高中数学用增量法巧证不等式学法指导

1、for personal use only in study and research; not for commercial use蒂用增量法巧证不等式肇袃证明不等式基本的方法有比较法、分析法、综合法、反证法等，除此之外我们也可以利用增量法来证明一些不等式， 本文就增量法的几种变换技巧及使用类型加以阐述， 供同学们参考。蒃类型一： 当 abm(m为常数 ) 时，可令 amt, bmt ，其中 t 为增量来证明。22羀例 1设 x ， y 均为正数，且 xy =1，求证11(11 )9 。xy袆证明：由 xy 1，可设 x1t,y1t ，不妨设 xy ，则 0 t1。222羃111112112

2、32t32t94t2936t 29 。xy12t2t12t12t14t 214t2袄当且仅当 t0 ，即 x1时取得等号。y2蚂罿例 2已知 a ， b ， cr ，且 ab c1 ，求证 a 2b 2c 21 。3肃证明：设 x ， y ， z r ，则：羁 a1x , b1y , c133z ，则 x y z 0 。32221 2 ( x y z)肀 a2b 2c 21x1y1z33333蚈( x 2y 2z 2 )1(x 2y 2z 2 )1 。33当且仅当 xy z0 ，即 ab1膃c时等号成立。3莂类型二：当 ab 时，可令 abt ，且 tr ， t0 ，其中 t 为增量来证明。螁

3、蒇例 3已知 ab0，求证a 2b2ab 。ba蒇证明：因为 ab0 ，所以可令 abt ，且 tr, t0 。a 2b 2b)(b t) 2b 2( ab)螂(ababbt艿2tt 22btt 2bbt葿t2t20。bb t薇即 a2b 2ab 。ba芃 推 广 ： 当 ab c ， 可 令 ab x , b c y, a c x y ， 其 中 x ，yr, x , y0, x , y 为增量。羁芈例 4已知 abc0 ，求证1140。a bbc ca蚇证 明 ： 令a b x, b c y, a c x y， 其 中x , y 0 ， 则11401 141 1 (x y ) 4 。a b

4、 b c c ax y x yx y蚄 1121 , x y 2 xy ，x yxy葿 11 (x y) 4 。xy肇当且仅当 xy ，即 abc 时等号成立。螇类型三：利用比例系数增量来证明，如ab0 时，我们可令ab，其中1 。如a b c 111at( t 0) ， c1时，令 at, b(1 a) t 。333螁膁例 5已知 ab 0 ，求证 a2ba2b2a 3b3a3。2b 3螆证明：由 ab0 可设 ab ，其中1 。a2b 22 b 2b22袆b 22 b2b 2a22a3b 33 b3b 33膂b 33 b3b 3a33蕿1 ，衿321。112。121113211羆2薃即2131 。232, 从而 a2b2a3b3。11a2b2a3b3莁以下无正文仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。,.for personal use only in study and research; not for commercial use.nur f r den pers?nlichen f r studien, forschung, zu kommerziellen zwecken verwendet werden.pour l tude e