排列组合与概率

1、排列组合与概率专题三： 排列、组合及二项式定理一、排列、组合与二项式定理【基础知识】1.分类计数原理(加法原理）。2.分步计数原理（乘法原理).3.排列数公式 =.（n，mn,且mn)4。组合数公式 =(n,mn*,且mn）。5。组合数的两个性质：(1) = ；(2） +=（3）.6.排列数与组合数的关系是： .7。二项式定理： ；二项展开式的通项公式:。【题例分析】例1、从6名短跑运动员中选4人参加4100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法?解法:问题分成三类：（1）甲乙二人均不参加，有种；（2）甲、乙二人有且仅有1人参加，有2（）种；（3）甲、乙二人均参加，有

2、(2)种，故共有252种点评：对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种例2： 有5个男生和3个女生,从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数:（1)有女生但人数必须少于男生(2)某女生一定要担任语文科代表（3)某男生必须包括在内，但不担任数学科代表(4)某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表解：(1）先取后排，有种，后排有种,共有5400种（2)除去该女生后先取后排:种（3)先取后排,但先安排该男生：种（4)先从除去该男生该女生的6人中选3人有种，再安排该男生有种，其余3人全排有种，共=360种例3、有6本不同的书(1

3、）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？（2）分成3堆,每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（3）分成3堆,一堆1本，一堆2本,一堆3本，有多少种不同的分堆方法？（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本,一人3本，有多少不同的分配方法？（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法?（6）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？解：（1）在6本书中,先取2本给甲,再从剩下的4本书中取2本给乙，最后2本给丙，共有（种）。（2)6本书平均分成3堆，用上述方法重复了倍，故共有(种）。（3）从6本书中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆,最后3本做一堆，共有（

4、种）(4）在（3）的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆,故共有（种）。（5）平均分堆要除以堆数的全排列数,不平均分堆则不除，故共有(种）。(6)本题即为6本书放在6个位置上，共有（种)。例4、如果在 的展开式中，前三项的系数成等差数列,求展开式中的有理项.解：展开式中前三项的系数分别为1， ，, 由题意得：2=1+得=8。设第r+1项为有理项，则r是4的倍数，所以r=0,4,8。有理项为。【巩固训练】一。选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的,把它选出填在题后的括号内.1、设k=1，2,3，4，5，则（x+2）5的展开式中xk的系数不可能是 a 10 b 40 c 50 d 80.

5、 2、某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场,得3分；平一场，得1分;负一场，得0分。一球队打完15场，积33分.若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有 a 3种 b 4种 c 5种 d 6种。二.填空题:把正确答案填写在题中的横线上.3、将标号为1，2,，10的10个球放入标号为1，2,，10的10个盒子内，每个盒内放一个球,则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有 种。（以数字作答）4、设则 三。解答题：(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤)5、(1）10个优秀指标分配给6个班级，每班至少一个，共有多少种不同的分配方法？（2)10个优秀名额分配到一、二、三3个班，若名额数不

6、少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？6、若=，求(1)的值。（2）的值.二、等可能事件的概率【基础知识】等可能性事件的概率。【题例分析】例1、 某班有学生36人，血型分别为a型12人,b型10人，ab型8人，o型6人,现从中抽出2人，求这两人血型不相同的概率。解：p(两人血型相同)p(两人血型均为a型)p（两人血型均为b型）p（两人血型均为ab型)p(两人血型均为o型).所以，p（两人血型不同)1.点拨：从四种血型中抽出2种有c246种,依次分类则情形较复杂，所以本题用间接法较简便.例2、从男、女学生共有36名的班级中,任意选出两名委员,任何人都有同样的机会当选，如果选得同性委员的概率等

7、于,求男、女相差几名？解:设男生有x名，则女生有36x名,选得2名委员都是男性的概率为。选得两名委员都是女性的概率为。以上两种选法是互斥的，所以选得两名委员是同性委员的概率等于其概率和.依题意.解得x15或x21。即该班男生有15名，女生有361521人或者男生有21人，女生有362115人，总之，男女相差6名.例3、在袋中装30个小球，其中彩球有n个红色,5个蓝色，10个黄色，其余为白色，求：(1）如果已经从中取定了5个黄球和3个蓝球,并将它们编上了不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球不相邻的排法有多少种？（2）如果从袋中取出3个都是颜色相同的彩球（不含白色）的概率是，且n2，计算红球有几个

