现代科技综述知识文库：Chebyshev中心

1、现代科技综述系列Chebyshev中心科技是人类区别于动物的重要文明之一，是人类对自然规律研究和利用的学科。本文提供对科技基本概念“Chebyshev中心”的解读，以供大家了解。Chebyshev中心设E是赋范线性空间，是有界子集，定义： 则称r(A)为A的Chebyshev半径，而A的Chebyshe中心就是。提出这一问题是很自然的。例如，由于试验误差，当我们不能确切地知道函数时，可以把它理解为一个集合，然后用单个的最优元素代表这个集合。另外，Chebyshev中心在最优回复理论的研究中也有重要意义。Chebyshev中心这一概念首先是Garkavi在1962年提出并研究的，并在1964年给

2、出下面的结果： 定理G Banach 空间E中每一有界集A至少有一Chebyshev中心y0COA，当且仅当E是完备内积空间或E的维数2。下面结果最早是由Kadets和Zamyatin在1968年对S=a，b给出的，一般情形是由Franchetti和Cheney给出的。定理KZ：B(S)(C(S)中任一有界集恒有非空的Chebyshev中心，其中S是任一拓扑空间，B(S)(C(S)是全体实有界(连续)函数所组成，并赋于一致范数。对，A的相对或限制(Chebyshev中心)，是 其中，为A的相对或限制Chebyshev半径。这一问题自60年代就有许多研究。关于唯一性，1980年Amir和Zieg

3、ler定义了E关于子空间Y的严格凸性和各向一致凸性。定理AZ 设Y是E的子空间，则：(1)对任何紧子集， EY(A) 至多只有一个元当且仅当E关于Y是严格凸；(2)对任何有界集，EY(A) 至多只有一个元当且仅当E关于Y是各向一致凸的。关于相对Chebyshev中心的特征，当A是局部紧时，由于可转化成C(A、E)中的单元逼近，故可以毫无困难地得Kolmogorov型特征定理。但对一般的有界集A，要给出其Kolmogorov型特征定理并非易事。1982年，Freilich和McLaughlin在Y是凸集时给出下列的Kolmogorov型特征。定理FM y0Ey(A)当且仅当对任何yY存在Lext

4、K满足且ReL(yy0)0，其中的闭单位球B*。在K上赋以(K、G)拓扑：，且K满足：(1)K是(K、G)紧。(2)任何aA，yY，有。而(L)定义为： 其中U(L)为在K上的开例域全体。但定理FM中的必要性未必成立，我们在1987年举例说明不真，并刻划了非线性情形下的相对Chebyshev中心的特征。定理XL 设Y是E中一子集，则下述论断等价：(1)对任何有界集F，存在LY，使且ReL(yy0)0；(2)Y是同时太阳集。即对任何有界集F，若y0EY(F)，则y0EY(Fa)，其中Fa=y0+a(Fy0)，a0。关于Er(A)的非空性，即相对Chebyshev中心的存在性。若有某种紧性，例如局

5、部有界紧或局部有界弱紧，且Y是闭或弱闭，则对任何有界集A，EY(A)非空。但是当Y没有任何紧性，则其研究相当困难。1991年，DVPai和PTNowrojij在E中的子空间Y引进R1性质，这是单元逼近中一球性质的推广，并证明了下面的存在性定理。定理PN 设E是Banach空间，Y是E的子空间，若Y关于E中所有的有界集(紧集)有R1性质，则对任何有界集(紧集)A，EY(A)。目前有众多的文献在研究EY(A)的连续性与强唯一性，对E中任何两个有界集A、B，其Hausdorff距离定义为： 1982年，PSzeptycki和FSVar VLeck证明了下述定理。定理SV 若E是Hilbert空间，则

6、对任何两个紧子集A、B有 E(A)E(B)2r(A)+r(B)+H(A，B)H(A，b)(*)并提出下述两个问题 问题SVI：若A、B没有紧性(*)式是否成立? 问题SVI：当E是一致凸空间时，E(A)E(B)是否有类似于(*)式的估计? 1988年，我们给问题SVI一个肯定回答； 定理L：设E是Hilbert空间，Y是E中凸集，则对任何有界集A，B有 Er(A)Er(B)2rY(A)+rY(B)+H(A，B)H(A，B) 问题SV，在1989年由王嘉平与俞鑫泰解决。在当前及今后的研究中，相对Chebyshev中心的定量分析，如相对Chebyshev中的实现，相对Chebyshev半径的计算等

7、，将成为热点和趋势。【参考文献】： 1 Garkavi A L, The Chebyshev centers and the convex hull of a set,Uspehi Mat Nauk,1964,19:139-145 2 Amir D , Ziegler Z. Relative Chebyshev Centers in Normed Linear Space I,J Approx Theory, 1980,29:235-252 3 Franchetti C , Cheney E W. Simultaneous approximation and restricted Chebys

8、hev centers in fanction spaqes, in Approximation Theory andd Applications, ed. by Z Ziegler,Academic Press, New. York, 1981, 6588 4 Freilich J H , Mclaughlin H W. Approximation of bounded sets,JApprox Theory,1982,34:145158 5 Franchetti C ,Cheney E W.The embedding of Proximinal sets J Approx Theory, 1986,48:213225 6 徐士英，李冲，等最佳同时逼近的特征数学学报，1987，30(4)5285357 Szeptycki P , Van Vleck F S: Centers and nearest points of sets,Proc A,M,S,85 1987,8S:2731 8 Li Chong. On a problem on Chebyshev centers, Advance in Math,1988,17(2) ,2