大学物理：第三章 功与能、机械能守恒定律

1、第三章功与能、机械能守恒定律,没有功劳也有苦劳。这句大俗话却包含了重要的物理内容。,功和能是两个重要的物理量，能量守恒与转化定律是自然界的普遍规律，更是基础物理的重要内容。,2,3,8,9,11,12,14,15,16,17,18,19,24,3.1 功和功率 3.2 几种力的功、势能 3.3 动能定理 3.4 机械能守恒定律 3.5 碰撞,本章提要,3.1功和功率,本节提要 功 功率 力矩的功和功率,一、功,功是度量能量转换的基本物理量，它描写了力对空间的积累效应。,变力的功：,焦耳（J）,恒力的功：,3. 1 质点动能定理,直角坐标系：,自然坐标系：,与参照系无关，位移与参照系有关，故 W

2、与参照系有关。,1. 一般情况下，功与力和路径有关,说明,4. 平均功率,瞬时功率,瓦特(W)=(J/s),3. 合力的功等于各分力的功的代数和。,功率: 力在单位时间内所作的功,作用力对质点作功的瞬时功率等于作用力与质点在该时刻速度的标积,解：,变力,恒力 曲线运动,例 小球在水平变力 作用下缓慢移动，即在所有位置上均近似处于力平衡状态，直到绳子与竖直方向成 角。 求：(1) 的功， (2) 重力的功。,力矩的功和功率,与 夹角,质点在平面上绕轴O转动，设力在转动平面内,（无限小角位移矢量）,3.2几种力的功、势能,弹性力的功 重力的功 万有引力的功 保守力功的性质,摩擦力的功 功和参照系的

3、关系 势能 弹性势能 重力势能 引力势能,本节提要,一、力场,力矢在空间的分布形象反映了力场。,3.2.1 保守力的功,一般地，,保守力的功只与初末位置有关，与路径无关。,讨论几种常见力的功,一、弹性力的功,弹性力作功只与质点的起始和终了位置有关，而与质点运动的路径无关。,二、 重力的功,重力作功只与质点的起始和终了位置有关， 而与所经过的路径无关。,三、万有引力的功,设质量为M的质点固定，另一质量为m的质点在M的引力场中从a点运动到b点。,万有引力的功仅由物体的始末位置决定，而与路径无关。,保守力F 功的性质,保守力的功,此结果表明，保守力沿任一闭合路径的线积分为零。,即,四、回旋力的功,：

4、为横向单位矢量,路径1： 圆弧ab,W= 0,回旋力做功与路径有关！,路径2：,回旋力：,a,b,摩擦力做功与路径有关！,3.2.1摩擦力的功,总结：,保守力：,作功与路径无关，只与始末位置有关的力。,保守力沿任何闭合路径作功等于零。,作功不仅与始末位置有关，还与路径有关的。,如：重力，引力，弹性力等。,如：摩擦力，回旋力等。,非保守力：,而(一对)摩擦力作功始终是负的，又称为耗散力。,有心力：,有心力一定是保守力。,判据,如： 引力,静电力,解：,例 已知 , C点坐标为(2，1)。 求：,(1) 的功,a. 沿路径 OAC,b. 沿路径 OBC,c. 沿路径 OC,(2) 是否为保守力?,

5、(1),(2) 非保守力，因为做功与路径有关。,取任意路径ABCDA,为保守力。,为非保守力。,解：,取矩形路径EFGHE,一对内力的功之和与参照系无关。,3.2.3 功和参照系的关系,外力的总功与参照系有关。,相对元位移,一对内力的功：,相对位矢,1. 系统内一对内力的功一般不为零,2. 一对内力做功之和与所选的参照系无关,与参照系无关。,一对摩擦力做功: Wf = - f l (地面系，木块系，子弹系),说明,外力的总功与参照系有关,外力对系统所作的功,设S系相对于S系以速度 v 运动,外力的总功与参照系有关,外力的总功,外力对系统所作的功是指每一个外力所作功之和，而非合外力所作的功。,外

