数学物理方法综合试题及答案

1、.复变函数与积分变换综合试题（一）一、单项选择题( 本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分 )在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设 zcosi ，则（）A Imz0B RezC z0D argz2复数 z3(cos,i sin) 的三角表示式为（）55A 3(cos 4, i sin 4)B 3(cos 4,- i sin 4)C 3(cos 4,i sin 4 )555555D443(cos, - i sin)553设 C 为正向圆周 |z|=1，则积分dz 等于（）c| z |A 0B 2 iC 2D 24设

2、函数 fzze d，则 fz等于（）0A zezez1B zezez1 C zezez1 D zezez1解答：5 z1 是函数cot z的（）(z1) 4A 3 阶极点B 4 阶极点C 5 阶极点D 6 阶极点6下列映射中，把角形域0arg z保角映射成单位圆内部 |w|0 映射为上半平面Im0B. 将上半平面 Im z 0 映射为单位圆 | |1C.将单位圆 |z|0D.将单位圆 |z|1映射为单位圆 | |0;（ 4） w f (z) 把 D 映射成 G。3 / 8.y 2 y y 127利用拉氏变换解常微分方程初值问题：0, y (0)1y(0)4 / 8.综合试题（一）答案一、 1.

3、A 2.C 3.A 4.D 5.C 6.C 7.B 8.D 9.D 10.A1 (1i二、 11 zi3), 或 e 312 e13 0214 4 i153i, 或 2 i3cos16633三、17解：因在 C 内 f(z)e z有二阶级点 z=I ，所以(z - i) 2 (z3i) 2?cf ( z)dz2i limd ( z - i ) 2 f ( z)2i lime z-2e z(-1 2 i )1! z idzz i( z 3i ) 2( z 3i ) 31618.解：因为 n 为正整数，所以f(z)在整个 z 平面上可导 .f (z) n(z1)n1.19解 1：u2x2y， u2

4、x - 2y ，xy由 C R条件，有vx ,v- u ，yxxyvv dy(2x2y)dy2xyy 2(x) 。再由xu2y (x)-2x2y-u ，xy得 (x)-2x，于是(x)-x 2C ，v2xyy2 - x 2C 。由v(0,0)1,得。C1故 v2xyy 2 - x 21解 2：(x, y )vvv(x y)(0,0)dxydyCx(x, y)(2y - 2x)dx(2x2y)dyC(0,0)-x 22xyy 2C以下同解 1。5 / 8.20解 1：z z dz12Re zdz2cos2i (cosi sin )dc2c-蜒| z |4i (1cos2 )d4i 。0zzdz-

5、ii2iei d2e2e解 2： ?c | z | | z |20222i (20) 4i 。21解：因为f ( z) e-z2(- z2 )n(-1)n2 n)，（ 2 分）n 0n!z(| zn 0 n!所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得z(-1)nz2 n 1f ( z)f ( )d(| z)0n!2n1n 0122. 解：函数 f (z)z，而且在 0 ze z 有孤立奇点0 与式：内有如下Laurent展开e1ez1(1z1 z21 z3)(111 11 1)zezz2!3!z2! z23! z3(111111) 12!2! 3!3!4!z11故 c 1z,0Re s e zk0

6、 k!( k1)z11Re s ez ,k0 k! (k1)23. 解：Cn 1lim n 1 1limnCnnn故收敛半径 R=1, 由逐项积分性质，有：z( 1)n znz( 1)n nzn -1dz0n 11 zn 1所以( 1)n nzn-1( z )12 , z 1n 11 z(1 z)6 / 8.于是有：( 1)n 1 nznz( 1)n n zn 1zz)2z 1n 1n1(124. 解：f ( z)6sin z3z3( z66)6sin z3z96 z36( z31 z91 z15L )z96z33!5!故 z=0 为 f(z) 的 15 级零点四、25.解：在上半平面内，f(

7、z)eiz有一阶极点 z=i 和 z=3i 。(z 21)(z 29)QI1( x2cos x9)dx1 Re(x2eixdx2 -1)(x22-1)(x29)1 Re 2iResf ( z),i2 i Resf ( z),3 i，21Res f(z), i，16eiRes f(z),3i-1，3i48eI48e3(3e 2 - 1) 。26.解：（ 1）由zi2+1,z2=-1 。解得交点 z1i2z设 w1z1，则它把 D 映射成 W平面上的43D1：arg w1z114- i（ 2）设 w2 e 4 w1 ，则它把 D1 映射成W2 平面上的第一象限D2：0arg w2。2（ 3）设 ww 22 ，则它把 D2 映射成 W平面的上半平面G： Imw0。-i4z -1 2z - 12（ 4） w(ez） i()。1z1(Z)z1(W1)w1iz14-1017 / 80-i(W)(W2).27. 设 F ( p) L y t，对方程两边取拉氏变换，有