第3章 结构地震反应分析与抗震计算课件

1、第3章 结构地震反应分析与抗震计算,第3章 结构地震反应分析 与抗震计算,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.1 概述 3.2 单自由度弹性体系地震反应分析 3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱 3.4 多自由度弹性体系的水平地震作用 3.5 竖向地震作用 3.6 建筑结构抗震验算,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,学习目标 熟悉结构基本周期、地震反应、反应谱、地震影响系数、地震作用及地震作用效应等基本术语； 了解地震作用的计算方法； (重点)熟练掌握底部剪力法、振型分解法 明确结构抗震验算的基本内容和要求,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,1. 底部剪力法 根据地震反应谱

2、理论,按地震引起的工程结构底部总剪力与等效单质点体系的水平地震作用相等以及地震作用沿结构高度分布接近于倒三角形来确定地震作用分布,并求出相应地震内力和变形的方法. 2.振型分解反应谱法 3.时程分析法,地震作用的确定方法,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,地震作用的确定方法,结构抗震设计理论发展过程主要经历三个阶段,1.静力理论阶段-静力法,1920年，日本大森房吉提出,假设建筑物为绝对刚体。,地震作用：,-地震系数：反映震级、震中距、地基 等的影响,将F作为静荷载，按静力计算方法计算结构的地震效应,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,地震作用的确定方法,2.反应谱理论-振型分解反应谱法,1

3、940年美国皮奥特教授提出,地震作用,目前，是世界上普遍采用的方法,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,地震作用的确定方法,3.直接动力分析理论-时程分析法 1960年以后，计算机的应用推广,将实际地震加速度时程记录（简称地震记录 earth-quakerecord）作为动荷载输入，进行结构的地震响应分析。,-用于大震分析计算以及大型、复杂结构的地震反应计算,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.1 概述,3.1.1 结构地震反应 由地震动引起的结构内力、变形、位移及结构运动速度与加速度等统称结构地震反应。若专指由地震引起的结构位移，则称结构地震位移反应。 3.1.2 地震作用（“地震荷载”

4、？） 地震作用与一般荷载的不同 3.1.3 结构动力计算简图及体系自由度,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.2单质点体系水平地震作用,3.2.1单质点体系计算简图 集中质量法：把结构的全部质量假想地集中到若干质点，结构杆件本身则看成无重弹性直杆,体系的自由度：确定一个体系弹性位移的独立参数的个数,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.2.1单质点体系计算简图,理解体系自由度的注意事项： (1)结构的自由度数不一定等于其质点数，而要根据质点的位移数来确定 （2）结构的自由度数和计算精度有关,当一个单质点体系只作单向振动时， 形成一个单自由度体系。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.

5、2.2单自由度体系在地震作用下 的运动方程,：地面（基础）的水平位移,：质点对地面的的相对位移,质点位移：,质点加速度：,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.2.2单自由度体系在地震作用下 的运动方程,取质点为隔离体，由结构动力学可知，作用在质点上的力：,惯性力：,弹性恢复力：,阻尼力（粘滞阻尼理论）：,运动方程：,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.2.2单自由度体系在地震作用下 的运动方程,将方程：,化简，方程左右两边同除以m，得：,式中：,：无阻尼自振圆频率，简称自振频率,：阻尼系数C与临界阻尼系数Cr 的比值，简称阻尼比,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.2.3运动方程的

6、解,单自由度弹性体系在地震作用下的运动方程：,是一常系数二阶非齐次微分方程 其通解由两部分组成： 1：齐次解，代表自由振动 2：特解，代表强迫振动,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.2.3运动方程的解,1：齐次方程的解 单质点弹性体系自由振动方程：,对一般结构（阻尼比较小），其齐次解为：,式中：,为t0时体系的初始位移,为t0时体系的初始速度,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.2.3运动方程的解,式中：,有阻尼体系的自振频率,有阻尼体系的自振频率将随着阻尼系数c 的增大而减小，即阻尼越大，自振频率越慢,表示结构不再振动,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.2.2单自由度体系在地

7、震作用下 的运动方程,将方程：,化简，方程左右两边同除以m，得：,式中：,：无阻尼自振圆频率，简称自振频率,：阻尼系数C与临界阻尼系数Cr 的比值，简称阻尼比,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.2.3运动方程的解,单自由度弹性体系在地震作用下的运动方程：,是一常系数二阶非齐次微分方程 其通解由两部分组成： 1：齐次解，代表自由振动 2：特解，代表强迫振动,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.2.3运动方程的解,1：齐次方程的解 单质点弹性体系自由振动方程：,对一般结构（阻尼比较小），其齐次解为：,式中：,为t0时体系的初始位移,为t0时体系的初始速度,第3章 结构地震反应分析与抗震计

