[Level2]2009年普通高校“专转本”统一考试高等数学模拟卷7

1、Level 2 2009年普通高校“专转本”统一考试高等数学模拟卷 7一、选择题 （本大题共6 小题，每小题4 分，满分共24 分）1、 lim1111等于166111116(5n4)(5n1)nA、 1B 、 1C、 1D、 16541, x02、设 f ( x)0, x0，则 x0为 f (x) 的1, x0A、连续点B 、无穷间断点C、可去间断点D、跳跃间断点3、直线 x1y2z2 与平面 4 x 3yz0 的关系是215A、直线与平面垂直B 、直线在平面上C、直线与平面无公共点D 、直线与平面相交于一点4、设 zx 2 y ，则 dz 等于A、2y x2 y1dx2x2 ylnxdyB

2、 、2y x 2 y1 dx2x 2 y dyC、 x 2 y dx2 x 2 y dyD 、 x2 ydx x 2 y dy2cos x2y22y22d5、设区域（）为等于，则4xx2y 2()A、 0B 、 2C、2D、 36、级数sin2nn 1A、发散B、其部分和 Sn 无界C、是交错级数D、收敛二、填空题 （本大题共6 小题，每小题4 分，共 24 分）1、函数 f (x)1x的定义域是1x2、曲线 y2 x 的垂直渐近线是lnx3、 d(f ( 1 )dx)x4、过点2, 1,2 且与直线xyz 垂直的平面方程为1 1 25、微分方程 y 3 y 2 y 0 的通解为1xsintd

3、t6、 lim0x2x 0三、计算题 （本大题共8 小题，每小题8 分，共 64 分）1、求 limcosx 1x0x 3 / 22、设 f ( x)x 2 sin 1 , x0，求 f(x)x0, x03、求axdx ， ( a0) .a2x 214、计算x arctan xdx05、求方程xdxydy0满足 y( 0 )1 的特解1y1x6、计算xy3 d，其中（）是由直线y2, yx 及 y 轴围成的三角区域()7、判别级数2 n n!的敛散性n nn 18、曲面 zx2y2 与平面 2x4 yz0平行的切平面的方程 .四、综合题 （本大题共 2小题，每小题10 分，共20 分）1、求心

4、形线a(1cos )( a 0 ) 所围成的平面图形的面积2、求函数 fxy)x2xyy2xy 的极值( ,五、证明题 （本大题共 2小题，每小题9 分，共 18 分）1、试证：当 x0 时， ex1x2、设 eab2，试证：ln2bln2a4a) .ee2 (b2Level 2 2009年普通高校“专转本”统一考试高等数学模拟卷7 参考答案一、选择题1-6 C D BA CD二、填空题1、 1,12、5、 y C1e2 xC 2 ex6、三、计算题1、 0x 13 、 f ( 1 )dx4、 x y 2z 7 0x12112、 f (x)2x sin xcos x , x0 （简单的分类讨论

5、思想）0x03、原式a ln( xa 2x 2 )a 2x 2C4、原式1425、解：分离变量后得x(1x)dxy(1y) dy ；由 y(0)1知 C5；特解为1 x 21 x3y 2y35，即 2( x3y 3 )3( x 2y2 )50 .623236212166、重要式：2x2x6.032402n 1 ( n 1)! n nnn127、解： limlimlim1n1nlim 22n，xx( n1)2n!xn1x1e1n由此可知所给级数收敛 .8、分析 ： 待求平面的法矢量为n 2,4,1 ，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面 zx2y 2 切平面的法矢量与n

6、2,4, 1 平行确定 .详解 ：令 F ( x, y, z) z x2y 2 ，则 Fx2x ， Fy2y ， Fz1 .设切点坐标为 (x0,y, z )，则切平面的法矢量为2x, 2 y,1 ，其与已知平面2x4 yz0平行，00003因此有2x02 y01，可解得x01,y02，相应地有zx2y25.241000故所求的切平面方程为2( x1)4( y2)(z5)0 ，即 2x4 yz5 .四、综合题1、 S21 a 2 (1cos)2 d8a23123a2024222、 f x2x y1 ， f y2yx1f yy2 ， f xy1， f xx2 ；令f x2xy10x2 y 1得驻点 (1,1)f y0在驻点(1,1)处有 B 24AC1430, A20故 f ( x, y) 在点 (1,1) 取得极小值 f (1,1)1.五、证明题1、证明：设fxexx ，x(1f (x) e1)f ( x) 在 0,上连续，在0,内 f (x)0 ，因此f ( x) 在 0,为单调递增，从而x0时， f ( x)f (0)由于 f (0)0 ，故 f (x)f ( 0) 0 ，即 ex1 x 0亦即x时， exx1.02、（致远提醒本题至少有三种证法，这里给出其中一种）证明： 对函数 ln 2 x 在 a , b 上应用拉格朗日定理，得ln 2 bln 2 a2ln(ba)