向量空间、本征值和相似变换.ppt

1、4.5 向量空间,向量空间的定义 设V为n维向量的集合 如果集合V非空 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭 那么就称集合V为向量空间 所谓封闭 是指在集合V中可以进行加法及乘数两种运算 具体地说就是 若aV bV 则abV 若aV R 则aV ,上页,下页,铃,结束,返回,首页,向量空间基、维数 设V为向量空间 如果r个向量a1 a2 arV 且满足 (1) a1 a2 ar线性无关 (2)V中任一向量都可由a1 a2 ar线性表示 那么 向量组a1 a2 ar就称为向量空间V的一个基 r称为向量空间V的维数 并称V为r维向量空间,如果向量空间V没有基 那么V的维数为0 0维向量空间只含一个向

2、量0 若把向量空间V看作向量组 则向量空间V的基就是向量组的最大无关组 向量空间V的维数就是向量组的秩,下页,向量的维数和向量空间的维数,向量的坐标 如果在向量空间V中取定一个基a1 a2 ar 那么V中任一向量x可唯一地表示为 x1a12a2 rar 数组1 2 r称为向量x在基a1 a2 ar中的坐标 在向量空间Rn中以单位坐标向量组e1 e2 en为基 则以向量x(x1 x2 xn)T可表示为 xx1e1x2e2 xnen 可见向量在基e1 e2 en中的坐标就是该向量的分量 向量组e1 e2 en叫做Rn中的自然基,下页,从旧基到新基的过渡矩阵，以及坐标变换,5.1 向量的内积、长度及

3、正交性,上页,下页,铃,结束,返回,首页,向量的内积 设有n维向量x(x1 x2 xn)T y(y1 y2 yn)T 令 x yx1y1x2y2 xnyn x y称为向量x与y的内积,性质： (1)x yy x (2)x yx y (3)xy zx zy z (4)当x0时 x x0 当x0时 x x0 (5)x y2x xy y 施瓦茨不等式,向量的长度,向量的长度的性质 设x y为n维向量 为实数 则 (1)非负性 当x0时 |x|0 当x0时 |x|0 (2)齐次性 |x|x| (3)三角不等式 |xy|x|y|,下页,向量间的夹角,当x y0时 称向量x与y正交 显然 若x0 则x与任

4、何向量都正交,定理1 若n维向量a1 a2 ar是一组两两正交的非零向量 则a1 a2 ar线性无关,下页,规范正交基 设n维向量e1 e2 er是向量空间V(VRn)的一个基 如果e1 e2 er两两正交 且都是单位向量 则称e1 e2 er是V的一个规范正交基,向量在规范正交基中的坐标 若e1 e2 er是V的一个规范正交基 那么V中任一向量a应能由e1 e2 er线性表示 并且 aa e1e1a e2e2 a erer 事实上 设a1e12e2 rer 则,eiTaieiTeii,即ieiTa a ei,下页,施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组,容易验证

5、b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar等价,把b1 b2 br单位化 即得V的一个规范正交基,下页,正交阵 如果n阶矩阵A满足ATAE(即A1AT) 那么称A为正交矩阵 简称正交阵,方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单位向量 且两两正交,n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn的一个规范正交基,下页,正交矩阵的性质 (1)若A为正交阵 则A1AT也是正交阵 且|A|1 (2)若A和B都是正交阵 则AB也正交阵,正交变换 若P为正交矩阵 则线性变换yPx称为正交变换,设yPx为正交变换 则有,这说明 经正交变换线段的长度保持不变(从而三角形的形状保持

6、不变) 这是正交变换的优良特性,结束,5.2 方阵的特征值与特征向量,上页,下页,铃,结束,返回,首页,理论力学中，振动问题和稳定性问题 常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题 在量子力学中，特征值和特征向量有着特殊的含义。数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题 也都要用到特征值的理论,特征值与特征向量 设A是n阶矩阵 如果数和n维非零向量x使关系式 Axx 成立 那么 这样的数称为方阵A的特征值 非零向量x称为A 的对应于特征值的特征向量,特征多项式与特征方程 设A为n阶方阵 则称的n次多项式f()|AE|为方阵A的特征多项式 称|AE|0为方阵A的特征方程,特征值的性质 设n阶矩

7、阵A(aij)的特征值为1 2 n 则 (1)12 na11a22 ann (2)12 n|A|,下页,特征值和特征向量的求取步骤： 方程|AE|0的根就是矩阵A的特征值 方程(AE)x0的非零解就是A的对应于特征值的特征向量,得基础解系(1 1)T,得基础解系(1 1)T,例1 求矩阵 的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,所以A的特征值为12 24,对于特征值12 解方程(A2E)x0,p1(1 1)T是矩阵A的对应于特征值12的特征向量,对于特征值24 解方程(A4E)x0,p2(1 1)T是矩阵A的对应于特征值24的特征向量,下页,例6 设1和2是矩阵A的两个不同的特征值 对应的特

