四柱坐标系与球坐标系简介

1、 课时作业 a 组 基础巩固 1点 a 的柱坐标是，则它的直角坐标是()2， ， 76a ( 3，1,7)b ( 3， 1， 7)c(2 3，1,7)d (23， 1， 7)解析： 2， 6，z 7，x cos 3，y sin 1， z 7，点 a 的直角坐标是( 3， 1,7)答案： a2若点 m 的直角坐标为 (2,2,22)，则它的球坐标为 ()5 ，a. 2， 44b. 4， 4 433 3c. 4， 4，4d. 4， 4 ， 4解析： 由坐标变换公式得，r x22222得 cos 2 ，所以 y z 4，由 r cos z2y 4，又 tan x 1，点 m 在第卦限，所以 4，所以

2、m 的球坐标为4， 4， 4 .答案： b3若点 p 的柱坐标为2， ，3 ，则 p 到直线 oy 的距离为 ()6a 1b 2c. 3d.6解析： 由于点 p 的柱坐标为 (， ，z)2， 3，故点 p 在平面 xoy 内的射影 q 到6直线 oy 的距离为 cos63，可得 p 到直线 oy 的距离为 6.答案： d4在直角坐标系中，(1,1,1) 关于 z 轴对称点的柱坐标为 ()3b.， 1，1a. 2， 42，457c. 2， 4 ， 1d.2， 4 ， 1解析： (1,1,1) 关于 z 轴的对称点为 ( 1， 1,1)，它的柱坐标为52， 4 ，1 .答案： c1 5的球坐标为4

3、， p2的柱坐标为2，1 ，则 |p1 2| ()5已知点 p236pa.21b. 29c.30d 4 2解析： 设点 p1 的直角坐标为 (x1， y1， z1)，5x1 4sin2cos 3 ，x1 2，5则y1 4sin 2sin3 ，得y1 23，z1 0.z1 4cos 2，故 p1(2， 2 3， 0)，设点 p2 的直角坐标为(x2， y2， z2)，x2 2cos 6，x23，故得2y2 2sin 6，y 1，z 1.22z 1，故 p2( 3， 1,1)则 |p1p2| 2 3 2 2 31 2 01 2 21.答案： a5 ，则 |om | _.6已知柱坐标系oxyz 中，

4、点 m 的柱坐标为2，3，解析： (， ， z) 2， ， 53设 m 的直角坐标为 (x，y， z)，2222则 x y 2，|om|x2 y2 z2225 2 3.答案： 37已知点 m 的直角坐标为 (1,2,3) ，球坐标为 (r，)，则 tan _，tan _.解析：如图所示，tan x2 y25，z3ytan 2.答案：52325 ，且点 m 在数轴 oy 上的射影为8已知在柱坐标系中，点 m 的柱坐标为2， 3 ，n，则 |om| _， |mn| _.解析： 设点 m 在平面 xoy 上的射影为p，连接 pn，则 pn 为线段 mn 在平面 xoy 上的射影因为 mn 直线 oy

5、， mp平面 xoy，所以 pn 直线 oy.所以 |op| 2， |pn| cos23 1，所以 |om|22252 z2 3.在 rtmnp 中，mpn 90，所以 |mn|pm|2 |pn|25 2 12 6.答案： 369已知点 p 的球坐标为4，3 ，求它的直角坐标4，4解析： 由变换公式得：3x r sin cos 4sin 4 cos4 2.3y r sin sin 4sin 4 sin4 2.3z r cos 4cos 4 22.它的直角坐标为(2,2， 22)10已知点m 的柱坐标为2， ， 1 ，求 m 关于原点o 对称的点的柱坐标4解析： m(2， 4， 1) 的直角坐标

6、为x2cos41，y2sin4 1，z 1，m 关于原点o 的对称点的直角坐标为( 1， 1， 1)( 1， 1， 1)的柱坐标为：222 ( 1)( 1) 2， 2.11，又 x0 ， y0. 5tan 14 .5其柱坐标为2， 4 ， 15m 关于原点 o 对称点的柱坐标为2， 4 ， 1 .b 组能力提升 1球坐标系中，满足 ，r 0， )， 0，的动点 p(r， ， )的轨迹为 ()4a点b 直线c半平面d 半球面解析： 由于在球坐标系中， 4， r0 ， )， 0， ，故射线 oq 平分xoy，由球坐标系的意义，动点p(r， ， )的轨迹为二面角 x-op-y 的平分面，这是半平面，

7、如图答案： c2已知点 p 的柱坐标为，点 b 的球坐标为 ，则这两个点在空间2， 56， ，643直角坐标系中的点的坐标分别为()a p(5,1,1) ，b36， 32， 6442bp(1,1,5) ， b36， 32， 6442cp 3 6，32，6 ，b(1,1,5)4426， 3 6， 32d p(1, 1,5) ，b 244解析： 设点 p 的直角坐标为 (x， y， z)，则x 2cos2 1， 242y2sin4 1， z 5.设点 b 的直角坐标为(x ，y ， z )，则 63336x 6sin3cos62 24， 63132y 6sin3sin6224，16z 6cos3

8、622 .所以点 p 的直角坐标为(1,1,5) ，点b 的直角坐标为363264 ，4，2 .答案： b3. 如 图，在 柱 坐标 系 中 ， 长 方 体的 两个 顶 点坐标 为 a1(4,0,5) ，则此长方体外接球的体积为 _c16， 52解析： 由 a1、 c1 两点的坐标知长方体的长、宽、高的值为6、4、 5，设外接球的半径为r，则有(2r)2 16 25 36 77，所以 r77， v 4r3 77 77球.236答案： 777764已知球坐标系中，m 4， ，则 |mn |_.，3， n 4， ，663解析： 设点 m 的直角坐标为 (x，y， z)，x r sin cos ，x

9、4sin 6cos 3 1，3，由 y r sin sin ，得y4sin 6sin3z r cos ，z4cos 6 2 3.m 的直角坐标为 (1，3， 23)，同理 n 的直角坐标为 (3， 3，2) ，|mn |1 3 23 3 2 2 3 2 2 2 5 2 3.答案： 25 235.已知正方体 abcd -a1b1c1d 1 的棱长为 1，如图建立空间直角坐标系axyz， ax 为极轴，求点 c1 的直角坐标、柱坐标以及球坐标解析： 点 c1 的直角坐标为(1,1,1) ，设点 c1 的柱坐标为 (，z)，球坐标为 (r ，)，其中 0，r 0,0 ，0 2，x cos ，x r

10、sin cos ，由公式y sin ，及y r sin sin ，z zz r cos ， x2 y2，rx2 y2 z2，得y及ztan x x 0cos r r 0 ，2，r3，得及3tan 1cos 3，3结合题图得 4，由 cos 3 得 tan 2.点 c1的直角坐标为(1,1,1) ，柱坐标为 ( 2，4， 1)，球坐标为3， ， 4 ，其中 tan 2，0 .6以地球球心为坐标原点，地球赤道所在平面为坐标平面xoy，以原点指向北极点的方向为 z轴正方向，本初子午线 (0 经线 )所在平面为坐标平面xoz，建立空间直角坐标系oxyz， 5如图，已知地球半径为r，点 a 的球坐标为 r， 4，3 ，点 b 的球坐标为 r， 4，6，求：(1)a， b 两地之间的距离；(2)a， b 两地之间的球面距离解析： (1)由于球坐标 (r ，)的直角坐标为(x，y，z)( rsin cos ，rsin sin ，rcos )