8、算,3.2.3运动方程的解,式中：,有阻尼体系的自振频率,有阻尼体系的自振频率将随着阻尼系数c 的增大而减小，即阻尼越大，自振频率越慢,表示结构不再振动,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.2.3运动方程的解,实际工程中，一般不考虑阻尼影响，取：,此时，无阻尼体系的齐次解为：,建筑抗震设计中，阻尼比一般在0.010.1之间， 计算时混凝土结构通常取0.05,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.2.3运动方程的解,无阻尼自由振动：振幅始终不变 有阻尼自由振动：振幅随时间的增加而减小，体系 的阻尼越大，其振幅的衰减就越快。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.2.3运动方程的解,2、非

9、齐次方程的解,运动方程：,将等号右端地面运动加速度视为随时间变化的单位质量的“扰力”，即：,冲量法：将荷载看成是连续作用的一系列冲量，求出每个冲量引起的位移后将这些位移相加即为动荷载引起的位移。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.2.3运动方程的解,1）瞬时冲量的概念 冲量：一荷载P作用于单自由度体系，作用时间为t，两者的乘积Pt 瞬时冲量：当作用时间很短，为瞬时dt时，Pdt,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.2.3运动方程的解,瞬时冲量的反应 动量定律：冲量等于动量的改变量,a.t=0 时,即在体系静止状态下作用瞬时冲量,无阻尼,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.2.3运

10、动方程的解,b. 时刻作用瞬时冲量,荷载P(t)作用下的位移反应 冲量法,-杜哈美积分,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.2.3运动方程的解,计阻尼：,无阻尼：,杜哈美积分，即为非齐次方程的特解 由于体系在地震波作用之前处于静止状态，齐次解为0 上式即为处于静止状态的单自由度体系地震位移反应计算公式,注意：杜哈美积分只能用于弹性计算,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.2.4水平地震作用基本公式,运动方程：,地震作用下，质点在任一时刻的相对位移与该时刻的瞬时 惯性力成正比 通常把惯性力看作一种反映地震对结构体系影响的等效力， 可以用它的最大值来对结构进行抗震验算。,阻尼力很小，略去不

11、计：,水平地震作用：,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.2单自由度体系的弹性地震反应分析,3.2.1 单自由度体系 某些建筑结构，例如等高单层厂房，因其质量大部分集中在屋盖，故在进行动力计算时，可将该结构中参与振动的所有质量全部折算至屋盖，而将墙、柱视作一无重的弹性杆，这样就形成一个单质点体系。当该体系只作单向振动时，就成为一个单自由度体系。又如水塔，因其质量大部分集中于塔顶水箱，故亦可按单质点体系来分析其振动。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.2.2 运动方程,地震引起建筑物基础的运动。对于一个单质点弹性体系，当基础作水平运动时，其运动微分方

12、程的推导如下：如图所示，设基础发生的位移为x0(t) ，质点对基础的相对位移为x(t)，则质点的总位移为x0(t)+x(t) ，而质点的绝对加速度为 。取质点作隔离体，如图所示，由动力学可知，作用在它上面的力有三种，即惯性力、弹性恢复力及阻尼力。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,惯性力为质点的质量与绝对加速度的乘积，即 （3-1） 弹性恢复力是使质点从振动位置恢复到平衡位置的力，它的大小与质点离开平衡位置的位移成正比，即 (3-2),第3章 结构地震反应分析与抗震计算,阻尼力是使结构振动衰减的力，即结构在振动过程中，由于材料的内摩擦、构件连接处的摩擦、地基土的内摩擦以及周围介质对振动的阻力

13、，使其振动能量受到损耗而振幅不断衰减。阻尼力有几种不同的理论，目前应用最广的是所谓粘滞阻尼理论，它假定阻尼力与质点的速度成正比，即 (3-3) 式中 c阻尼系数,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,上述三种力的方向都与质点的运动方向相反，所以都带负号。 根据达朗贝尔原理，在物体运动的任一瞬间，作用在物体上的外力和惯性力相互平衡，故 (3-4a) 或 （3-4b） 上述方程就是在地震作用下质点的运动方程。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,动力学中单质点弹性体系在动荷载作用下 的运动方程为,比较（3-4b）和（3-4c）可知，两个运动方程基本相同，其区别仅在于式（3-4b）等号右边为地震时地面

14、运动加速度与质量的乘积；而式（3-4c）等号右边为作用在质点上的动荷载。由此可见，地面运动对质点的影响相当于在质点上加一个动荷载，其值等于 ，指向与地面运动加速度方向相反。因此，计算结构的地震反应时，必须知道地面运动加速度 的变化规律。 可由地震时地面加速度记录得到。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,为了使方程（3-4b）进一步简化，方程两边同除以，得到,设,则式（3-4b）可改写成,（3-5）,式（3-5）就是要建立的单质点弹性体系在地震作用下的运动微分方程。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.3 单自由度体系的水平地震 作用与反应谱,3.3.1 水平地震作用的定义 对于结构设计来

