浙江省2020版高考数学大一轮复习三角函数的图象和性质课件.pptx

1、 4.5三角函数的图象和性质,教材研读,三角函数的图象和性质,考点突破,考点一 三角函数的定义域与值域,考点二 三角函数的单调性,考点三 三角函数的周期性,考点四 三角函数的奇偶性,三角函数的图象和性质,教材研读,1.下列函数中,周期为,且在上为减函数的是(A) A.y=sinB.y=cos C.y=sinD.y=cos,2.已知 f(x)=tan x+sin x+1,若f(b)=2,则f(-b)=(A) A.0B.3C.-1D.-2,3.(2017贵州适应性考试)函数f(x)=cos2-sin x-(x0,)的单调 递增区间为(C) A.B.C.D.,4.函数y=sin的图象的对称轴方程是x

2、=k,kZ.,5.(2017课标全国理,14,5分)函数f(x)=sin2x+cos x-的最 大值是1.,解析由题意可得f(x)=-cos2x+cos x+=-+1. x,cos x0,1, 当cos x=时, f(x)max=1.,三角函数的定义域与值域 典例1(1)函数y=lg sin x+的定义域为 ; (2)设x,函数y=4sin2x-12sin x-1的值域为 -9,6.,考点突破,解析(1)要使函数有意义,则有 即解得(kZ), 2kx+2k,kZ, 函数的定义域为. (2)令t=sin x,由于x,故t,所以y=4t2-12t-1=4-10,t. 因为当t时,函数单调递减, 所

3、以当t=-,即x=-时,ymax=6; 当t=1,即x=时,ymin=-9. 则函数的值域为-9,6.,方法技巧,1.用三角方法求三角函数最值常见的函数形式 (1)y=asin x+bcos x=sin(x+),其中cos =,sin =,再利用有界性处理. (2)y=asin2x+bsin xcos x+cos2x+cy=Asin 2x+Bcos 2x+C= sin(2x+)+C.其中tan =,再利用有界性处理. (3)y=或y=可分别转化为只有分母含有sin x或cos x的 函数式,也可分别转化为sin x=f(y)或cos x=f(y)的形式,由正、余弦函,数的有界性求解.,2.用代

4、数方法求三角函数最值常见的函数形式 (1)y=asin2x+bsin x+c或y=acos2x+bcos x+c(其中a0),可分别令t=sin x或t=cos x,转化为关于t的二次函数在区间-1,1上的最值. (2)y=asin x+(其中a,b,c为常数,且abc0),令t=sin x,则转化为y=at+ (t-1,0)(0,1)的最值,一般利用函数的单调性或函数图象求解 (3)y=a(sin xcos x)+bsin xcos x,可令t=sin xcos x,则sin xcos x=,把三角问题化归为代数问题解决.,3.用解析法求三角函数最值常见的函数形式 y=,其中ab0,先化为y

5、= ,然后转化为求单位圆上的动点与定点连线斜率的最 值问题.,1-1函数y=的定义域为 .,解析sin x-cos x=sin0,将x-视为一个整体,由正弦函数y= sin x的图象和性质可知2kx-+2k,kZ. 解得2k+x2k+,kZ. 所以原函数的定义域为.,1-2函数y=sin x-cos x+sin xcos x的值域为 .,解析设t=sin x-cos x,则-t, t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,则sin xcos x=, y=-+t+=-(t-1)2+1,t-,. 当t=1时,ymax=1; 当t=-时,ymin=-. 函数的值域为.,典例2(2017浙

6、江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin xcos x(x R). (1)求f的值; (2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.,命题方向一求已知三角函数的单调区间,三角函数的单调性,解析(1)由sin=,cos=-, f=-2,得f=2. (2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得 f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin. 所以f(x)的最小正周期是. 由正弦函数的性质得+2k2x+2k,kZ,解得+kx+k,kZ. 所以f(x)的单调递增区间是(kZ).,典例3(2019汤溪中学月考)函数f(x)=sin

