广东省江门市第八中学2015年高三模拟考试数学试卷(理)

1、广东省江门市第八中学2015 年高三模拟考试数学试卷（理）本试卷共4 页， 21 题，满分150 分，测试用时120 分钟注意事项：答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。做选择题时，必须用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。参考公式：锥体的体积公式V1 Sh ，其中 S 是锥体的底面积， h 是锥体的高3(ab) 3a33a2 b3a

2、b2b3一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，满分40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的已知 R 为实数集， Ax | 2x33x， Bx | x2 ，则 A BA x | x 2B x | x3C x | 2 x 3D R i 是虚数单位，则 (3 i1)(13 i )2222A 1B13 iC 13 iD 13 i1222222( 1) 3 、 c1 ，它们之间的大小关系是已知三个实数：a32 、 blog 322A a b cB a c bC b c aD b a c已知 a 是非零向量，bc，则“ aba c ”是“ a(b c ) ”成立的A 充分非必要条件

3、B必要非充分条件C非充分非必要条件D充要条件如图 1，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和半圆，则该几何体的体积为3A 4B 824C 2D 4正视图侧视图图 1俯视图在 ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若A750 、 B600 、 c10 ，则 bA 5 3B 5 6C 10 3D 10 6在同一直角坐标系中，直线xy1与圆 x 2y 22 x 4 y40 的位置关系是34A 直线经过圆心B相交但不经过圆心C相切D相离已知函数 f ( x)ax 3 3x 2 1 ，若f (x) 存在唯一的零点x0 ，且 x00 ，则常数 a 的取值范

4、围是A ( , 2)B ( ,1)C (1,)D ( 2,)二、填空题：本大题共7 小题，考生作答6 小题，每小题5 分，满分30 分(一 )必做题（ 913题）双曲线 9x216y2144 的离心率 e ABC 是等腰直角三角形，已知 A(1 ，1)，B(1，3)，AB BC ，点 C 在第一象限， 点 ( x , y) 在 ABC 内部，则点 C 的坐标为， z 2x y 的最大值是如图 2，在正方体 ABCD - A 1 1 1D1 中， M 、N 分别是 CD、 CC1的中点，则异面直线 A 1B CM 与DN 所成角的大小是若 f ( x)x ,x022x , x，则 f ( x)

5、的最小值是x0图 2已知数列 an 满足 a11 ， a n 11（ n1 ），计算并观察数列an 的前若干项，根据前4a n1若干项的变化规律推测，a2015(二 )选做题（ 14、 15 题，考生只能从中选做一题）41计算定积分：dx1x已知定义在区间 (,) 上的函数 f (x)x sin x cos x ，则 f (x) 的单调递增区间是三、解答题： 本大题共6 小题，满分80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤（本小题满分12 分）已知函数f ( x)2 sin x(sin xcos x) ， xR 求 f (x) 的最小正周期T 和最大值 M ；若 f ()1 ，求 cos

6、的值283（本小题满分14 分）已知 an 是等差数列， a23 ， a 35 求数列 a n 的通项公式；对一切正整数 n ，设 bn( 1) n n，求数列 bn的前 n 项和 Sn a n an 1（本小题满分14 分）如图 3，在四棱锥 P- ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱PD底面 ABCD ，PD=DC E是 PC 的中点，作 EFPB 交 PB 于点 FP求证： PA/ 平面 EDB ；求证： PF= 1 PB；E3求二面角 C- PB- D 的大小FDCAB图 3（本小题满分12 分）一艘船每小时的燃料费与船的速度的平方成正比，如果此船速度是 10km/h，那么每小

7、时的燃料费是 80 元已知船航行时其他费用为 500 元 /时，在 100 km 航程中，航速多少时船行驶总费用最少？此时总费用多少元？（本小题满分14 分）在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B的坐标分别是( 0 ,3 ) 、 ( 0 , 3 ) ，直线AM 、BM相交于点M ，且它们的斜率之积是1 2求点 M 的轨迹 L 方程；若直线l 经过点 P( 4 , 1) ，与轨迹L 有且仅有一个公共点，求直线l 的方程21（本小题满分14 分）已知函数 f (x)x3ax 21 （ aR 是常数） 设 a3，x x1、 xx2是函数 y f (x) 的 极值 点，试 证 明 曲线 yf (x)