15、说，感兴趣的是结构最大地震反应，为此，将质点所受最大惯性力定义为单自由度体系的地震作用，即,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,将单自由度体系运动方程改写为 我们知道，物体振动的一般规律为：加速度最大时，速度最小 ( 0 )，则近似可得 即,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.3.2 地震反应谱 3.3.2.1 定义与计算 以体系自振周期T为横坐标，最大绝对加速度反应Sa为纵坐标，可绘制成谱曲线（ Sa T ），称之为加速度反应谱。所谓的“反应谱”就是单自由度弹性体系在给定的地震作用下某个最大反应量(加速度、速度、位移）与体系自振周期的关系曲线。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,将地震

16、位移反应表达式微分两次得,注意到结构阻尼比一般较小，,另体系自振周期 ,可得,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.3.2.2 Sa ( T )的意义与影响因素 地震（加速度）反应谱可理解为一个确定的地面运动，通过一组阻尼比相同但自振周期各不相同的单自由度体系，所引起的各体系最大加速度反应与相应体系自振周期间的关系曲线，如图3-7所示。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,影响地震反应谱的因素有两个：体系阻尼比；地震动。 一般体系阻尼比越小，体系地震加速度反应越大，因此地震反应谱值越大，如图3-8所示。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,第3章 结构地震

17、反应分析与抗震计算,显然，地震动记录不同，地震反应谱也将不同，即不同的地震动将有不同的地震反应谱，或地震反应谱总是与一定的地震动相对应。因此，影响地震动的各种因素也将影响地震反应谱。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,表征地震动特性的三要素：振幅、频谱和持时。由于单自由度体系振动系统为线性系统，地震动振幅对地震反应谱的影响将是线性的，即地震动振幅越大，地震反应谱也越大，且它们之间呈线性比例关系。因此地震动振幅仅对地震反应谱值大小有影响。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,地震动频谱反映了地震动不同频率简谐运动的构成。由共振原理知，地震反应谱的“峰”将分布在振动的主要频率成分段上。因此地震动

18、的频谱不同，地震反应谱的“峰”的位置也将不同。图3-9、3-10分别是不同场地地震动和不同震中距地震动的反应谱，反映了场地越软和震中距越大，地震动主要频率成分越小（或主要周期成分越长），因而地震反应谱的“峰”对应的周期也越长的特性。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,可见，地震动频谱对地震反应谱的形状有影响。因而影响地震动频谱的各种因素，如场地条件、震中距等，均对地震反应谱有影响。 地震动持续时间影响单自由度体系地震反应的循环往复次数，一般对其最大反应或地震反应谱影响不大。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.3.3

19、 设计反应谱 由地震反应谱可方便地计算单自由度体系水平地震作用为 （3-40）,然而，地震反应谱除受体系阻尼比的影响,外，还受地震动的振幅、频谱等的影响，,不同的地震动记录，地震反应谱也不同。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,当进行结构抗震设计时，由于无法确知今后发生地震的地震动过程，因而无法确定相应的地震反应谱。可见，地震反应谱直接用于结构抗震设计有一定困难，因此需专门研究可供结构抗震设计用的反应谱，称之为设计反应谱。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,为此，将式（3-40）改为,（3-41）,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,式中 G体系的重力荷载代表值（标准值）； k地震系数（地

20、震动峰值加速度与重力加速度之比）； 动力系数（单质点弹性体系在地震作用下最大反应加速度与地面最大加速度之比）。 下面讨论地震系数与动力系数的确定 3.3.3.1 地震系数 地震系数的定义为,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,通过地震系数可将地震动振幅对地震反应谱的影响分离出来。一般，地面运动加速 度值越大，地震烈度越大，即地震系数与地震烈度之间有一定的对应关系。根据统计分析，烈度每增加一度，地震系数大致增加一倍。表3-1是我国建筑抗震设计规范（GB500112001）采用的地震系数与基本烈度的对应关系。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,注：括号中数值分别用于设计基本地震加速度为0.15g

21、和0.30g的地区。g为重力加速度.,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.3.3.2 动力系数 动力系数的定义为 即体系最大加速度反应与地面最大加速度之比，意义为体系加速度放大系数。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,(T)实质为规则化的地震反应谱。不同的地震动记录时, Sa ( T )不具有可比性，但(T)却具有可比性。 为使动力系数能用于结构抗震设计，采取以下措施： (1)取确定的阻尼比=0.05。因大多数实际建筑结构的阻尼比在0.05左右。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,(2)按场地、震中距将地震动记录分类。 (3)计算每一类地震动记录动力系数的平均值,第3章 结构地震反应分

