相似三角形中几种常见的辅助线作法有辅助线

1、相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)相似三角形中几种常见的辅助线作法在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种:一、添加平行线构造“a“x型例1：如图，d是abc的bc边上的点，bd:dc=2：1，e是ad的中点,求:be：ef的值. 解法一：过点d作ca的平行线交bf于点p，则 pe=ef bp=2pf=4ef 所以be=5ef be:ef=5：1.解法二：过点d作bf的平行线交ac于点q， be：ef=5：1.解法三：过点e作bc的平行线交ac于点s，解

2、法四：过点e作ac的平行线交bc于点t，bd=2dc be:ef=5:1.变式：如图，d是abc的bc边上的点,bd:dc=2：1，e是ad的中点, 连结be并延长交ac于f， 求af：cf的值。解法一：过点d作ca的平行线交bf于点p,解法二：过点d作bf的平行线交ac于点q，解法三：过点e作bc的平行线交ac于点s，解法四：过点e作ac的平行线交bc于点t，例2:如图，在abc的ab边和ac边上各取一点d和e，且使adae，de延长线与bc延长线相交于f，求证： （证明：过点c作cg/fd交ab于g）例3：如图，abc中，abac，在ab、ac上分别截取bd=ce，de，bc的延长线相交于

3、点f，证明：abdf=acef.分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。不相似,因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。.方法一:过e作em/ab，交bc于点m，则emcabc(两角对应相等，两三角形相似）。方法二：过d作dn/ec交bc于n。例4：在abc中，d为ac上的一点，e为cb延长线上的一点,be=ad，de交ab于f。求证：efbc=acdf 证明：过d作dgbc交ab于g，则dfg和efb相似, bead， 由dgbc可得adg和acb相似， 即efbcacdf。例5：已知点d是bc的中点，过d点的直线交ac于

4、e,交ba的延长线于f,求证：分析:利用比例式够造平行线，通过中间比得结论 。（或利用中点”倍长中线”的思想平移线段ec，使得所得四条线段分别构成两个三角形.）例6：已知：在等腰三角形abc中，ab=ac，bd是高,求证：bc2=2accd分析:本题的 重点在于如何解决“2”倍的 问题；让它归属一条线段，找到这一线段2倍是哪一线段.例7: 如图，abc中，ad是bc边上中线,e是ac上一点，连接ed且交ab的延长线于f点。求证：ae：ec=af：bf。分析：利用前两题的 思想方法，借助中点构造中位线，利用平行与2倍关系的 结论，证明所得结论. 找到后以比例式所在三角形与哪个三角形相似。 例8：

5、在abc中,ab=ac，ad是中线，p是ad上一点,过c作cfab,延长bp交ac于e，交cf于f，求证:bp=pepf 分析：在同一直线上的三条线段成比例，可以通过中间比转化，也可以通过线段相等，把共线的线段转化为两个三角形中的线段，通过相似证明.另外在证明等积式时要先转化为比例式观察相似关系，有利于证明. 二、作垂线构造相似直角三角形例9：如图从 abcd顶点c向ab和ad的延长线引垂线ce和cf，垂足分别为e、f，求证：证明:过b作bmac于m，过d作dnac于n am:ae=ab:ac （1） （1）+(2)得例10:abc中，ac=bc，p是ab上一点，q是pc上一点（不是中点)，m

6、n过q且mncp，交ac、bc于m、n，求证：证明：过p作peac于e，pfcb于f，则cepf为矩形 pf ec ab=45 rtaep=rtpfb ec=pf （1） 在ecp和cnm中cpmn于q qcn+qnc=90又 qcn+qcm=90 mcq=cnqrtpecrtmcn 即 （2) 由（1）（2）得三、作延长线构造相似三角形例11. 如图，在梯形abcd中，adbc，若bcd的平分线chab于点h，bh=3ah，且四边形ahcd的面积为21，求hbc的面积。分析：因为问题涉及四边形ahcd，所以可构造相似三角形。把问题转化为相似三角形的面积比而加以解决。 解:延长ba、cd交于点

7、p chab，cd平分bcd cb=cp，且bh=ph bh=3ah pa：ab=1：2 pa：pb=1：3 adbc padpbc例12. 如图，rtabc中,cd为斜边ab上的高，e为cd的中点，ae的延长线交bc于f,fg交ab于g，求证：fg=cfbf分析:欲证式即 由“三点定形”，bfg与cfg会相似吗?显然不可能。 （因为bfg为rt），但由e为cd的中点,可设法构造一个与bfg相似的三角形来求解。不妨延长gf与ac的延长线交于h，则 又ed=ec fg=fh 又易证rtcfhrtgfb fgfh=cfbf fg=fh fg2=cfbf四、利用中线的性质构造相似三角形例13：如图，中,abac，aebc于e,d在ac边上,若bd=dc=ec=1,求ac。解：取bc的中点m，连am abac am=cm 1=c 又 bd=dcdbc=dcb