7、x(其中0)在区间 上单调递增,则的取值范围是 .,命题方向二已知三角函数的单调区间求参数,解析因为0,由2k-x2k+,kZ, 得f(x)的增区间是,kZ. 因为f(x)在上单调递增, 所以,kZ. 所以-且+,kZ, 所以.,典例4已知函数f(x)=2sin,设a=f,b=f,c=f,则a,b,c的大 小关系是(B) A.acbB.cab C.bacD.bca,命题方向三利用三角函数的单调性比较大小,解析a=f=2sin,b=f=2sin, c=f=2sin=2sin, 因为y=sin x在上递增,且, 所以cab.,典例5函数f(x)=3sin在上的值域为(B) A.B. C.D.,命题

8、方向四利用三角函数单调性求值域,解析当x时,2x-, sin, 故3sin, 函数f(x)在上的值域是.,方法指导 确定三角函数单调性的方法 (1)求形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+)(其中A0,0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法解决.列不等式的原则:把“x+(0)”视为一个整体;A0(A0)时,所列不等式的不等号的方向与y=sin x(xR)或y=cos x(xR)的单调区间对应的不等式的不等号方向相同(反). (2)对于y=Atan(x+)(A0,0),其最小正周期T=,利用x+,(kZ),解出x的取值范围,即为其单调区间. (3)对于复合函数y=f(x),其单调性的

9、判定方法:若y=f(v)和v=(x)同为增(减)函数,则y=f(x)为增函数;若y=f(v)和v=(x)一增一减,则y=f(x)为减函数. (4)判断含有绝对值的三角函数的单调性及周期性,通常要画出图象,结合图象判断.,2-1函数f(x)=sin的单调减区间为 (kZ) .,解析因为f(x)=sin=-sin,所以欲求函数f(x)的单调减区 间,只需求y=sin的单调增区间. 由2k-2x-2k+,kZ, 得k-xk+,kZ. 故所给函数的单调减区间为(kZ).,2-2若函数f(x)=sin x(0)在上单调递增,在上单调递减, 则=.,解析函数f(x)=sin x(0)在区间上单调递增,在区

10、间上 单调递减,T=,且=+2k(kZ),06,且=+6k(kZ), =(经检验满足题意).,2-3已知函数f(x)=cos 2x-2sin2+(0)的最小正周期为 . (1)求函数y=f(x)的单调递增区间; (2)若对任意的x,|f(x)-m|2,求m的取值范围.,解析(1)f(x)=cos 2x+cos=2cos, 所以2=2,故=1,所以f(x)=2cos, 令2k+2x+2k+2,kZ, 解得k+xk+,kZ, 所以函数y=f(x)的单调递增区间为,kZ. (2)因为x,所以2x+,所以cos,故f(x)-2,. 由|f(x)-m|2,得f(x)-2mf(x)+2, 所以即m的取值范

11、围是-2,0.,典例6(1)(2016浙江理,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期(B) A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关 C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关 (2)函数f(x)=|sin x+cos x|+|sin x-cos x|的最小正周期为(C) A.2B.C.D.,三角函数的周期性,解析(1)f(x)=sin2x+bsin x+c,若b=0,则f(x)=sin2x+c=(1-cos 2x)+c,此时f (x)的最小正周期为;若b0,则f(x)的最小正周期为2,所以选B. (2)f=sin+cos+sin-cos=

12、|cos x- sin x|+|cos x+sin x| =|sin x+cos x|+|sin x-cos x|=f(x), 所以是函数f(x)的一个周期, 当x时, f(x)=sin x+cos x-sin x+cos x=2cos x,易知f(x)在上单调递减; 当x时, f(x)=sin x+cos x+sin x-cos x=2sin x, 易知f(x)在上单调递增. 由此可知函数f(x)在内不存在小于的周期,又由是函数f(x)的一 个周期可知函数f(x)在任何长度为的区间内均不存在小于的周期,所 以是f(x)的最小正周期,故选C.,规律总结 求三角函数的最小正周期时,要先对解析式进

13、行化简,化为y=Asin(x+)或y=Atan(x+)的形式,再利用公式T=或T=求解.有时也可根据 函数的图象,通过观察求得最小正周期.,3-1函数f(x)=cos的最小正周期是(B) A.B.C.2D.4,解析=2,最小正周期T=,故选B.,3-2函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)的最小正周期是(B) A.B.C.D.2,解析f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)=4sincos=2sin ,最小正周期T=,故选B.,典例7已知函数f(x)=sin(2x+)满足f(x)f(a)对于xR恒成立,则(D) A.f(x-a)一定是奇函数B.

