---求空间角、距离

1、-求空间角、距离立体几何中的向量方法（）-求空间角.距离 一.选择题1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO.AM的位置关系是( ). A.平行 B.相交 C.异面垂直 D.异面不垂直 解析 建立坐标系如图，设正方体的棱长为2， 则A(2,0,0)，M(0,0,1)， O(1,1,0)，N(2，t,2)，(1,1t，2)， (2,0,1)，0，则直线NO.AM的 位置关系是异面垂直. 答案 C2.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的中点，则|为( ). A.a B.a

2、C.a D.a 解析 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N. 设M(x，y，z)， 点M在AC1上且， (xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z. 得M， | a. 答案 A3.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M.N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为( ). A. B. C. D. 解析 设正方体的棱长为2，以D为坐标原点， DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角 坐标系(如图)，可知(2，2,1)，(2,2，1)， cos，sin， 答案 B4.两平行平面，分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的

3、一个法向量n(1,0,1)，则两平面间的距离是( )A. B. C. D.3 解析 两平面的一个单位法向量n0，故两平面间的距离d|n0|. 答案 B5.已知直二面角l，点A，ACl，C为垂足，点B，BDl，D为垂足，若AB2，ACBD1，则CD( ). A.2 B. C. D.1 解析 如图，建立直角坐标系Dxyz，由已 知条件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t0)， 由AB2解得t. 答案 C6.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FBBC，则GB与EF所成的角为( ). A.30 B.120 C.60 D.90 解析 如图建立直角坐标

4、系Dxyz， 设DA1，由已知条件 G，B， E，F， ， cos，0，则. 答案 D7.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2.若二面角B1DCC1的大小为60，则AD的长为( )A. B. C.2 D. 解析 如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)， C1(0,0,2)，D(1,0,1)设ADa，则D点坐标为(1,0，a)，(1,0，a)， (0,2,2)， 设平面B1CD的一个法向量为m(x，y，z). 则，令z1， 得m(a,1，1)，又平面C1D

5、C的一个法向量为n(0,1,0)， 则由cos60，得，即a， 故AD. 答案：A 二.填空题8.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上.当APC最大时，三棱锥PABC的体积为_. 解析 以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，设，可得P(，)， 再由cosAPC可求得当时，APC最大， 故VPABC11. 答案9.如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值为_. 解析 设M(0，m，m)(0ma)，(a,0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s0

6、，由(0，m，am)，故点M到直线AD1的距离d，根式内的二次函数当m时取最小值2aa2a2，故d的最小值为a. 答案 a10.若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则_. 解析 由已知得， 8 3(6)，解得2或. 答案 2或11.正四棱锥S ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC的夹角的大小为_. 解析 如图所示，以O为原点建立空间 直角坐标系Oxyz. 设ODSOOAOBOCa， 则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(a,0,0)， P. 则(2a,0,0)，(a，a,0). 设平面PAC的法向量为n，可求得

7、n(0,1,1)， 则cos，n. ，n60， 直线BC与平面PAC的夹角为906030. 答案3012.已知点E.F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为_. 解析 如图，建立直角坐标系Dxyz， 设DA1由已知条件A(1,0,0)， E，F， ， 设平面AEF的法向量为n(x，y，z)， 面AEF与面ABC所成的二面角为， 由得 令y1，z3，x1，则n(1,1，3)平面ABC的法向量为m(0,0，1)cos cosn，m，tan . 答案 三.解答题13. 如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABC

8、D.四边形ABCD中，ABAD，ABAD4，CD，CDA45. (1)求证：平面PAB平面PAD； （2）设ABAP.若直线PB与平面PCD所成的角为30，求线段AB的长. 解析：(1)证明：因为PA平面ABCD， AB平面ABCD， 所以PAAB. 又ABAD，PAADA， 所以AB平面PAD. 又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD. （2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz(如图). 在平面ABCD内，作CEAB交AD于点E，则CEAD. 在RtCDE中，DECDcos451，CECDsin451.设ABAPt，则B(t,0,0)，P(0,0，t). 由ABAD4得AD4t，

9、 所以E(0,3t,0)，C(1,3t,0)，D(0,4t,0)，(1,1,0)， (0,4t，t). 设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)， 由n，n，得 取xt，得平面PCD的一个法向量n(t，t,4t). 又(t,0，t)，故由直线PB与平面PCD所成的角为30得 cos60|，即， 解得t或t4(舍去，因为AD4t0)， 所以AB.14.如图所示，四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC底面BCDE，BC2，CD，ABAC. (1)证明：ADCE； （2）设侧面ABC为等边三角形，求二面角CADE的大小. 解析 (1)证明 取BC中点O， 连接AO，则AOBC 由已知条