22、析与抗震计算,上述措施1)考虑了阻尼比对地震反应谱的影响，措施2）考虑了地震动频谱的主要影响因素，措施3）考虑了类别相同的不同地震动记录地震反应谱的变异性。由此得到的(T)经平滑后如图3-11所示,可供结构抗震设计采用。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.3.3.3 地震影响系数 为应用方便，令 称为地震影响系数。由于 与 仅相差一常数地震系数，因而 的物理意义与 相同，是一设计反应谱。同时， 的形状与 相同，如图3-12所示。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,图312 地震影响系数曲线,第3章 结构地震反应分析

23、与抗震计算,除有专门规定外，建筑结构的阻尼比应取=0.05 阻尼调整系数2=1,（1）反应谱曲线由四部分组成,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,(2) 当建筑结构阻尼比不等于0.05时,阻尼调整系数 Tg T5Tg， 式中 5TgT6s 式中,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,（3）关于T=0时，,因为 当T=0时（即刚性体系），（不放大） ，即，而,即,由此,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,目前，我国建筑抗震采用两阶段设计，第一阶段进行结构强度与弹性变形验算时采用多遇地震烈度，其k值相当与基本烈度所对应k值的1/3。第二阶段进行结构弹塑性变形验算时采用罕遇地震烈度，其k值相当于基本烈

24、度所对应k值的1.52倍（烈度越高，k值越小）。由此，由表3-1及式(3-46)可得个设计阶段的 值，如表3-3所示。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.3.3.4 地震作用计算 由式(3-41)、(3-45)，可得抗震设计时单自由度体系水平地震作用计算公式为 对比式(3-40)、(3-47)知，地震影响系数与地震反应谱的关系为,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,必须注意的问题：（1）结构动力计算的特点:荷载与静荷载的区别动荷载的特征是荷载（大小、方向、作用位置）随时间而变化。单纯从荷载本身性质来看，绝大多数实际荷载都应属于动荷载。从荷载对结构所产生

25、的影响来看，则可分为两种情况。一种情况：荷载虽然随时间在变，但变得很慢，荷载对结构所产生的影响与静荷载相比相差甚微。属于静荷载计算。另一种情况：荷载不仅随时间在变，而且变得较快，荷载对结构所产生的影响与静荷载相比相差甚大。属于动力计算。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算, (2)衡量荷载随时间变化的快和慢的标准：没有绝对的时间单位，时间都是以结构的自振周期来度量的。例如，设荷载在1秒之内由零增加到其最大值，对于自振周期为0.1秒的结构来说，这种加速度是缓慢的，这种荷载实际上可看作静荷载。但是，对于自振周期为10秒的结构来说，这种加速度是较快的，这种荷载是典型的动荷载。,第3章 结构地震反应分

26、析与抗震计算, 动力计算与静力计算的区别：根据达朗贝尔原理，动力机算问题可以转化为静力平衡问题来处理。但这是一种形式上的平衡，是一种动平衡，是在引进惯性力的条件下的平衡。动力计算中要注意两个特点：第一，在所考虑的力系中要包括惯性力；第二，这里考虑的是瞬间的平衡，荷载、内力等都是时间的函数。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,（2）动荷载的分类,工程实际中经常遇到的动荷载主要有三类： 第一类为周期荷载（荷载随时间周期性地变化）。其中最简单也是最重要的一种称为简谐荷载（荷载随时间的变化规律可用正弦或余弦函数表示），如机器转动部分引起的荷载。其他的周期荷载可称为非简谐性的周期荷载。,第3章 结构地

27、震反应分析与抗震计算,第二类为冲击荷载。这类荷载在很短的时间 内，荷载值急剧增大或急剧减小。如各种爆 炸荷载。 第三类是随机荷载。荷载在将来任一时刻的 数值无法事先确定的，称为非确定性荷载， 或称为随机荷载。如地震作用和风荷载。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,（3）动力计算中体系的自由度,在动力计算中，一个体系的自由度是指为了确定运动过程中任一时刻全部质量的位置所需的独立几何参数的数目（表明体系运动形式的独立参数的个数）。实际上，任何一个实际结构都有无限个自由度，但计算时需简化为有限个自由度（集中质量法、广义坐标法、有限元法）。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,注意：自由度的个数与集

28、中质量的个数并不一定彼此相等。静力学中讨论的是刚体体系的运动自由度，动力学中讨论的是变形体体系中质量的运动自由度。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析,3.4.1 多质点体系与多自由度,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,在进行结构动力分析时，为了简化计算，对于质量比较集中的结构，我们可以将视作单质点体系，已如前述。对于质量比较分散的结构，为了能比较如实地反映其动力性能，可将其简化成多质点体系。对于一个多质点体系，当体系只作单向振动时，则有多少个质点就有多少个自由度。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.4.2多自由度体系在地震作用下的运动方程,为了

29、便于理解，我们先考虑两个自由度的体系，然后再推广到两个以上自由度的体系。 图3.4.2简化成两质点体系的楼层在单向地震力作用下，在某一瞬间的变形情况。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,图3.4.2,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,使质点1产生单位位移而质点2保持不动时，在质点1处所需施加的水平力； 使质点2产生单位位移而质点1保持不动时，在质点1处引起的弹性反力； 质点1产生单位速度而质点2保持不动时，在质点1处产生的阻尼力； 质点2产生单位速度而质点1保持不动时，在质点1处产生的阻尼力。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,根据达朗贝尔原理，考虑质点1的动力平衡，得到下列方程 (3.

