---证明平行与垂直

1、-证明平行与垂直一.选择题1.若直线l1，l2的方向向量分别为a(2,4，4)，b(6,9,6)，则( ). A.l1l2 B.l1l2 C.l1与l2相交但不垂直 D.以上均不正确 答案 B2.直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( )A.s1(1,1,2)，s2(2，1,0)B.s1(0,1，1)，s2(2,0,0)C.s1(1,1,1)，s2(2,2，2)D.s1(1，1,1)，s2(2,2，2)解析 两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项B中的两个向量垂直. 答案 B3.已知a，b满足ab，则等于( ). A. B. C. D. 解析 由，可知. 答案 B4.

2、若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是 ( ). A.a(1,0,0)，n(2,0,0)B.a(1,3,5)，n(1,0,1)C.a(0,2,1)，n(1,0，1)D.a(1，1,3)，n(0,3,1)解析 若l，则an0. 而A中an2， B中an156， C中an1，只有D选项中an330. 答案 D5.若平面，平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是( )A.n1(1,2,3)，n2(3,2,1)B.n1(1,2,2)，n2(2,2,1)C.n1(1,1,1)，n2(2,2,1)D.n1(1,1,1)，n2(2，2，2)解析 两个平面平行时其法向量也平行，检验知正确选项为D

3、. 答案 D6.已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数等于( ). A. B. C. D. 解析 由题意得ctab (2t，t4，3t2)， . 答案 D7.已知平面内有一个点A(2，1,2)，的一个法向量为n(3,1,2)，则下列点P中，在平面内的是( )A.(1，1,1)B. C. D. 解析 对于选项A，(1,0,1)，则n(1,0,1)(3,1,2)50，故排除A；对于选项B，则n(3,1,2)0，验证可知C.D均不满足n0. 答案 B 二.填空题8.两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则l1与l

4、2的位置关系是_. 解析 v22v1，v1v2. 答案 平行9.平面的一个法向量n(0,1，1)，如果直线l平面，则直线l的单位方向向量是s_. 解析 直线l的方向向量平行于平面的法向量，故直线l的单位方向向量是 s. 答案 10.已知点A，B，C平面，点P，则0，且0是 0的_. 解析 由，得()0， 即0，亦即0， 反之，若0， 则()0，未必等于0. 答案 充分不必要条件11.已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是_. 解析 设平面ABC的法向量n(x，y，z). 则即 令z1，得n， 平面ABC的单位法向量为. 答案 12.已知(1,5，2)，(3,1，z)，若

5、，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为_. 解析 由题知：，. 所以即 解得x，y，z4. 答案 ，4 三.解答题13.已知：a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，求： a，b，c. 解析 因为ab，所以， 解得x2，y4， 这时a(2,4,1)，b(2，4，1). 又因为bc， 所以bc0，即68z0， 解得z2，于是c(3，2,2).14.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M.N分别是C1C.B1C1的中点.求证：MN平面A1BD. 证明 法一 如图所示，以D为原点，DA.DC.DD1所在直线分别为x轴.y轴.z轴建立空间直角坐

6、标系，设正方体的棱长为1， 则M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)， 于是， 设平面A1BD的法向量是n(x，y，z). 则n0，且n0，得 取x1，得y1，z1.n(1，1，1). 又n(1，1，1)0， n，又MN平面A1BD， MN平面A1BD. 法二 ()， ，又MN与DA1不共线，MNDA1， 又MN平面A1BD，A1D平面A1BD， MN平面A1BD.15.如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AEFC11.(1)求证：E，B，F，D1四点共面； （2）若点G在BC上，BG，点M在BB1上，GMBF，垂足为

7、H，求证：EM面BCC1B1.证明 (1)建立如图所示的坐标系，则(3,0,1)，(0,3,2)，(3,3,3). 所以， 故.共面. 又它们有公共点B， 所以E.B.F.D1四点共面. （2）如图，设M(0,0，z)， 则，而(0,3,2)， 由题设得3z20，得z1.因为M(0,0,1)，E(3,0,1)，所以(3,0,0). 又(0,0,3)，(0,3,0)， 所以0，0， 从而MEBB1，MEBC. 又BB1BCB， 故ME平面BCC1B1.16.如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点. 求证：(1)AM平面BDE； （2）AM平面BDF. 证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系， 设ACBDN，连接NE. 则点N.E的坐标分别为 .(0,0,1). . 又点A.M的坐标分别是(，0). . 且