8、关于 点M ( x1x2 ,f ( x1x2 ) ) 对称；22是否存在常数 a ，使得x1, 5 ， | f ( x) | 33 恒成立？若存在，求常数a 的值或取值范围；若不存在，请说明理由（注：曲线 yf ( x) 关于点 M 对称是指， 对于曲线 y f (x) 上任意一点 P，若点 P 关于 M 的对称点为 Q ，则 Q 在曲线 yf ( x) 上 ）广东省江门市第八中学2015 年高三模拟考试数学试卷（理）答案一、 BDADCBBA二、填空 5(3， 3)，3第1 空 3 分（ 横坐标、纵坐标、格式各1 分 ），第2 空 2 分41 522(, 和 0 , 端点 分； 1 个 3

9、分，全 5 分22三、解答 解： f ( x)sin 2x1cos 2x 2 分，2 sin(2x)1 4 分4最小正周期 T2 5 分，最大 M21 6 分2依 意，2 sin 2()411 7 分283即 2 sin11 8 分， sin22 10 分33cos1sin21 12 分3解：依 意，数列an 的公差 da3a22 2 分 a2a1d 3 分， a1a2d1 4 分（或： 数列ana1d3a11的公差 d ， 2d 2 分，解得d 4 分）a152数列 an的通 公式 ana1( n1)d2n1 6 分由得 an12n1 ， bn(1) n n(1) n n 7 分anan 1

10、( 2n1)(2n1)1( 1) n(1) n 9 分2n12n41n 1 ， Snb1b2bn1( 1111(1) n( 1) n4) ()12n3352n1 11 分，1 1(1) n (1) n2n1 13分42n14(2n1)n 1 ， S1b11 也符合上式，nN * ， Sn( 1) n2n1 14 分34(2n1) 明与求解：（方法一） 接 AC ，交 BD 于 O， 接 OE， O 是 AC 的中点 1 分OE 是 PAC 的中位 ， OE/PA 2 分OE 平面 EDB ， PA平面 EDB ， PA/ 平面 EDB 4 分 PD底面 ABCD ， BC平面 ABCD ， P

11、D BC 5 分ABCD 是正方形， BC CD ， PDCD=D ， BC平面 PCD 6 分BCPC，EF PB， BPC 是公共角， PEF PBC 7 分设 PD=DCa ， PC2a ，PB3a ， PFPEPC3 a = 1 PB 8 分PB33由知 BC平面 PCD， BC DE 9 分PD =DC，E 是 PC 的中点， PC DE ， PCBC=C ， DE 平面 PBC 10 分DEPB ，EF PB， DEEF=E， PB平面 DEF 11 分PBDF ， DFE 是二面角 C- PB- D 的平面角12 分在 DFE 中， DE 平面 PBC， DE EF， DE2 a

12、 13 分2EFPEBC6 a ， tan DFEDE3 ， DFE 14 分PB6EF3（方法二）以D 原点， DA 、 DC 、 DP 分 x 、 y 、 z 正方向建立空 直角坐 系 1分， 设 PD=DC=1 ， D (0 , 0 , 0) ， A(1 , 0 ,0) ， B(1,1 , 0) ， C(0 , 1,0) ，P( 0, 0 , 1) 2 分， 接 AC ，交 BD 于 O， 接 OE， O 是 AC 的中点， O( 1 , 1 ,0) 3 分22E 是 PC 的中点， E(0 ,1 ,1 ) ， OE( 1 , 0,1 ) 4 分2222PA(1, 0 ,1) ， PA2

