北师大版八下数学第四章因式分解第1节因式分解

1、第四章因式分解1因式分解教材分析：因式分解是进行代数恒等变形的重要手段之一，它在以后的代数学习中有着重要的应用，如：多项式除法的简便运算，分式的运算，解方程（组）以及二次函数的恒等变形等，因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义本节是因式分解的第 1 小节，占一个课时，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想 类比思想，让学生了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，感受分解因式在解决相关问题中的作用教学目标：（ 1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念（ 2）认识因式分解与整式乘法的相互关系互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法，发展学生

2、的逆向思维能力(3)在学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想（4）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较， 培养学生的分析问题能力与综合应用能力重、难点 : 探索因式分解方法的过程，了解因式分解的意义学生分析学生的技能基础： 学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础学生活动经验基础： 由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还

3、没有涉及因式分解的具体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点教学过程教学过程.创设问题情境 ,引入新课师大家会计算（ a+b）（ ab）吗？生会 .（ a+b）（ ab）=a2b2 .师对，这是大家学过的平方差公式， 我们是在整式乘法中学习的.从式子（a+b）（ab）=a2b2 中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即 a2b2=（a+b）（ab）是否成立呢？生能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2b2 与（ a+b）（ab）既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立.师很好， a2b2=（a+b）（ab）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学

4、习的内容：因式分解的问题.讲授新课1.讨论993 99 能被100 整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.生 993 99 能被 100 整除 .因为 993 99=99992 99=99（9921）=999800=9998100其中有一个因数为100，所以 99399 能被 100 整除 .师 993 99 还能被哪些正整数整除？生还能被 99， 98,980,990,9702等整除 .师从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的形式 .2.议一议你能尝试把 a3a 化成 n 个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.师大家可以观察a3a 与 993 99 这两个代数式 .生

5、a3a=a（a2 1） =a（a1）（ a+1）3.做一做（1）计算下列各式：（ m+4）（ m4）=_;（ y3）2=_; 3x（ x 1） =_;m（a+b+c）=_;a（a+1）（a1） =_.生解：（ m+4）（m 4） =m216;（ y3）2=y26y+9; 3x（ x 1） =3x23x;m（a+b+c）=ma+mb+mc;a（a+1）（a1） =a（a2 1） =a3 a.（2）根据上面的算式填空：3x23x=（）（）;m216=（）（） ;ma+mb+mc=（）（）; y26y+9= （）2.a3a=（）（） .生把等号左右两边的式子调换一下即可.即：3x23x=3x（x 1

6、） ;m216=（m+4）（ m4）;ma+mb+mc=m（a+b+c）;y26y+9= （y3）2;a3a=a（ a21）=a（ a+1）（a1）.师能分析一下两个题中的形式变换吗？生在（ 1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式.师在（ 1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（ factorization）. 4.想一想由 a（a+1）（a1）得到 a3a 的变形是什么运算？由 a3a 得到 a（

7、 a+1）（ a1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？生由 a（a+1）（a1）得到 a3a 的变形是整式乘法，由a3 a 得到 a（a+1）（a1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反.生由（ a+b）（ab）=a2b2 可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2b2=（ a+b）（ ab）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反 .师非常棒 .下面我们一起来总结一下 .如： m（ a+b+c）=ma+mb+mc（1）ma+mb+mc=m（a+b+c）（2）联系：等式（ 1）和（ 2）是同一个多项式的两种不同表现形式.区别：等式（

8、1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.等式（ 2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.即 ma+mb+mcm（ a+b+c）.所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.5.例题投影片（ 4.1 a）下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1）4a（ a+2b） =4a2+8ab;（2）6ax3ax2=3ax（ 2x）;（3）a24=（a+2）（a2）;（4）x23x+2=x （x3） +2.生（1）左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，而不是因式分解；（2）左边是一个多项式， 右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；（3

9、）和（ 2）相同，是因式分解；（4）是因式分解 .师大家认可吗？生第（ 4）题不对，因为虽然x2 3x=x（ x 3），但是等号右边x（x3）+2整体来说它还是一个多项式的形式，而不是乘积的形式，所以（4）的变形不是因式分解 . .课堂练习连一连解：.课时小结本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形 . .课后作业习题 4.1 1.连一连解：2.解：（2）、（3）是分解因式 .3.因 19992+1999=1999（1999+1） =19992000，所以 19992+1999 能被 1999 整除，也能被 2000 整除 .11（2）因为 16.9 +15.1 88= 1 （ 16.9+15.1）8= 1 32=4811能被 4 整除 .所以 16.9 +15.1 884.解：当 r1=19.2,r2=32.4,r3=35.4,i=2.5 时，ir1+ir2+ir3=i（r1+r2+r3）=2.5 （19.2+32.4+35.4）=2.5 87=217.5.活动与探究已知 a=2,b=3,c=5.