第二节 证券投资组合机有效集.ppt

1、第二节 证券投资组合及有效集,均值方差组合问题,一、模型的假设条件 假设1：收益率的概率分布是已知的； 假设2：风险用收益率的方差或标准方差表示； 假设3：影响决策的因素为期望收益率和风险； 假设4：投资者遵守占优原则，即， 同一风险水平下，选择收益率较高的证券； 同一收益率水平下，选择风险较低的证券,二、投资组合几何表示和可行域,选定了证券的投资比例，就确定了组合。可以计算该组合的期望收益率EP和标准差P 以EP为纵坐标、P为横坐标，在EP-P坐标系中可以确定一个点。每个组合对应EP-P中的一个点 反过来，EP-P中的某个点有可能反映某个组合 选择“全部”有可能选择的投资比例，那么，全部组合

2、在EP-P中的“点”组成EP-P中的区域 可行域（feasible set） 可行域中的点所对应的组合才是“有可能实现”的组合。 可行域之外的点是不可能实现的证券组合。 可行域机会集,可行域必须满足的形状,左上边缘部分向外凸或直线“凸集” 可以证明，边界是双曲线,切点是最佳证券组合点,三、无差异曲线与最优组合,四、前沿证券组合,定义：如果一个证券组合在所有的等均值收益率的证券组合中具有最小的方差，则被称为前沿证券组合。 注：每一确定的收益率就可以确定一个前沿组合,前沿证券组合的推导（标准的均值方差问题,设市场上存在N（N1）种风险资产,并且允许他们无限制的卖空，用V表示N资产证券的协方差矩阵，

3、用W表示某个投资组合，假设V为N阶正定矩阵。 则有证券组合P是一个前沿证券组合，当且仅当它的证券组合权重WP向量是下列二次规划问题的解时,其中R表示N个风险资产收益率的均值向量，并假定是已知的，（为了方便求解，在目标函数前乘了,上面的优化问题可以利用拉格朗日乘子法解决，设WP是下列无约束问题之解,有一阶必要条件，得,由于V是对成的正定矩阵，所以上述一阶必要条件是最优解的充要条件。(参看，李向科金融数学，P27),代入（2）（3）式可得,解方程组得,由（1）式可得,其中,由于V是对称正定矩阵，因此，B，C均为正数，可以证明D0， 事实上,其中,结论,任何前沿证券组合可以表示成上述形式。 任何能写

4、成上述形式的组合是一个前沿证券组合 对应不同的收益率，优化问题可以得到不同的解，进而得到不同的前沿证券组合。 “取遍”所有可能的收益率，其“轨迹”就是一条曲线。 由全体“前沿证券组合”构成的“集合” 证券组合前沿（portfolio frontier）。 是今后定义有效边界（有效前沿 ）的基础,这个集合叫做证券组合前沿(与有效边界，有效前沿是同一个概念). 利用（1）（5）可得,在方差均值坐标系下，它是抛物线方程； 在均方差均值坐标系下，它是双曲线方程，如图,五、证券组合前沿的有关性质,性质1 给定两个前沿证券组合P 和Q的收益率的协方差为,事实上,由（7）式知，当,由（4）（5）式，知此时全

5、局最小方差组合为,假设A非零，我们定义,称为可分散化的资产组合，此时（4）式可化为,且,性质2 （两基金分离定理）在上面的市场假设和记号下，任意最小,注：所有最小方差资产组合都可仅有两个不同的资产组合,的资产组合所生成,故有,通常称为“共同资金,性质4 对于任意一个有效前沿组合P（P不为全局最小方差资产组合即,，必存在唯一的零协方差组合q，使得,证明： 由性质1，知,令,解出,用拉氏乘子法，解得,其中,六、具有无风险资产的均值-方差问题,存在无风险证券时，一般的假设条件与前面的相同。假定共有N+1种资产，其中N种是风险资产，1中是无风险资产，而N种风险资产具有与前面相同的有关假定。设无风险资产

6、收益为rf，R表示N种风险资产收益率均值的向量（是N维向量），用,表示前沿证券组合P中相应风险资产的证券组合权重，则,是下列线性规划问题的解,就是投资于无风险资产的投资权重，易知,式中A、B、C表达式与前面相同,即有,上式表明，在方差-均值坐标系中，存在无风险证券的证券组合前沿,七、存在无风险证券情况下的证券组合前沿与经济学含义,设,1、前沿直线是两条射线,2、斜率为正的射线与原来的前沿曲线相切，即直线（存在无风险的 有效边界）和双曲线（不存在无风险的有效边界）是相切的。（由 性质4的几何意义知）取,则由性质4知 存在组合e使得,且,注由（7）式得,3、经济含义,同时该射线在e外侧部分的点表示：买空无风险资产买入风险资产e,卖空风险资产e买入无风险资产,另一条射线,对于任意风险资产组合P有