等腰三角形时常用的辅助线作法

1、有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图， AB = AC，BD AC于 D，求证： BAC = 2DBC有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图， ABC中， AB = AC，D 为 BC中点， DEAB于 E，DFAC于 F，求证： DE = DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图， ABC中， AB = AC，在 BA延长线和 AC上各取一点 E、F，使 AE = AF，求证： EFBC常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在 ABC中， AB = AC， D 在 AB上， E 在 AC延长线上，且 BD = CE，连结DE交

2、 BC于 F求证： DF = EF常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图， ABC中， AB =AC， F 在 AC上， E 在 BA延长线上，且 AE = AF，连结 DE 求证： EF BC常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形例：已知，如图， ABC中， AB = AC， BAC = 80 o ,P 为形内一点，若 PBC = 10o ， PCB = 30o 求 PAB的度数 .有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图， AB = AC，BD AC于 D，求证： BAC = 2DBC证明：（方法一）作 BAC的平分线 AE，交 BC于

3、 E，则 1 = 2 =1 BAC 2又 AB = AC AEBC 2 ACB = 90o BDACo DBC ACB = 90 2 = DBC（方法二）过A 作 AEBC于 E（过程略）A1 2DBEC（方法三）取BC中点 E，连结 AE（过程略）有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图， ABC中， AB = AC，D 为 BC中点， DEAB于 E，DFAC于 F，求证： DE = DF证明：连结 AD. D 为 BC中点， BD = CDA又 AB =AC AD平分 BACEF DEAB，DF AC DE = DFBDC将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图， ABC中， AB

4、 = AC，在 BA延长线和 AC上各取一点 E、 F，使 AE = AF，求证： EFBC证明：延长 BE到 N，使 AN = AB, 连结 CN,则 AB = AN = AC B = ACB, ACN = ANC B ACB ACN ANC = 180o 2 BCA2ACN = 180o BCA ACN = 90o即 BCN = 90o NCBCN AE = AFE AEF = AFEA又 BAC = AEF AFE BAC = ACN ANCF BAC =2AEF = 2 ANCBC AEF = ANC EFNC EFBC常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在 ABC中

5、， AB = AC， D 在 AB上， E 在 AC延长线上，且 BD = CE，连结DE交 BC于 F求证： DF = EF证明：（证法一）过 D 作 DNAE，交 BC于 N，则 DNB = ACB， NDE = E， AB = AC， B = ACB B = DNBBD = DNA又 BD = CEDN = EC在 DNF和 ECF中D1 = 21CNDF = EB2NFDN = ECE DNF ECFDF = EF（证法二）过 E 作 EM AB交 BC延长线于 M,则 EMB =B（过程略）常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图， ABC中， AB=AC，E 在 AC上，

6、D 在 BA延长线上，且 AD = AE，连结 DEAD求证： DE BCB1CMF2证明：（证法一）过点 E 作 EF BC交 AB于 F，则EAFE =BAEF =CAB = AC B =C AFE =AEFAD = AEND AED =ADE又 AFE AEF AED ADE = 180 oAM2AEF 2 AED = 90oFE即 FED = 90oDEFEBC又 EFBCDEBC（证法二）过点 D 作 DNBC交 CA的延长线于 N，（过程略）（证法三）过点 A 作 AMBC交 DE于 M，（过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形 -等边三角形例：已知，如图， ABC中， AB

7、= AC， BAC = 80o ,P为形内一点，若 PBC= 10oPCB = 30o求 PAB的度数 .解法一：以 AB为一边作等边三角形，连结CEo则 BAE =ABE = 60AB = ACAE = AC ABC = ACB AEC =ACE EAC =BAC BAE= 80o 60o = 20 o ACE=1 (180 o EAC)=80o2 ACB= 1 (180 o BAC)= 50o2A BCE =ACE ACB= 80o 50o = 30 o PCB = 30oBP PCB = BCEC ABC =ACB = 50o, ABE = 60oE EBC =ABE ABC = 60o

8、50o =10 o PBC = 10o PBC = EBC在 PBC和 EBC中PBC = EBCBC = BCPCB = BCE PBC EBCBP = BEAB = BEAB = BP BAP =BPA ABP =ABC PBC = 50o10o = 40 o PAB = 1 (180 o ABP)= 70o2解法二：以 AC为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以 BC为一边作等边三角形 BCE，连结 AE,则 EB = EC = BC， BEC =EBC = 60o EB = EC E 在 BC的中垂线上同理 A 在 BC的中垂线上 EA所在的直线是 BC的中垂线 EABC AEB = 1 BEC = 30o = PCB2由解法一知： ABC = 50o ABE = EBC ABC = 10o =