直线的倾斜角和斜

1、. 直线的倾斜角和斜率 西安高级中学 学数 高 一 侠 李 秋 . . 普通高中课程标准实验教科书（北京师范大学出版社） 数学2（必修） 第二章解析几何初步 1.1直线的倾斜角和斜率（教学设计 ） 西安高级中学李秋侠 ?yx,一、设计思想：的对应，这正是解析几何的研究方法，学生在初中阶段学习过函数的图像，了解在坐标系中点与实数对而直线是解析几何中最基本最简单的研究对象，它既能为进一步的学习做好知识上的准备，又能为后面灵活运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础。所以本节课在设计时特别重视知识的形成，过程的感悟，概念的辨析，引导学生注重倾斜角、斜率的相互关系，掌握过两已知点的直线的斜率公式，并

2、能根据直线的斜率求倾斜角，利用斜率判定三点共线；充分利用多媒体形象展示，使学生全面地、多角度、多层次地认知新概念，特别是利用几何画板的动态演示，透彻理解倾斜角、斜率的概念、取值范围、及变化规律，强化“数”与“形”的结合与转化；另外斜率公式的推导采取逐步递进，发展到用直线上的两点的坐标表示斜率，体现新课标的递进、螺旋式认知理念；通过图片展示使学生了解解析几何及其在生活科学等方面的应用，激发学生的学习热情，引导学生树立远大理想，崇尚科学。在引导学生用倾斜角的正切值表示直线的斜率时，由于学生毫无三角函数基础，只要求给出会用即可，不能用知识的联系性、思维的连贯性的传统理念，去增加补充三角函数知识，否则

3、就与新课程理念相背离 了。三维目标 二1.通过具体图形理解确定直线的几何要素，理解直线倾斜角、斜率的概念，感受直线的方向与倾斜角 及斜率之间的对应关系。掌握过两点的直线斜率的计算公式，初步感受解析几何的本质，用代数的 方法解决几何的问题，在教学中培养学生数形结合的数学思想。 2.培养和提高学生联系、对应、转化等辨证思维能力，形成严谨的学习态度。 3.营造轻松、和谐的学习氛围，培养学生的探究能力、合作意识及语言表述能力。 三、内容和内容分析 本课是北师大版数学必修2第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何第一节课, 主要知识点是直线倾斜角和斜率，它是解析几何的最基本的、也是重要的概念之

4、一，也是刻画直线倾斜程度的几何要素，是用坐标法研究几何图形的解析方法的初次体现。通过本节课对直线倾斜角与斜率的研究能够使学生初步感受到解析几何的本质，步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。因而本节课的数学思想和方法尤显重要 四教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，用代数的方法刻画直线斜率的过程及过两点的直线的斜率公式； 教学难点：斜率概念的理解和斜率公式的推导。 教学方法：通过实例创设教学环境，让学生感悟到知识的生成。 五学情分析 初中学生已在平面坐标系中对一次函数借助几何图形研究了性质，图形非常熟悉。学生对三角函数的认识相对浅得多，对斜率用倾斜角的正切值表示困难较大，但也要求学生掌握特殊角度

5、正切值。 六现代信息技术使用 为了有效实现教学目标，考虑到学生的知识水平和理解能力，借助计算机工具和现实生活中的相关实物图片，从激励学生探究入手，讲练结合，直观演示能使教学更富趣味性和生动性。 1.利用图片介绍解析几何。 2.幻灯展示设问问题、例题、引入中的课件（一，二），利用几何画板演示倾斜角的大小与直线斜率的关系； 3. 幻灯展示课堂小结、课后作业及探究。 4.新知识学习过程中的探究设问： 七导学流程 1.利用图片介绍解析几何。 2.幻灯展示设问问题、例题、引入中的课件（一，二），利用几何画板演示倾斜角的大小与直线斜率的关系； 3. 利用课件演示，引出直线斜率公式 . . 4.新知应用 5

6、.知识延伸 6.幻灯展示课堂小结、课后作业及探究。 八.新知识学习过程中的探究设问： 确定一条直线的位置需要什么条件？ 用什么量描述直线的倾斜程度呢？ 倾斜角概念中的要点有哪些？ 0000?大于1800?90?180? 倾斜角的取值范围？能为 任何直线都有倾斜角吗？唯一吗？ 除了倾斜角还有什么能表示直线的“倾斜程度”？ 任何直线都有斜率吗？?xtan 轴垂直的直线的斜率除了用外，用直线上的两点的坐标怎样表示呢？不与y?y 应注意什么？用斜率公式求直线的斜率12?k x?x12三点共线的实质是什么? 九教学过程设计 教学环 节利用 几何板，演示平直角坐标系的不同位置教师活动 有关，直线的倾斜由（

7、课件二）可看出：直线的方向与直线的倾斜程度轴相交的直线，把这轴所成的角度程度和直线与有关，对于任意一条与xx学生活动读教材，明确倾斜 导 入 本 章 内 容 导在初中学习一次函数、二次函数时，我们建立了坐标系，使平面内的点和实数对，抛物线）初步学会用代数方法描述几何问题（直线、(x,y)建立起了一一对应的关系。把几何问题转化成了代数问题并研究它的性质。用这种方法研究几何学，通常就叫做 解析几何。高中主要学习平面解析几何。解析法。从而形成了数学的一个分支-椭圆、（圆、直线及直线的有关性质外，主要研究圆锥曲线平面解析几何除了研究抛物线、双曲线）的有关性质。它不仅是高中数学的重要内容之一，在生产或生