8、？（3）根据（2)的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个红球的概率？解:(1）将5个黄球排成一排共有a55种排法，将3个蓝球放在5个黄球所形成的6个空位上，有a36种排法。所求的排法为a55a3614400(种)。（2）取3个球的种数为c3304060，设“3个球全是红色”为事件a，“3个球全是蓝色”为事件b.“3个球都是黄色”为事件c，则p（b），p（c）。a、b、c彼此互斥，p(abc）p（a)p(b)p（c），即p(a）。p（a）0，即取3个球，是红球的个数小于或等于2.又n2，故n2。（3）记“3个球至少有一个是红球”为事件d，则为“3个球中没有红球，则p(d）1p（）1.例4、一种

9、电器控制器在出厂时每四件一等品装成一箱,工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入一箱，为了找出该箱中的二等品，我们把该箱中产品逐一取出进行测试。 （1）求前两次取出都是二等品的概率； (2）求第二次取出的是二等品的概率； 解：（1）四件产品逐一取出方式共有a种不同方式。前两次取出都是二等品的方式共有aa种不同方式。所以前两次取出都是二等品的概率为:（2）第二次取出是二等品共有：，所以第二次取出是二等品的概率是：【巩固训练】一.选择题:每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内。1、数字1，2，3，4，5,中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位

10、数字之和等于9的概率为（ ）2、将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2,3,4,5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 (a） (b) (c) (d）二。填空题：把正确答案填写在题中的横线上.3、袋内装有10个相同的球，其中5个球标有数字0，5个球标有数字1,若从袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是 . 4、一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇。若任意排列交流次序,则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是_三.解答题：（解答应写文字说明，证明过程或演算步骤)5、8支球队中有3支弱队,以抽签

11、的方式将这8支球队分为a、b两组，每组4支，求: (1）a、b两组中有一组恰有两支弱队的概率；（2)a组中至少有两支弱队的概率6、有一个表面都涂有红颜色的正方体，被均匀地锯成了1000个小正方体，将这些正方体混合后，放入一个口袋内.（1）从该袋中任抽取一个正方体，恰有两个面涂有红色的概率是多少?(2)从袋中任取两个正方体，其中至少有一个面上有红色的概率是多少？三、互斥事件的概率【基础知识】1、 （1）互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件。(2）对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.2.重点公式(1)如果事件a、b互斥,那么事件a+b发生（即a、b中有一个发生)的概率，等于

12、事件a、b分别发生的概率和,即p(a+b）=p(a)+p(b)，推广：p（a1+a2+an）=p（a1)+p（a2)+p（an）。（2）对立事件的概率和等于1。p（p)+p()=p（a+）=1.【题例分析】例1、甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.甲、乙二人各抽一题：(1)求甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率；（2)求甲、乙两人中至少一人抽到选择题的概率。解：（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的可能结果有cc个，又甲、乙依次抽到一题的可能结果有cc个，所以，所求概率为：=。（2）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为，故甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率为

13、:1=1-=1-=。例2、某射手在一次射击中命中9环的概率是0。28，命中8环的概率是0。19，不够8环的概率是0。29.计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率.解：设这个射手在一次射击中命中10环或9环为事件a，命中10环、9环、8环以及不够8环的事件分别记为a1、a2、a3、a4。a2、a3、a4彼此互斥，p(a2+a3+a4)=p(a2)+p(a3）+p（a4）=0.28+0。19+0.29=0.76.又a1=，p（a1)=1p（a2+a3+a4）=10.76=0.24.a1与a2互斥，p（a）p（a1+a2）=p(a1）+p(a2）=0。24+0.280.52.故这个射手在一次

14、射击中命中10环或9环的概率为0.52.例3、袋中放有3个伍分硬币，3个贰分硬币和4个壹分硬币，从中任取3个,求总值超过8分的概率。解:记“总值超过8分为事件a，它应有四种情况：（1）“取到3个伍分硬币”为事件a1；（2)“取到2个伍分和一个贰分硬币为事件a2;（3）“取到2个伍分和一个壹分硬币”为事件a3；（4）“取到一个伍分硬币和2个贰分硬币”为事件a4。则p(a1）=。p(a2）=.p(a3）=. p(a4)=.依题意，a1、a2、a3、a4彼此互斥，p（a）=p（a1+a2+a3+a4)=p(a1）+p(a2)+p(a3)+p(a4）=例4、经统计，某大型商场一个结算窗口每天排队结算的