6、力矢量和对质心做的功,外力在质心系中对各质点所做的功,质心系中的质心速度,规定：系统相对位置变化的过程中，成对保守内力做功之和等于系统内能减少量。,3.2.4 势能,质点在保守力场中的势能,势能是由系统内部质点之间的相对位置决定的状态函数。,势能的引入,与物体的位置相联系的系统能量称为势能（Ep）。,保守力的功是势能变化的量度：,物体在保守力场中a，b两点的势能Epa， Epb 之差等于质点由a点移动到b点过程中保守力做的功Wab。,保守力的功等于系统势能的减少。,重力势能,如：,选地面为重力势能零点,重力势能,引力势能,选两质点相距无穷远处为势能零点,引力势能,弹性势能,选弹簧为自然长度的位

7、置作为弹性势能零点和坐标原点,弹性势能,空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动到势能零点时保守力作的功。,势能的大小只有相对的意义，相对于势能零点而言。势能零点可以任意选取。,势能是相互作用有保守力的系统的属性。,说明,设空间 点为势能零点，则空间任意一点 的势能为：,例 轻弹簧原长l0 ，劲度系数为k，下端悬挂质量为m的重物。已知弹簧重物在O点达到平衡，此时弹簧伸长了x0 ，现取x 轴向下为正，原点位于： (1) 弹簧原长位置, (2)力的平衡位置。若取原点为重力势能和弹性势能的势能零点，分别计算重物在任一位置 P 时系统的总势能。,解：,(1) 以弹簧原长点O 为坐标原点，系统总势能

8、：,(2) 若以重力与弹性力合力的平衡位置为原点，则有：,任意位置 x 处的系统总势能：,保守力与势能的关系,1. 积分关系,2. 微分关系,矢量式：,称梯度算子。,例 已知势能函数， 求保守力。,解：,3、势能曲线,双原子分子的势能曲线：,例 已知地球半径 R，物体质量 m，处在地面 2R 处。求势能:（1）地面为零势能点；（2）无限远处为零势能点。,解：,例人造地球卫星(m)，圆轨道(r)。(1)总机械能；(2)受微小阻力f，假设绕一平均圆轨道运动，求每运行一周半径的改变量Dr；(3)每运行一周动能改变量DEk。,解：(1),（2）,（3）,?,引力做功，一半用于克服阻力，一半用于增加动能

9、。,解：,而,例 已知一带正电的点电荷在某电场中的电势能曲线如图所示，OA段为抛物线，且 x= a 处 Ep=E0，若点电荷的总能量为 E0，求: (1) 点电荷受到的电场力及 F 与 x 的关系曲线。(2) 点电荷的动能及 Ek 与 x 的关系曲线。,（1）Ep与 x 的关系,( 0 x a ),(2),( 0 x a ),Ek= E0 ( x 0 ),Ek= 0 ( x a ),例3-11 已知双原子分子的势函数为： ， a、b为正常数，函数曲线如图，如果分子的总能量为零。求：(1) 双原子之间的最小距离； (2) 双原子之间平衡位置的距离； (3) 双原子之间最大引力时的两原子距离； (

10、4) 势阱深度Ed； (5) 画出与势能曲线相应的原子之间的相互作用力曲线。,解：,(1),当动能 Ek=0 时，Ep为最大，两原子之间有最小距离:,平衡位置的条件为F=0，,最大引力的条件为：,(2) 双原子之间平衡位置的距离,(3) 双原子之间最大引力时的两原子距离,将平衡位置两原子之间的距离 x1 代入势函数公式，得势阱深度：,在位置x1处，保守力F为零。,在势能曲线的拐点位置 x2 处，保守力F有最小值。,(4) 势阱深度Ed (5) 画出与势能曲线相应的原子之间的相互作用力曲线。,注：动能定理只在惯性系中成立。,合力对质点的功等于质点动能的增量,3.3.1 质点的动能和动能定理,功与

11、能与参照系有关,3.3动能定理,质点系的动能定理,质点动能定理,其中,对系统内所有质点求和,讨论,总动能,3.3.2 刚体定轴转动的动能定理,对定轴转动刚体上的任一点，其动能：,整个刚体动能：,对于绕z轴转动的刚体，受到力矩M：,力矩的功：,合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量,（刚体定轴转动的动能定理）,例 均质细棒m， l ，水平轴O，开始棒处于水平状态，由静止释放，求棒摆到竖直位置时： (1) 棒的角速度，(2) 棒的转动动能，(3) 质心的加速度，(4) 轴的支反力。,解：,(2),(3),(4),(1),提供向向心加速度,竖直位置时无外力矩,例 细杆A ： (m, L

