垂直平分线与角平分线典型题

1、线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1 、线段垂直平分线的性质（ 1 ）垂直平分线性质定理： 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 .c定理的数学表示： 如图 1，已知直线 m 与线段 ab垂直相交于点d，且 ad bd，若点 c在直线 m 上，则 ac bc.定理的作用：证明两条线段相等（ 2）线段关于它的垂直平分线对称.madb图1课堂笔记：2 、线段垂直平分线性质定理的逆定理（ 1）线段垂直平分线的逆定理：c到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 .m定理的数学表示：如图2，已知直线 m 与线段 ab垂直相交于点 d，且 ad bd，若 ac bc，则

2、点 c在直线 m 上 .adb定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.图2课堂笔记：a3 、关于三角形三边垂直平分线的定理ik（ 1）关于三角形三边垂直平分线的定理：o三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 .bj图3c定理的数学表示：如图3，若直线 i , j , k 分别是 abc 三边 ab、 bc、 ca的垂直平分线，则直线 i ,j , k 相交于一点 o，且 oaoboc.定理的作用： 证明三角形内的线段相等.（ 2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则

3、它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部 .反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部， 则该三角形是锐角三角形； 三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例 1如图 1，在 abc 中， bc 8cm，ab 的垂直平分线交ab 于点 d ，交边 ac 于点 e， bce 的周长等于 18cm，则 ac 的长等于（）a 6cmb 8cmc 10cmd 12cm课堂笔记：针对性练习：a已知： 1) 如图 ， ab=ac=14cm,ab的 垂

4、直 平分 线交ab于点 d ，交ac于点e，如果 ebc 的周长是 24cm，那么 bc=2) 如图， ab=ac=14cm,ab 的垂直平分线交 ab 于点 d，交 ac 于点 e，如果dbc=8cm，那么 ebc 的周长是3） 如图，ab=ac,ab 的垂直平分线交 ab 于点 d，交 ac 于点 e，如果 a=28e度，那么 ebc 是bc例 2. 已知： ab=ac ，db=dc ， e 是 ad 上一点，求证： be=ce 。课堂笔记：针对性练习：已知：在 abc 中， on 是 ab 的垂直平分线 ,oa=oc 求证：点 o 在 bc 的垂直平分线anobc例 3. 在 abc 中

5、，ab=ac ，ab 的垂直平分线与边ac 所在的直线相交所成锐角为50， abc 的底角 b 的大小为 _ 。课堂笔记：针对性练习：1. 在 abc 中， ab=ac ，ab 的垂直平分线与ac 所在直线相交所得的锐角为40，则底角 b 的大小为 _ 。例 4、 如图 8，已知 ad是 abc的 bc边上的高，且 c 2 b，a求证： bd accd.证明：在 bd 上取一点 e，使 dedc ，连接 ae，则 aeac，课堂笔记：b图 8dc课堂练习：ac ad，bc bd，则（）1. 如图，=a. cd垂直平分 adb. ab垂直平分 cdc.cd平分 acbd.以上结论均不对2. 如果

6、三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（）a. 直角三角形b. 锐角三角形 c. 钝角三角形d. 等边三角形3. 下列命题中正确的命题有（）线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；经过线段中点的直线只有一条； 点p 在线段 ab外且 pa pb，过 p 作直线 mn，=则 mn是线段 ab的垂直平分线；过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.a.1 个b.2 个c.3 个d.4 个，bc，那么 dbc的周长是（）4. abc中，ab的垂直平分线交 ac于 d，如果 ac=5 cm =4cma.6 cmb.7 cmc.8 cmd.9 c

7、m5. 已知如图，在 abc中， ab=ac，o是 abc内一点，且 ob=oc，求证： aobc.6. 如图，在 abc中， ab=ac， a=120， ab的垂直平分线mn分别交 bc、 ab于点 m、n. 求证： cm=2bm.课后作业：1. 如图 7，在 abc中，ac23，ab的垂直平分线交ab于点 d，交 bc于点 e， ace的周长为 50，求 bc边的长 .adb图 7ec2. 已知：如图所示， acb ， adb 都是直角，且 ac=ad ， p 是 ab 上任意一点，求证： cp=dp 。线段的垂直平分线与角平分线（2）知识要点详解4 、角平分线的性质定理：角平分线的性质定

8、理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.bde定理的数学表示： 如图 4，已知 oe是 aob的平分线， f 是 oe上一点，f若 cf oa于点 c，df ob于点 d，则 cfdf.o图 4ca定理的作用 ：证明两条线段相等；用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.课堂笔记：5 、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.定理的数学表示：如图5，已知点 p 在 aob的内部，且 pc oa于 c， pdbd ob于 d，若 pcpd，则点 p 在 aob的平分线上 .p定理的作用： 用于证

9、明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线o图 5ca注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.课堂笔记：6 、关于三角形三条角平分线的定理：a（ 1）关于三角形三条角平分线交点的定理：f三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等 .rqi定理的数学表示：如图 6，如果 ap、 bq、cr分别是 abc的内角eb图 6p dcbac、 abc、 acb的平分线，那么： ap、 bq、 cr相交于一点i ； 若 id、 ie 、 if 分别垂直于bc、 ca、 ab于点 d、e、f，则 diei fi.定理的作用： 用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题.（ 2）

10、三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.7 、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（ 1）会作已知线段的垂直平分线；（2）会作已知角的角平分线；（ 3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.课堂笔记：经典例题：例 1、 已知：如图，点 b、c 在 a 的两边上，且peab，pfac，垂足分别是 e、 f。求证： pe=pf课堂笔记：ab=ac，p 为 a 内一点， pb=pc，fbpace针对性练习：已知：pa、pc 分别是 abc 外角 mac 和 nca 平分线，它们交于p， pd bm 于 d，pf bn 于f，

11、求证： bp 为 mbn 的平分线。例 2 、如图 10，已知在直角梯形 abcd中， abcd， abbc， e 为 bc中点，连接ae、 de， de平分 adc，求证： ae平分 bad.课堂笔记：dcfea图 10b针对性练习：如图所示， ab=ac ，bd=cd ， de ab 于 e，df ac 于 f，求证： de=df 。例 3、 如图 11-1 ，已知在四边形 abcd中，对角线 bd平分 abc，且 bad与 bcd互补，求证： ad cd.课堂练习：1. abc 中， ab=ac ， ac 的中垂线交 ab 于 e， ebc 的周长为 20cm，ab=2bc ，则腰长为 _。2. 如图所示，ab/cd ，o 为 a 、c 的平分线的交点， oeacab 与 cd 之间的距离等于 _。于 e，且oe=2，e则bddcacfeabmoecdab已知：如图， b= c=900，dm 平分 adc ， am 平分