14、f(x-a)一定是偶函数 C.f(x+a)一定是奇函数D.f(x+a)一定是偶函数,三角函数的奇偶性,解析由题意可知sin(2a+)=1,2a+=2k+,kZ,f(x+a)=sin(2x+2 a+)=sin=cos 2x.故选D.,规律总结 先将函数关系式整理化简,再判断奇偶性.,4-1下列函数中周期为且为偶函数的是(A) A.y=sinB.y=cos C.y=sin D.y=cos,解析根据周期为,排除选项C、D. 对于选项A,y=sin=-cos 2x,是偶函数, 对于选项B,y=cos=sin 2x,是奇函数,故选A.,典例8(1)已知函数y=sin x+acos x的图象关于直线x=对

15、称,则函数y= asin x+cos x的图象关于直线( C ) A.x=对称B.x=对称 C.x=对称D.x=对称 (2)(2019绍兴一中月考)下列关于函数f(x)=cos 2x+tan的图象的 叙述正确的是( C ),三角函数的对称性,C.关于点对称D.关于直线x=对称,A.关于原点对称 B.关于y轴对称,解析(1)函数y=sin x+acos x的最大值、最小值分别为、-, 函数y=sin x+acos x的图象关于直线x=对称,从而有sin+acos= ,即-+a=,解得a=-,则y=asin x+cos x=-sin x+cos x =cos,其图象的对称轴方程为x=k-(kZ),

16、故选C. (2)f(x)=sin+tan=-sin+tan,令t=x-,则 函数化为g(t)=-sin 2t+tan t,是奇函数,其图象关于原点对称,所以原函,数的图象关于点对称.,方法指导 对于函数f(x)=Asin(x+),如果求f(x)图象的对称轴,只需令x+= +k(kZ)即可.如果求f(x)图象的对称中心的横坐标,只需令x+=k(kZ)即可.,同类练若函数f(x)=Asin(x+)A0,0,-的图象关于直线 x=对称,它的最小正周期是,则(C) A.f(x)的图象过点 B.f(x)在上是减函数 C.f(x)图象的一个对称中心是 D.f(x)的最大值是4,解析因为函数f(x)的最小正

17、周期是,0, 所以=2, f(x)=Asin(x+)=Asin(2x+). 又因为函数f(x)的图象关于直线x=对称, 所以2+=k+(kZ), 所以=k-(kZ), 因为-,所以=.,所以f(x)=Asin, 易得f(x)图象的一个对称中心是.故选C.,变式练(1)若函数f(x)=2sin(0)与g(x)=cos(2x+)图 象的对称轴完全相同,则=(A) A.-B.C.D.- (2)已知函数f(x)=2sin(x+)(0)的图象关于直线x=对称,且f=0, 则的最小值是(B) A.1B.2C.3D.4,解析(1)若函数f(x)与函数g(x)图象的对称轴完全相同,且0,则必有=2,即f(x)=2sin. 令2x+=k+(kZ), 则x=+(kZ),所以函数f(x)的图象的对称轴是直线x=+(kZ), 由题意知函数g(x)的图象的对称轴同样为直线x=+(kZ),即2 +=k+=k,kZ,kZ,则+=(k-k),易知(k-k)Z,又|,所以=-. (2)设T为函数f(x)的最小正周期,由题意知的最大值为-=,即T的 最大值为,当T取得最大值时取得最小值,此时=2,故选B.,深化练设函数f(x)=sin(x+),给出以下四个论断: 它的图象关于直线x=对称; 它的周期为; 它的图象关于点对称; f(x)在区间上是增函数. 以其中两个论断作为条件,余下