )知a212解得 a 1aa1 )2或 11,从而g(a)12或 g(aa要使 g( a)g ( 1 ) ，必须有 a212,即2 a22,2.aa2此 时 g(a)2g ( 1 ) 。 综 上 知 ， 满

17、 足 g(a)g ( 1 ) 的 所 有 实 数 a 为 ：aa2或 a12 a27.已知 f ( x)x2bxc(b, c R) 是偶函数且 f ( 0)0（1）求函数 f (x) 的解析式f ( x)x2（2）是否存在实数1 ,使函数 g (x)1 f ( x) 2(1) x 在区间1,2 上的值域为4174,（3）若不等式 f ( x)a xa10 对于一切 x1,2 恒成立，求实数 a 的取值范围8.设函数 f ( x) ax2bx 1a 0, b R 的最小值为a ， f ( x) 0 的两个实根为 x1 , x2（1）求 x1 x2 的值（2）若关于 x 的不等式 f ( x)0

18、的解集为 A，函数 f (x)2x 在 A上不存在最小值，求 a 的取值范围（3）若2x10, 求 b 的取值范围9. 已知函数 f (x )1(x R ) .4x2(1) 函数 f (x ) 的 象关于点 (1 , 1) 称 ;24(2)若 数 列 an 的 通 项 公 式 为 a nf ( n ) (mN, n1, 2, m) ,求 数 列m an 的前 m 和 Sm ;(3)设数列 bn 满足:b11,bn 1bn2b n.设3Tn111.b11b21bn1若 (2)中的 Sn 足 任意不小于2的正整数 n,SnTn 恒成立 , 求 m的最大 .解 : (1) 点 P0 ( x 0 ,y

19、 0 ) 是函数 f (x ) 的 象上任意一点, 其关于点 ( 1 , 1 ) 的 称点 24P(x, y ) .xx 01x1 x 0 ,22由y得y1y 0 .y 01224所以 ,点 P 的坐 P (1x 0 , 1y 0 ) . (2 分 )21由点 P0 (x 0 ,y 0 ) 在函数 f (x) 的 象上 ,得 y 0.4x02 f (1x 0 )14x 04x0,41x 0242 4x02(4 x 02)1y01124x 02),点 P (1x 0 ,1y 0 ) 在函数 f (x ) 的 象上 .224x 02(4 x02函数 f (x ) 的 象关于点( 1 , 1) 称

20、. (4分 )241所以 f ( k )k )1 (1(2)由 (1)可知 , f ( x)f (1x ),f (1km1) ,2mm2即 f ( k )f ( m k )1 ,akam k1 , (6 分 )mm22由 Sma1a2a3am 1am ,得 Smam 1am 2am3a1am , 由 ,得 2Sm(m1)12a mm121m1 ,22626 Sm1 (3m 1). (8分 )12(3) b11 , b n1bn2b nb n (bn1) ,3 任意的 nN, b n0 .由、 ,得1111, 即111 .b n 1bn (b n1) b nb n1b n1 bnbn 1 Tn( 11 ) ( 11 )( 11 )1131. b1b 2b2b3bnbn 1b1bn 1bn 1(10 分 ) bn 1b nbn20,b n 1bn , 数列 bn 是 增数列 .