30、4-1-1) 同理，对质点2得 (3.4-1-2),第3章 结构地震反应分析与抗震计算,上述系数 反应了结构刚度的大小，称为刚度系数。对于剪切型的结构即在振动过程中质点只作平移而无转动的结构，例如横梁刚度无限大的框架（图3-12a）设其底层与2层的层间剪切刚度（即产生单位层间位移时所需的层间剪力）分别为 和 ，如图，由各质点上作用力的平衡，可求得刚度系数如下：,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,同理，阻尼系数,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,将式（3.4.1-1、-2）用矩阵形式表示 （3.4.2） 式中,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,当为一般的多自由度（质点）体系时，式（3.4.

31、2）中的各项为,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,对于上述运动方程，一般采用振型分解法求解。这一方法需要利用多自由度弹性体系的振型，它们是由分析体系的自由振动得来的。为此，需先讨论多自由度体系的自由振动问题。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.4.3 多自由度体系的自由振动,3.4.3.1 多自由度体系振动方程与自振频率 考虑二自由度体系，令式（3.4.1）中的荷载项为零，即得该体系的自由振动方程，并略去阻尼的影响,（3.4.3）,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,、 是质点位置和时间 的函数，故可将他们表示为：,（3.4.4）,式中 、 分别为与

32、质点1和2位置有关的函数； 时间t的函数。,、,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,解微分方程得：,（3.4.5）,式中 频率； 初相角。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,将（3.4.5）代入式（3.4.3）中，得,（3.4.6）,上式为 和 的齐次方程组。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,显然， ， 是一组解，但由式（3.4.5）得， 即体系无振动， 因此它不是自由振动的解。为使式（3.4.6）有非零解，则其系数行列式必须等于零。,，,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,对于一般的多自由度体系，式（3.4.6）可写成：,（3.4.7）, ,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,或写成矩

33、阵形式,（3.4.8）,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,频率方程,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.4.3.2 主振型（振型）,将 、 分别代入（3.4.6）中，可求得质 点1，2的位移幅值。其对应于 者，用 和 表示，对应于 者，用 和 表示。,由于式（3.4.6）中的系数行列式等于零，所 以，它们不是独立的，只能由该两个式子中 的任一式求出其比值。于是，由式（3.4.6） 中的上面一式可得：,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,对应于1，,（3.4.9）,对应于2，,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,由式（3.4.5）得质点的位移为：,对应于1,（3.4.10）,对应于2,第3

34、章 结构地震反应分析与抗震计算,则在振动过程中两质点的位移比值为：,对应于1,（3.4.11）,对应于2,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,可见这一比值与时间无关，且为常数。也就是振动过程中的任意时刻，这两个质点的位移比值始终保持不变。这种振动形式通常称为主振型，或简称振型。当体系按 振动时称第一振型或基本振型，当按 振动时称第二振型。因为振型只取决于质点位移之间的相对值，为简单起见，常将其中某一质点的位移值定为1。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,一般地，归纳以下几点： (1)在多自由度体系自由振动问题中，主要问题是确定 体系的全部自振频率及其相应的主振型。 (2)多自由度体系自振频率

35、不止一个，其个数与自由度的个数相等。自振频率可由特征方程求出。 (3)每个自振频率有自己相应的主振型。主振型就是多自由度体系能够按单自由度体系振动时所具有的特定形式。 (4)与单自由度体系相同，多自由度体系的自振频率和主振型也是体系本身的固有性质。自振频率只与体系本身的刚度系数及其质量的分布情形有关，而与外部荷载无关。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.4.3.3 主振型的正交性,对于多质点（多自由度）体系而言，不同的两个主振型之间，存在一个重要的特性，即主振型的正交性：主振型关于质量矩阵的正交性和主振型关于刚度矩阵的正交性。 对于以上两自由度体系，其两个振型的变形曲线及其相应的惯性力如

36、图3.4.4所示。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,惯性力可表示为 ，其中 为质点号，j为振型号。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,根据功的互等定理，即第一状态的力在第二状态的位移上所做的功等于第二状态的力在第一状态的位移上所做的功，得：,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,整理后得： 一般 ，故 （3.4.12） 式（3.4.12）所表示的关系，通常称为主振型的正交性。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,对于两个以上的多自由度体系，任意两个振型j与k之间均有上述的正交特性， 可以表示为：,或,用矩阵表达式为：,式中,（3.4.13）,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,式（3.4.