15、人数及相应的概率如下：排队人数0-56-1011151620212525人以上概 率0。10。150。250。250。20.05（i）每天不超过20人排队结算的概率是多少？（）一周7天中,若有3天以上(含3天)出现超过15人排队结算的概率大于0。75，商场就需要增加结算窗口，请问该商场是否需要增加结算窗口?解：（i）每天不超过20人排队结算的概率为：p=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超过20人排队结算的概率是0。75.(）每天超过15人排队结算的概率为：0。25+0。2+0.05=，一周7天中，没有出现超过15人排队结算的概率为；一周7天中，有一天出现超过15人排队结算的

16、概率为；一周7天中,有二天出现超过15人排队结算的概率为；所以有3天或3天以上出现超过15人排队结算的概率为：，所以，该商场需要增加结算窗口。【巩固训练】一.选择题：每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的,把它选出填在题后的括号内。1、如果a、b两个事件互斥，那么(）a.a+b是必然事件 b。+是必然事件c.与一定互斥d.与一定不互斥2、在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站,假定这个车站只能停靠一辆汽车，有一位乘客需5分钟之内赶到厂里，他可乘3路或6路车到厂里，已知3路车，6路车在5分钟内到此车站的概率分别为0。2和0。6，则此乘客在5分钟内能乘到所需车的概率为(）a.0。2 b。0

17、.6c.0。8d。0.12二。填空题：把正确答案填写在题中的横线上。3、甲、乙两人下成和棋的概率为，乙获胜的概率为,则乙不输的概率为_。4、有两个口袋，甲袋中有3只白球,7只红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球，现从两袋中各取一只球，则两球颜色相同的概率为_.三.解答题:(解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）5、已知袋中装有红色球3个、蓝色球2个、黄色球1个，从中任取一球确定颜色后再放回袋中,取到红色球后就结束选取，最多可以取三次，求在三次选取中恰好两次取到蓝色球的概率.6、掷两个骰子，出现点数之和为4点或5点或偶数点的概率是多少？四、独立事件的概率【基础知识】1.独立事

18、件a，b同时发生的概率p（ab）= p（a)p（b)。2.n个独立事件同时发生的概率 p（a1 a2 an)=p(a1） p(a2） p(an）3。（不要求记忆）n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率【题例分析】例1、某产品检验员检查每一件产品时，将正品错误地鉴定为次品的概率为0。1，将次口错误地鉴定为正品的概率为0。2,如果这位检验员要鉴定4件产品，这4件产品中3件是正品,1件是次品，试求检验员鉴定成正品，次品各2件的概率.解：有两种可能：将原1件次品仍鉴定为次品，原3件正品中1件错误地鉴定为次品;将原1件次品错误地鉴定为正品，原3件正品中的2件错误地鉴定为次品。 概率为p0。1998例

19、2、已知两名射击运动员的射击水平，让他们各向目标靶射击10次，其中甲击中目标7次，乙击中目标6次，若在让甲、乙两人各自向目标靶射击3次中,求：（1）甲运动员恰好击中目标2次的概率是多少？（2)两名运动员都恰好击中目标2次的概率是多少？（结果保留两位有效数字）解. 甲运动员向目标靶射击1次，击中目标的概率为7/10=0。7乙运动员向目标靶射击1次,击中目标的概率为6/10=0.6(1）甲运动员向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是(2)乙运动员各向目标靶射击3次，恰好都击中目标2次的概率是例3、冰箱中放有甲、乙两种饮料各5瓶，每次饮用时从中任意取1瓶甲种或乙种饮料，取用甲种或乙种饮料的概率

20、相等.（)求甲种饮料饮用完毕而乙种饮料还剩下3瓶的概率；（）求甲种饮料被饮用瓶数比乙种饮料被饮用瓶数至少多4瓶的概率.解：(i）。 (ii）p6（5)+p5（5)+p4(4） =c65p5（1p)+c55p5+c44p4=例4、有一批产品出厂前要进行五项指标检验,如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂，已知每项指标抽检是相互独立的，每项指标抽检出现不合格品的概率都是.(）求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数学）(）求直至五项指标全部检验完毕,才能确定该批产品是否出厂的概率（保留三位有效数学）解答: (1）这批产品不能出厂的概率是：五项指标全部检验完毕,这批食品可以出厂的概率是:五项指标全

21、部检验完毕,这批食品不能出厂的概率是：由互斥事件有一个发生的概率加法可知：五项指标全部检验完毕才能确定这批产品是否可以出厂的概率是【巩固训练】一.选择题:每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，把它选出填在题后的括号内。1. 一台x型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这中型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多2台机床需要工人照看的概率是 （ ） （a）0。1536 (b） 0.1808 （c） 0.5632 （d） 0.97282、种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为p和q，则恰有一株存活的概率为 ( )（a） p+q2p q （b） p+qpq (