8、征向量依次 为p1和p2 证明p1 p2不是A的特征向量,结束,定理2 设1 2 m是方阵A的m个不同特征值 p1 p2 pm依次是与之对应的特征向量 则p1 p2 pm线性无关,5.3 相似矩阵,上页,下页,铃,结束,返回,补充例题,首页,相似矩阵与相似变换 设A B都是n阶矩阵 若有可逆矩阵P 使 P1APB 则称B是A的相似矩阵 或说矩阵A与B相似 对A进行运算P1AP称为对A进行相似变换 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵,定理3 若n阶矩阵A与B相似 则A与B的特征多项式相同 从而A与B的特征值也相同,因此 |BE|P1APE| |P1APP1(E)P| |P1(AE)P| |P

9、1|AE|P| |AE| 即A与B有相同的特征多项式,证明,因为A与B相似 所以有可逆矩阵P 使P1APB,下页,定理3 若n阶矩阵A与B相似 则A与B的特征多项式相同 从而A与B的特征值也相同,推论 若n阶矩阵A与对角矩阵diag(1 2 n)相似 则1 2 n即是A的n个特征值,因为1 2 n是的n个特征值 由定理1知1 2 n也是A的n个特征值,证明,下页,相似矩阵的作用 若APBP1 则AkPBkP1 A的多项式 (A)P(B)P1 特别 或有可逆矩阵P使P1AP为对角阵 则 AkPkP1 (A)P()P1 其中 kdiag(1k 2k nk) ()diag(1) (2) (n),定理

10、3 若n阶矩阵A与B相似 则A与B的特征多项式相同 从而A与B的特征值也相同,推论 若n阶矩阵A与对角矩阵diag(1 2 n)相似 则1 2 n即是A的n个特征值,下页,矩阵的对角化 一个n阶矩阵A能否对角化？如何寻求相似变换矩阵P 使P1AP为对角阵？,设P1AP 其中P(p1 p2 pn) diag(1 2 n) 则APP 即 A(p1 p2 pn)(p1 p2 pn)diag(1 2 n) (1p1 2p2 n pn),于是有 Apii pi (i1 2 n) 可见i是A的特征值 而P的列向量pi就是A的对应于特征值i的特征向量 反之 由上节知A恰好有n个n个线性无关的特征向量 这n个

11、特征向量即可构成矩阵P 使APP,下页,定理4 n阶矩阵A与对角阵相似(即A能对角化)的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量 推论 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等 则A与对角阵相似,矩阵的对角化 一个n阶矩阵A能否对角化？如何寻求相似变换矩阵P 使P1AP为对角阵？,下页,例1 设 问x为何值时 矩阵A能对角化？,解,得11 231 矩阵A可对角化的充分必要条件是对应重根231 有2个线性无关的特征向量 即方程(AE)x0有2个线性无关的解 亦即系数矩阵AE的秩R(AE)1,所以当x1时 R(AE)1 此时矩阵A能对角化,因为,结束,5.4 对称矩阵的对角化,上页,下页,铃,结束,返回

12、,首页,一个n阶方阵可以对角化的充分必要条件是具有n个线性无关的特征向量 而并非所有n阶方阵都能对角化 但实对称矩阵都是可以对角化的,定理1 对称阵的特征值为实数,设复数为对称阵A的特征值 复向量x为对应的特征向量 即Axx x0,证明,显然有,于是有,两式相减 得,但因x0 所以,下页,定理1 对称阵的特征值为实数,显然 当特征值i为实数时 齐次线性方程组 (AiE)x0 是实系数方程组 由|AiE|0知必有实的基础解系 所以对应的特征向量可以取实向量,下页,定理1 对称阵的特征值为实数,定理2 设1 2是对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特征向量 若12是 则p1与p2正交,证明,已

13、知Ap11p1 Ap22p2 12,因为A对称 故,p1TA,p1TAT,(Ap1)T,(1p1)T,1p1T,于是 1p1Tp2,p1TAp2,p1T(2p2),2p1Tp2,即 (12)p1Tp20,但12,即p1与p2正交,故p1Tp20,下页,定理1 对称阵的特征值为实数,定理2 设1 2是对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特征向量 若12是 则p1与p2正交,定理3 设A为n阶对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP 其中是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵,推论 设A为n阶对称阵 是A的特征方程的k重根 则矩阵AE的秩R(AE)nk 从而对应特征值恰有k个线性无关的特征向量

14、,下页,矩阵对角化的步骤 (1)求出A的全部互不相等的特征值1 2 s 它们的重数依次为k1 k2 ks(k1k2 ksn) (2)对每个ki重特征值i 求方程(AE)x0的基础解系 得ki个线性无关的特征向量 再把它们正交化、单位化 得ki个两两正交的单位特征向量 因k1k2 ksn 故总共可得n个两两正交的单位特征向量 (3)把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P 便有P1APPTAP 注意中对角元的排列次序应与P中列向量的排列次序相对应,下页,例1 设 求正交阵 P 使P1AP为对角阵,解,由|AE|(1)2(2),将1单位化 得,2(1 1 0)T 3(1 0 1)T 将2 3正交化、单位化得,得特征值12 231,得基础解系1(1 1 1)T,对应12 解方程(A2E)x0,对应231 解方程 (AE)x0,得基础解系,并且P1APdiag(2 1 1),于是P(p1 p2 p3)为正交阵,下页,提示,例2 设 求An,因为A对称 故A可对角化 即有可逆向量P及对角阵,解,从而AnPnP1,于是APP1,使P1AP,因为|AE|(1)(3),对应11 解方程(AE)x0,对应13 解方程(A3E)x0,