13、OE ， PA/OE 5 分OE平面 EDB ， PA平面 EDB ， PA/ 平面 EDB 6 分 PFPB(1, 1 ,1) 7 分，则 EF EP PF ( ,1 ,1 ) 8 分2121 ) (1 , 1 ,EFPB， EFPB(,1) 0 9 分22即 310 ，解得1 ，PF= 1 PB 10 分33由知 EF(1,1,1) ， DFDPPF (, 1) (1,1,2) 11 分366333DFPB( 1 , 1 ,2 ) (1 , 1,1) 0 ， DF PB， DFE 是二面角 C- PB- D 的平面角33312 分， cos DFEDFEF1 13 分， DFE 14 分|

14、 DF | EF |23（方法三）平面PBD 的一个法向量是AC (1, 1 , 0) 11 分平面 PBC 的一个法向量是DE ( 0 , 1 ,1 ) 12 分22cosAC, DEACDE1 13 分| AC | | DE |2所以， AC , DE，二面角 C- PB- D 的大小 14 分334 分、 4 分、 6 分，而方（各 卷点、 卷教 注意：本 方法一 的 分依次是法二三 的 分依次是6 分、4 分、4 分，因此，本 的 分板 分 6 分、4 分、 6 分， 卷 要么按方法一 分，要么按方法二三 分）解： 每小 燃料 与航速平方的比例系数 k ， 80k102 1 分解得 k

15、4 2 分5 航速 x km/h ， 用 y 元， y4 x 2100 100500 5 分，80x50000 6 分5xx50000x（方法一）令 y /800 8 分，解得 x25 （ 舍去）9 分x 20x 25 ， y /0 ， x 25 ， y /0 ， x 25 是极小 点，也是最小 点 10 分，此 y 8025500004000（元） 11 分25（方法二） x0 ， y 280x50000 8 分，4000 （元） 9 分x等号成立当且 当80x50000 10 分，解得 x25（ 舍去）11 分x答：航速 25km/h ， 用最少，此 用 4000 元 12 分解： M （

16、 x ， y ）是 迹上任意一点，k AMy3 ， kBMy3 2 分y3 y31 4 分xx依 意， k AMkBMxx2整理化 得 迹方程 x 2y 21 ，其中 x0 6 分189ll ： y1k( x4) 7 分 然所求直 存在斜率， 当直 l 经过 A 点 ， k03 11 8 分，代入 y1k (x 4) 得 yx 34 9 分； 当 直 线 l经 过 B点 时 ， k3 11 10 分 ， 代 入 y 1k( x 4) 得042y 1 x 3 11 分2x2y2当点 P 切点 ，由181得9y1k (x4)( 2k 21) x24k (4k1) x(32k 216k16)0 12

17、 分解 4k( 4k1) 24(2k21)(32216 16)k24k4 0得 k2 13 分kk代入 y 1k( x4) 得 y2x9 ， 上所述，直 l的方程 y1 x3 或 y x3 或2y 2 x 9 14 分（注：三种情况独立 分）21 明与求解：f ( x)x33x21 ， f / ( x)3x26x 1 分解 f / ( x)0 得 x10 ， x22 2 分，M ( x1x2, f ( x1x2 ) ) 即 M (1,3 ) 3 分2232曲 线 yf (x)上 任 意一点P(x0 , x03x01)关 于M 对 称 的 点 为Q( 2 x0 , x0 33x0 25 ) 4

18、分直接 算知， f (2x0 ) (2x0 ) 33(2x0 )21x033x025，点 Q 在曲 y f ( x)上，所以，曲 yf (x) 关于点 M 称 5分（方法一） | f ( x) | 33 即 | x 3ax21| 33，33x3ax2133 6 分x 0 ，不等式恒成立7 分；x 0 ，不等式等价于作g1 ( x)32x 3x2g 2/ ( x)168 9 分，解x332x3a34x3 8 分x2x 2x32， g 2 ( x)34 x3x34， g1 / ( x) 164，x 2x 2x 2x 3g1 / ( x) 0 、 g 2 / ( x)0 得 x4 、 x23 68 10 分1x1,0)(0 ,4)4(4 , 5 g1/ ( x)0g1 (x)极大 g 2/ ( x)g 2 ( x) 12 分g1 (1) 3