37、13）表示多自由度体系任意两个振型对质量矩阵的正交性。多自由度体系任意两个振型对刚度矩阵也有正交性。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.4.4 振型分解法,我们来考察多质点体系的动力平衡方程，不考虑阻尼，由（3.4.2）式可知： 将它写得具体一些，则,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,0,（ 3.4.15）,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,这是一个由n个方程式组成的微分方程组。当n3时，如采用前述解特征方程的方法求解，将遇到许多困难。为简化计算，在抗震计算中，通常将微分方程组简化成n个独立的单质点体系的振动微分方程来求解。然后应用振型组合的办法对结构进行计算。前提是振型的正交性。

38、以下讨论如何将上面的微分方程组简化成独立的微分方程。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,设向量 是微分方程组的解，通过振型矩阵进行坐标变换： 设 （3.4.16） 式中 多质点体系的质点的位移向量，即原坐标； 振型矩阵； 体系质点的新坐标或广义坐标。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,将（3.4.16）对时间求二阶导数 （3.4.17） 将（3.4.16）和（3.4.17）代入（3.4.14） (3.4.18),第3章 结构地震反应分析与抗震计算,以 左乘上式，并注意到式,广义质量,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,广义刚度,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,经整理得 （j=1,2,n

39、） (3.4.19),第3章 结构地震反应分析与抗震计算,式（3.4.19）是彼此独立的n个一元方程，方程的解由杜哈密积分。 阻尼矩阵的处理 （3.4.20） 瑞雷阻尼矩阵形式,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.5 多自由度体系的最大地震反应与水平地震作用,3.5.1 多自由度体系的地震反应 3.5.1.1 振动方程组的建立,3.5.1.2 振动方程组的解,（3.4.21）,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,目前，在解上述微分方程组时，通常假定阻 尼可以取成质量矩阵和刚度矩阵的线性组合， 以消除由于阻尼矩阵使各振型之间的耦合作 用，即,（3.4.22）,其中 、 为两个比例系数，他们可

40、分别按 下式确定：,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,（3.4.23）,（3.4.24）,式中 、 分别为体系第一和第二自振频率；,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,我们进行坐标变换，令,、 分别为与 和 相对应的振型阻尼比，其值可由实验确定。,、,这样，我们就可以应用振型分解法将微分方 程组分解成几个独立的微分方程，使计算过 程大为简化。,（3.4.25）,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,（3.4.26）,（3.4.27）,将上列关系式代入（3.4.21），并 以左乘 各项，得,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,（3.4.28）,将式（3.4.22）代入（3.4.28），并根据关

41、系式：,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,于是式（3.4.28）变成：,（3.4.29）,将上式展开，便得到 个独立的二阶微分方程：,（j=1,2,3,n） （3.4.30a）,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,令,（j=1,2,3,n） （3.4.30b）,又,（3.4.31）,将式（3.4.30b）和（3.4.31）代入式（3.4.30a）得,（3.4.32）,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,式中,（j=1,2,3,n）,其中 振型参与系数。,这样，我们将原来的微分方程组分解成 个独立的微分方程了。它与单质点体系在地震作用下的振动微分方程基本相同。所不同的只是方程（3-5）中的 改

42、成 ； 改成 ，同时，等号右端多了一个系数 。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,（3.4.33a）,或,方程的解为：,（3.4.33b）,式中,（3.4.34）,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,上式表明，多质点弹性体系质点 的地震位 移反应等于各振型参与系数与该振型相应的 “振子”的地震位移反应的乘积，再乘以该振 型质点 的相对位移，然后再把他们总合 起来。这样，我们就将多质点体系的问题分 解单质点体系问题来解决。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.5.2 振型分解反应谱法 3.5.2.1 振型分解法计算多质点体系水平地震作用,质点 上的地震作用为:,(3.41),(3.42),

43、（3.43）,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,（3.44）,为与 振型相应振子的绝对加速度。,3.5.2.2 振型的最大地震作用,由式（3.44）可知，作用在 振型第 质点上的地震作用绝对最大值为：,（3.45）,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.5.2.3 振型组合,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.5.3 底部剪力法,结构总水平地震作用标准值最后计算公式：,（3.47）,式中 相应于结构基本周期的水平地震影 响系数； 结构等效总重力荷载；,（3.48）,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,结构总重力荷载， ；,等效重力荷载系数，抗震规范取 的确定方法,等效重力荷载系数,第3

44、章 结构地震反应分析与抗震计算,（3.49）,由上式可见， 与质点 、 有关，结构确定后， 就确定了。现用最小二乘法确定 最优的值 。为此，建立目标函数,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,（3.50）,式中， 为结构序号； 为质点序号； 为结构总数； 为质点总数。为了求得 值为最小的 ，现对式（3.50）求导，并令其为零，于是解得：,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,（3.51）,根据式（3.51）可算得若干个结构总的 值，并考虑到结构可靠度的要求，抗震规范取 。,下面来确定作用在第 质点上的水平地震作用,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,由式,作用在第 质点上的水平地震作用标准值的计