22、c） p+q （d） pq二。填空题：把正确答案填写在题中的横线上。3、某射手射击1次，击中目标的概率是0.9.他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响。有下列结论：他第3次击中目标的概率是0。9;他恰好击中目标3次的概率是0。930。1；他至少击中目标1次的概率是1-0。14。其中正确结论的序号是 （写出所有正确结论的序号）4、某健美中心对第一期60人进行减肥训练,结果40人达到减肥标准目的，按此比率，现有5人参加第二期该训练,求：至少有4人没有达到减肥目的的概率。 。三。解答题：（解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）5、 已知甲、乙两人投篮的命中率分别为0.4和0。6现让每

23、人各投两次，试分别求下列事件的概率：（）两人都投进两球；（）两人至少投进三个球.6、设每门高射炮命中飞机的概率为0。6,试求：（1）两门高射炮同时射击一发炮弹而命中飞机的概率;（2)若今有一飞机来犯，问需要多少门高射炮射击，才能以至少99的概率命中它?五、概率与期望【基础知识】1、离散型随机变量的分布列的两个性质:（1)；(2）。2、数学期望3、数学期望的性质：(1）e（a+b)=ae()+b；(2）若b（n，p)，则e=np。(二项分布）（3)若服从几何分布,且p（=k）=g（k,p)， e=1/p。4、方差：5、标准差:=。6、方差的性质:(1） (2)b（n，p）,则d=np（1-p）。

24、 (3) 若服从几何分布,且p(=k）=g(k,p）， d=q/p2。7、 抽样方法（1）简单随机抽样：概率 其中n为样本容量， n为个体总数（2）分层抽样： 其中n为样本容量， n为个体总数 n1为分层样本容量， n1为分层个体总数【题例分析】例1：甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题。规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（）求甲答对试题数的概率分布及数学期望；（)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.解：（）依题意,甲答对试题数的概率分布如下：甲答对试题数的数学期望(）设甲、乙两人考试合格的事件分别

25、为a、b，则因为事件a、b相互独立,甲、乙两人考试均不合格的概率为甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为.例2. 某射击运动员每次射击击中目标的概率为p（0p1）.他有10发子弹，现对某一目标连续射击，每次打一发子弹，直到击中目标,或子弹打光为止。求他击中目标的期望。解：射手射击次数的可能取值为1，2,，9,10.若，则表明他前次均没击中目标，而第k次击中目标；若k10,则表明他前9次都没击中目标,而第10次可能击中也可能没击中目标。因此的分布列为用倍差法,可求得所以例3 、9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0 5,若一个坑内至少有1粒

26、种子发芽,则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需补种假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用表示补种费用，写出的分布列并求的数学期望 （精确到0 01）解：某坑需补种的概率为,不需补种的概率为 的分布列为：0102030p e=0+10+20+30=3 75例4、有红蓝两粒质地均匀的正方体形状骰子,红色骰子有两个面是8，四个面是2,蓝色骰子有三个面是7,三个面是1，两人各取一只骰子分别随机投掷一次，所得点数较大者获胜 分别求出两只骰子投掷所得点数的分布列及期望；投掷蓝色骰子者获胜的概率是多少?解：红色骰子投掷所得点数为是随即变量，其分布如下： 82 p e824 蓝色

27、骰子投掷所得点数是随即变量，其分布如下： 71p e=7+1=4 【巩固训练】一.选择题:每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的,把它选出填在题后的括号内。1、某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180 个、150个销售点。公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为:在丙地区中有20个特大型销焦点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为，则完成、这两项调查宜采用的抽样方法依次是（a)分层抽样，系统抽样法 （b）分层抽样法，简单随机抽样法(c）系统抽样法，分层抽样法 （d)简随机抽样法，分层抽样法二。填

28、空题：把正确答案填写在题中的横线上.3、某工厂生产a、b、c三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3:5。现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中a种型号产品有16件。那么此样本的容量n=。4、设随机变量的概率分布为a为常数，k1,2，、，则a= 三.解答题:（解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）5、蓝球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次得分的期望、方差、标准差分别是多少?6、从一批有5个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品,设各个产品被抽到的可能性相同.记为直到取出的是合格品为止时所需抽取的次数,分别在下列三种情形下求出：（1) 每次抽取的产品都不放回到这批产品中的的分布列和所需平均抽取的次数； （2) 每次抽取的产品都立即放回到这批产品中,然后再抽取一件产品的的分布列； (3)