12、)可绕轴转动，水平处静止释放，在竖直位置与静止物块B； (m) 发生弹性碰撞，求碰后： (1) vB ，(2) 2 ， (3) max 。,解：,碰后反方向转动。,3.4机械能守恒定律,本节提要 功能原理 机械能守恒定律 刚体的平面运动 滚动,3.4.1 功能原理,保守内力的总功,非保守内力的总功,内力的总功,质点系的功能原理： 质点系在运动过程中，所有外力的功和非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量。,1. 明确系统及初、末状态。,2. 适用于惯性系。,3.,机械能守恒定律,系统中的动能和势能可以转换, 各质点间的机械能也可以互换, 但保持系统的总机械能不变。,说明,若,4. 对孤立系统,

13、若,能量转换和守恒定律,其他形式的能量转化为机械能。,机械能转化为其他形式的能量。,则：,当只有保守内力作功，而外力和非保守内力不作功或其作功的代数和为零时，系统的机械能保持不变。,3.4.2 机械能守恒定律,3.4.3 功与能的定理与参照系的关系,在某一惯性系中机械能守恒，但在另一惯性系中机械能不一定守恒。,动能与参照系有关。,势能与参照系无关。,例 已知铁链质量m，长 l ，与桌面摩擦系数为 。问： (1) a 为多少 时铁链开始下滑? (2) 金属链全部离开桌面时 v 为多少?,解：,(1),(2) 摩擦力做负功，以 a 处为坐标原点,下垂部分重力 等于摩擦力时,利用功能原理，以桌面为零

14、势能点：,例 计算第一、第二宇宙速度。,一、第一宇宙速度,已知：地球半径为R，质量为M，卫星质量为m。要使卫星在距地面h 高度绕地球作匀速圆周运动，求其发射速度。,解：,设发射速度为v1，绕地球的运动速度为v。,机械能守恒：,万有引力提供向心力：,得：,第一宇宙速度,二、第二宇宙速度,宇宙飞船脱离地球引力而必须具有的发射速度。,(1) 脱离地球引力时，飞船的动能必须大于或等于零。 (2) 脱离地球引力处，飞船的引力势能为零。,由机械能守恒：,得：,3.4.4 刚体的平面运动,整个刚体可看成是所有质元都以质心的速度作平动,质元绕质心的转动,刚体的质心被约束在一平面内运动，且刚体上所有质点都在与上

15、述平面平行的平面内运动，称刚体的平面运动。,刚体的平面运动,设刚体质心的位矢为 (对地),为第i个质点质元的位矢(对地),则有,为第i个质点相对质心C的位矢,刚体的平面运动,则有,为第 i 个质点相对于质心的速度,由于刚体不会变形( 不变),相对于质心的速度仅是由于 的方向 变化引起,滚动：圆形物体在平面或曲面上的滚动，通常，质心即圆心。,有滑动滚动 接触面之间有相对滑动的滚动，摩擦力为滑动摩擦力,无滑动滚动 接触面之间无相对滑动的滚动，也称纯滚动，为静摩擦力。,应满足约束条件, 。和 是质心的速度和加速度的大小，和是角速度和角加速度，为圆半径。,滚动中的摩擦力,若物体是一轮子，在地上滚动，已

16、知其质心平动速度为,则轮子在 时间内质心向前平移 的路程,轮子的着地点相对于质心向后移动了 的距离。,摩擦力方向判别方法如下：,角速度为,滚动时，轮与地面接触点A 相对于地面滑动的距离为,(a) 若 ，则 。轮子向前滑动，轮所受的摩擦力向后。此力阻止 增加，而其力矩却使 增加。,(c) 只有静摩擦力，这时作纯滚动。所以，为纯滚动条件。归纳：摩擦力总是调节滚动时平动和转动的速度，使两者向的状态变化，即趋于纯滚动。,(b) ，则 向前，轮向后滑动 ,使 增加，其力矩使 减小。,此力为自行车前进的力，所以必须加强这个力。,例：分析自行车的滚动,由于脚蹬链条，通过后轮齿轮，给后轮加一个力偶作用。,在力