45、算公式：,（3.52）,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,式中 结构总水平地震作用标准值，按 式（3.47）计算； 、 分别为质点 、 的计算高度； 、 分别为集中于质点 、 的重力荷载代表值：应取结构和构配件自重标准值和各可变荷载组合值之和，各可变荷载的组合值系数，应按表312（P88）采用。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,对于自振周期比较长的多层钢筋混凝土房屋、多 层内框架砖房，经计算发现，按底部剪力法计算的房屋顶部的地震剪力比按精确法计算的偏小，为了减少这一误差，抗震规范采取调整地震作用的方法，使顶层地震剪力有所增加。 对于上述建筑，抗震规范规定，按下式计算 质点 的水平地震作用

46、标准值：,（3.53）,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,（3.54）,式中 顶部附加地震作用系数，多层钢筋混 凝土房屋按表34采用；多层内框架砖房可采用0.2，其他房屋不考虑； 顶部附加水平地震作用（图318）；,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.5.4 水平地震作用下结构地震内力的调整 3.5.4.1 突出屋面附属结构地震内力的调整 震害表明，突出屋面的屋顶间（电梯机房、水箱间）、女儿墙、烟囱等，它们的震害比下面主体结构严重。这是由于出屋面的这些建筑的质量和刚度突然变小，地震反应随之增大的缘故。在地震工程中，把这种现象称为“鞭端效应”。因此，抗震规范规定，采用底部剪力法时，对这些结

47、构的地震作用效应，宜乘以增大系数3，此增大部分不应往下传递。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.5.4.2 长周期结构地震内力的调整 由于地震影响系数在长周期区段下降较快，对于基本周期大于3.5秒的结构按公式计算的水平地震作用可能太小。而对长周期结构，地震地面运动速度和位移可能对结构的破坏具有更大的影响，抗震规范所采用的振型分解反应谱法尚无法对此做出估计。出于对结构安全的考虑，增加了对各楼层水平地震剪力最小值的要求。因此，抗震规范规定，按振型分解法和底部剪力法所算得的结构的层间剪力应符合下式要求：,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,（3.55） 第 层对应于地震作用标准值的楼层剪 力；

48、 剪力系数，不应小于表313（P89）规定的楼层最小地震剪力系数值，对竖向不规则结构的薄弱层，尚应乘以1.15的增大系数；,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.5.4.3 考虑土-结构相互作用时结构地震内力的调整 抗震规范规定，结构抗震计算，一般情况下不考虑土-结构相互作用的影响；8度和9度时，建造在、类场地，采用箱基、刚性较好的筏基和桩箱联合基础的钢筋混凝土高层建筑，当结构基本周期处于特征周期的1.2倍至5倍范围时，若计入土-结构相互作用的影响，这时，对刚性地基假定计算的水平地震剪力可按下列规定折减，其层间变形可按折减后的楼层剪力计算。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,（1）高宽比小

49、于3的结构 各楼层地震剪力折减系数，按下式计算： （3.56） 式中 考虑土-结构相互作用的地震剪力折减系数； 按刚性地基假定的结构自振基本周期（s） 考虑土-结构相互作用的附加周期（s），可按表314（P89）采用。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,（2）高宽比不小于3的结构 研究表明，对高宽比较大的建筑，考虑土-结构相互作用后各楼层水平地震作用折减系数并非同一常数，由于高振型的影响，结构上部几层水平地震作用不宜折减。大量分析计算表明，折减系数沿结构高度的变化较符合抛物线 型的分布。因此，抗震规范规定，底部地震剪力按上述规定折减，顶部不折减，中间各层按线性插入折减。折减后各楼层水平地震剪

50、力，不应小于按式（3.55）计算的结果。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.5.5 底部剪力法应用步骤 （1）将每一楼层作为一个质点，当顶部有局部突出的小屋时，可将其视为一个集中质点； （2）按式 求总水平地震作用（底部剪力）标准值； （3）按式 求顶部附加水平地震作用； （4）按式 求各质点的水平地震作用； （5）用力学方法求各层结构的地震作用效应，对于突出屋面的屋顶间、女儿墙、烟囱等，其地震作用宜考虑“鞭梢效应”的影响,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,鞭梢效应,规范规定： 突出屋面的屋顶间、 女儿墙、烟囱等的地 震作用效应，宜乘以 ，此增大 部分不应往下传递， 但与该突出部分相连