10、件AO平面BCDE， 如图，建立直角坐标系Oxyz， 则A(0,0，t)，D(1，0)， C(1,0,0)，E(1，0)， (1，t)， (2，0)， 则0，因此ADCE. （2）作CFAD垂足为F，连接EF， 由AD平面CEF知EFAD， 则CFE为二面角CADE的平面角. 在RtACD中，CF， 在等腰ADE中EF， cosCFE. 二面角CADE的余弦值为.15.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，ACB90，EA平面ABCD，EFAB，FGBC，EGAC，AB2EF. (1)若M是线段AD的中点， 求证：GM平面ABFE； （2）若ACBC2AE，求二面角ABFC的大小.

11、 解析 (1)证明 法一 因为EFAB， FGBC，EGAC， ACB90， 所以EGF90，ABCEFG. 由于AB2EF，因此BC2FG. 连接AF，由于FGBC，FGBC， 在ABCD中，M是线段AD的中点，则AMBC，且AMBC， 因此FGAM且FGAM， 所以四边形AFGM为平行四边形，因此GMFA. 又FA平面ABFE，GM平面ABFE， 所以GM平面ABFE. 法二因为EFAB，FGBC，EGAC，ACB90， 所以EGF90，ABCEFG， 由于AB2EF，所以BC2FG. 取BC的中点N，连接GN， 因此四边形BNGF为平行四边形，所以GNFB. 在ABCD中，M是线段AD的

12、中点，连接MN， 则MNAB. 因为MNGNN，ABFBB， 所以平面GMN平面ABFE. 又GM平面GMN， 所以GM平面ABFE. （2）法一 因为ACB90，所以CAD90， 又EA平面ABCD， 所以AC，AD，AE两两垂直. 分别以AC，AD，AE所在直线为x轴.y轴和z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设ACBC2AE2，则由题意得 A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(2,0,0)， E(0,0,1)，所以(2，2,0)，(0,2,0). 又EFAB， 所以F(1，1,1)，(1,1,1). 设平面BFC的法向量为m(x1，y1，z1)， 则m0，m0， 所以 取z11

13、，得x11，所以m(1,0,1). 设平面ABF的法向量为n(x2，y2，z2)， 则n0，n0， 所以 取y21，得x21，则n(1,1,0)， 所以cosm，n. 因此二面角ABFC的大小为60. 法二由题意知，平面ABFE平面ABCD， 取AB的中点H，连接CH， 因为ACBC，所以CHAB， 则CH平面ABFE. 过H向BF引垂线交BF于R，连接CR， 则CRBF， 所以HRC为二面角ABFC的平面角. 由题意，不妨设ACBC2AE2. 在直角梯形ABFE中，连接FH， 则FHAB，又AB2， 所以HFAE1，BH， 因此在RtBHF中，HR. 由于CHAB， 所以在RtCHR中，ta

14、nHRC， 因此二面角ABFC的大小为60.16.如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点. (1)求证：AF平面BCE； （2）求证：平面BCE平面CDE； (3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值. 解析 方法一： (1)证法一：取CE的中点G，连接FG.BG. F为CD的中点，GFDE且GFDE， AB平面ACD，DE平面ACD， ABDE，GFAB. 又ABDE，GFAB.又DE2AB， 四边形GFAB为平行四边形，则AFBG. AF平面BCE，BG平面BCE， AF平面BCE. 证法二：取DE的中点M，连接AM.FM， F为CD的

15、中点，FMCE. AB平面ACD，DE平面ACD，DEAB. 又ABDEME， 四边形ABEM为平行四边形，则AMBE. FM.AM平面BCE，CE.BE平面BCE， FM平面BCE，AM平面BCE. 又FMAMM，平面AFM平面BCE. AF平面AFM， AF平面BCE. （2）证明：ACD为等边三角形，F为CD的中点， AFCD. DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF. 又CDDED，故AF平面CDE. BGAF，BG平面CDE. BG平面BCE， 平面BCE平面CDE. (3)在平面CDE内，过F作FHCE于H，连接BH， 平面BCE平面CDE，FH平面BCE. FBH为BF和平面BCE所成的角. 设ADDE2AB2a，则FHCFsin45a， BF2a， 在RtFHB中，sinFBH. 直线BF和平面BCE所成角的正弦值为. 方法二： 设ADDE2AB2a，建立如图所示的坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，