17、偶矩的作用下，后轮转动方向?,摩擦力方向?,轮的着地点A运动的趋势?,若无 ，则前轮与地的接触点B向前运动.,自行车前轮，由于车身在后轮摩擦力的作用下前进，可近似认为牵引力作用于圆心O上(通过支架给于O),前轮与地的接触点B运动方向?,前轮摩擦力方向?,刚体作平面运动时，不论运动如何复杂，总可以分解为随质心的平动和绕通过质心轴的转动。,求解刚体平面运动的基本方程：,加上初始条件、约束条件,动能：,刚体的平面运动,一、 刚体定轴转动的转动动能,定轴转动可分解为刚体绕过质心轴的转动和随质心（绕定轴作圆周运动）的平动。,刚体定轴转动的功能原理,由平行轴定理：,一质量为m，半径为r的轮子以角速度 旋转

18、。将它轻轻放到地面上，设地面的滑动摩擦系数为 ，求轮子最后的前进速度和角速度 ，达到此运动状态经过了多少时间？,例,经过时间t后达到只滚不滑的匀速滚动状态。令此时的质心速度为 ，角速度为 ，则有,解：,轮子刚落地时接触点向后滑，故摩擦力f向前，f 的作用：,推动轮子加速前进,使它的转动减缓,f 作用在质心上的冲量和冲量矩得,解：,d =0 时， =0，刚体只有平动没有转动。,例 长 l 质量 m 的匀质细杆放在光滑的水平面上，以水平力 垂直作用在细杆上，作用点距质心为 d ，计算 作用瞬间细杆的角加速度和质心的加速度。,例 一匀质圆球(r )从静止开始沿一粗糙斜面纯滚动而下，斜面倾角为 ，球从

19、上端滚到下端球心高度相差为 h ，计算小球滚到下端时质心的速度和转动角速度。,解：,纯滚动条件：,也可由机械能守恒计算：,例 均匀圆柱体A，质量为m，半径为R，在其中部绕一根细绳，绳的一端固定。设圆柱体初速度为零。求：当圆柱体从静止开始下落 h 时，轴心的速度和绳子拉力。,解：,得：,也可由机械能守恒计算：,3.5碰撞,本节提要 碰撞与守恒定律 弹性碰撞 完全非弹性碰撞,体系动量守恒?,碰撞与守恒定律,体系角动量守恒?,系统的总机械能守恒 ?,没有外力，,没有外力矩，,碰撞类型,碰撞过程,1. 压缩阶段,2. 恢复阶段,碰撞问题,微观粒子：碰撞 散射,弹性碰撞：碰撞后物体的形变可以完全恢复，且

20、碰撞前后系统的总机械能守恒。,非弹性碰撞：碰撞后物体的形变只有部分恢复，系统有部分机械能损失。,完全非弹性碰撞：碰撞后物体的形变完全不能恢复，两物体合为一体一起运动。系统有机械能损失。,(1) 弹性碰撞,动量守恒：,动能守恒：,1. 当m1=m2时， 则:,讨论,在一维弹性碰撞中, 质量相等的两个质点在碰撞中交换彼此的速度。,2. 若v20=0，且 m2m1，则:,质量很小的质点与质量很大的静止质点碰撞后，调转运动方向，而质量很大的质点几乎保持不动。,3. 若v20=0， 且m2m1， 则:,质量很大的入射质点与质量很小的静止质点碰撞后速度几乎不变，但质量很小的质点却以近两倍的速度运动起来。,

21、(2) 完全非弹性碰撞,动量守恒：,机械能损失：,动量守恒：,(3) 非弹性碰撞：,碰撞定律：,碰撞后两球的分离速度(v2-v1)与碰撞前两球的接近速度(v10-v20) 成正比。比值由两球的质料决定。,恢复系数,碰后两球的速度：,机械能损失：,完全非弹性碰撞： e =0 v2=v1,非弹性碰撞： 0 e 1,弹性碰撞： e =1 （v2-v1）= （v10-v20）,例：在光滑的桌面上有一质量为M、长 的细杆，一质量为m的小球沿桌面以速率 垂直地撞击在细杆的一端。设碰撞是完全弹性的，求碰后球和杆的运动情况。在什么条件下细杆旋转半圈后会第二次撞在小球上？,动量守恒,动能守恒,为杆绕其质心的转动惯量。,根据上面的结果，这要求,欲细杆转半圈后再次击中小球，它们必须走得一样快,（a）一根长度为 ，质量为M的木棒平放在无摩擦的平面上，一质量为m的小球以速率 撞击其一端（也在平面上）。假定碰撞是完全弹性的，碰撞后小球的末速度 沿着原来的运动路线，求小球的末速度 。,例,（b）