51、 的构件应予计入。,规范规定： 突出屋面的屋顶间、 女儿墙、烟囱等的地 震作用效应，宜乘以 增大系数3，此增大 部分不应往下传递， 但与该突出部分相连 的构件应予计入。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.5.6 底部剪力法的应用范围 底部剪力法是计算规则结构水平地震作用的简化方法，按照弹性理论地震反应谱理论，结构底部总地震剪力与等效的单质点的水平地震作用相等，由此，可确定结构总水平地震作用及其沿高度的分布。计算时，各层的重力荷载代表值集中于楼盖处，在每个主轴方向可仅考虑一个自由度。底部剪力法，一般适用于多层砌体房屋，底部一、二层为钢筋混凝土框架-抗震墙砖房，内框架砖房，规则的中低层钢筋混

52、凝土框架和框架-抗震墙房屋，单层工业厂房以及可以简化为单质点体系的建筑。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,例1某四层钢筋混凝土框架结构，建造于基本烈度为8度区，场地为II类，设计地震分组为第二组,结构层高和层重力荷载代表值如图，考虑填充墙的刚度影响，结构的基本周期为0.58s，求各层地震剪力标准值。,G4=831.6,G3=1039.5,G2=1039.5,G1=1122.7,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,解：1.求结构总水平地震作用标准值 （1）求结构等效总重力荷载代表值 （2）求 查表3-2(p40)知 , 查表3-3(p40)知 ， (多遇地震),第3章 结构地震反应分析与抗震

53、计算,(3)求,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,判断是否考虑 应考虑顶部附加水平地震作用 和 分别为,（查表34，P57）,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,2求各层水平地震作用 和各层地震剪力标准值,列表计算,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,各层地震剪力标准值,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.6 结构自振周期的计算,应用抗震设计反应谱法计算地震作用下的结构反应，除砌体结构、底部框架抗震墙砖房和内框架房屋采用底部剪力法不需要计算其自振周期外，其余均要计算结构的自振周期。因此，结构自振周期的计算是分析结构水平地震作用的基本条件之一。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.6.

54、1矩阵位移法求特征问题 在结构动力学中，无阻尼的自由振动方程可以用矩阵形式写成 频率方程为： 迭代法和实对称矩阵的雅可比方法。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.6.2 基本自振周期的近似计算 （1）等效单质点方法 对大部分质量集中于某一高度的建筑结构，如等高单层厂房、水塔等。 支承结构的侧移刚度 （2）能量法 周期折减系数,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.6.3 周期的经验公式 3.6.3.1 高层钢筋混凝土剪力墙结构 高度为2550m，剪力墙间距为36m的住宅、旅馆类型的建筑物，可按下面经验公式计算自振周期。 横墙间距较密时，,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,横墙间距较疏

55、时， 式中：N建筑物层数 或 式中：H、B建筑物总高度及总宽度。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.6.3.2 框架、框架剪力墙结构 或 式中：N、H、B意义同上,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,例2已知10层框架剪力墙结构，抗震设防烈度为8度，类场地，近震，首层层高6m,2层层高4.5m，3至10层层高3.6m，总高度39.3m。质量和刚度沿高度分布比较均匀，各楼层重力荷载代表值 如图所示。各楼层框架的D值及剪力墙等效刚度如表1所示。采用侧移法协同工作计算均布荷载作用下结构假想顶点位移 ，并已知当结构刚度特征值1.2时位移系数 。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,求：1.采用底

56、部剪力法计算结构底部总水平地震作用标准值；2.计算各楼层水平地震作用标准值及结构底部由水平地震作用产生的总弯距。,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,表1 各楼层的框架值（一榀）及剪力墙等效刚度,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,解：1.计算结构基本自振周期 (1)计算框架总抗推刚度D值,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,(2)计算平均楼层高度 (3)计算框架平均总刚度,(4)计算剪力墙平均总刚度,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,(5)计算结构刚度特征值 (6)计算结构顶点假想位移 把各楼层重力荷载折算成连续均布荷载,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,已知当=1.2时,位移系数 ,结

57、构顶点假想位移为 (7)计算结构基本自振周期 顶点位移法公式,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,2.计算水平地震作用下结构底部总水平地震作用标准值 (1)当抗震设防烈度为8度时,查表3-5 P51 截面抗震验算的水平地震影响系数最大值 (2)由类场地,近震查表3-4 p50,查出场地的特征周期 。 (3)由图310,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3、计算各楼层水平地震作用标准值 （1）计算 ，由表34知 顶部附加水平地震作用标准值,求,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,（2）各楼层的水平地震作用标准值 其中,列表计算,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,（kN）,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,说明： 1. 2.计算 3.计算 4. 计算风荷载时，总高度从室外地坪到 女儿墙顶；计算日照时同上；计算地震作用时，总高度从室外地坪到屋面（檐口）。, 、,第3章 结构地震反应分析与抗震计算,3.7 竖向地震作用计算,3.7.1 高层建筑 (1)竖向地震作用标准值 (2)楼层竖向地震作用效应可按各构件承受的重力荷载代表值的比