8、活中 也被广泛应用。如行星运动轨迹。比如探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。 在科技迅猛发展的今天，有多少发明创造有待我们去完成？！ 今天我们就开始进入平面解析几何这个新领域。研究非常重要的，又非常基础的直线的有关概念-直线的倾斜角和斜率。 ?0aax?b?y?，大家知道它的图像是一条直线。 在初中学习了一次函数一确定一条直线位置的几何要素： 问：观察所给直线，如何确定直线的位置呢？ 答：“两点定一线”。 问：除此之外还可以用什么来确定呢？ 学生思考. y?axa平移而来的一系列为已知常数，为变化值，则直线可视为由若b 平行直线，直线的方向是相

9、同的；（课件一）个角的顶点放在交点处，规定角的方向为逆时针，即可产生一个能够描述 直线倾斜程度的角叫倾斜角。 学生片，了解解析几何的起源以 学生片，了解平面解析几何研究的内容和重要性。 学生片，感悟生活中的数学美。 激发学生求知欲，培养学生爱科度。 义。 技术支持图 利powerpoin图放图片 图 利powerpoin态演示，教师解，引导学发现生活中美妙曲线。 . . 引导学生在 ?的一系列直线，为已知常数，为变化值，则直线可视为过定点若b0,ab直角坐标系中 研究直线。探 直线的方向是变化的； 究确定直线位 y 要的几个置 素。Ox 得察学生观 出：直线的倾斜程度与斜线 轴所成的和x 有关

10、角度 由上述情形可看出：确定一条直线的位置还有一个方法： 一个点和一个方向； 二倾斜角 入直线。 ）按，把的直线轴（正方向1.倾斜角的定义：对于任意一条与轴相交xxl 本 时所成的角，叫方向绕着交点逆时针旋转到和直线重合l 节00?l ，则作直线。记为的倾斜角；180?0? 概解理准确 内 念，发现数学0l0 特殊地：当直线；时，规定轴平行或重合直线的倾斜角为与xl 量。 容 00?180?0 2. ；倾斜角的取值范围：培养学生分类 讨论的能力 三直线的斜率： ，除此之外生活中，还可以用倾斜程度直线的倾斜角可以刻画直线的问： 什么来刻画直线的“倾斜程度”呢？ 教师通过图例引导： 还可以用“坡度

11、”来刻 画道路、楼梯的“倾斜 直 程度”dd 线 单位1单位1议互生学相 论，探讨。 的 倾 斜培养学生研 . . 角 概念 引 出 直 线 的斜生 率 斜 率 铅直高度 =坡度水平长度，相当于在水平方向移动一个单位，在铅直方向上升或下降的数值； d 类似地定义可以得到直线的斜率的概念，不妨先设直线过原点，00?时，横坐标增加一个单位，纵坐标从1）当O到P时，当点从（90?0?; ，称为这条直线的斜率0增加到kkCBQPCB ,直线的斜率也可用来计算。k?BAC?POQ:?,QACOQAC ：公式1?tan?k由于三角函数的知识还不到位，此公式暂属了解阶段，但也应熟记特殊 角的正切值：00?时

12、，横坐标增加一个单位，纵坐标到P时，当点从O（2）当180?90?; ，称为这条直线的斜率从0减少了kk?0k?0?90?; 3（）当时，这条直线的斜率不存在 问：若直线不过原点怎么办呢？这两答：若直线不过原点，则总可以过原点做一条与此直线平行的直线，斜率即可用过原点的这条直线的斜率来表示，直线的倾斜角是相等的 方法同上； yyBy AP(1,K)CP(1,K)?A(1,0)O ?OOXA(1,0)XQ(1,0)XP(1,-K) 0?0?0; 可以看出：当时，直线的斜率是 引导学生讨论得出：过原点的直线的斜率可以用倾斜角的正切值来表 示 由于三角函数的知识还不到位，这种情况下的斜率直接给出，有

13、待以后解决。 归纳能力展示道路梯的图片察倾斜程纳，提炼的能力 . . 公 00? 倾斜角越大，直线的斜率就越大；时，直线的斜率是正的当; 900? 式 0? 当时，直线的斜率不存在；90? 一 得引导学生 00?直线的斜率就越当倾斜角越大，直线的斜率是负的; 时，18090?出：斜率的正 负及大小与倾 大；斜角的关系， 培养学生分类 讨论能力。 问：用倾斜角的正切值可以表示直线的斜率，用直线上点的坐标能表示斜 率吗？ k就是直线的斜率，任取异）的纵坐标观察：过原点的直线上的点（1，k ?其纵坐标与横，则其斜率可以用于原点的点yxP, y y 坐标之比表示。P(2,3) x O X 问：看下图，

14、直线的斜率是多少呢？ 3 答：直线的斜率是； 2学生讨论得出几何 画板结论：过原点 问：直线不过原点时，斜率是否还能用直线上点的坐标表示呢？示，观察斜的直线的斜率 的正负及大可以用其上一 与倾斜角的点的纵坐标与 系 横坐标之比表 四斜率公式 示。 点在直两上任取线l培养数形结思?率斜yx,P,Px,y ，设 212121 想倾与角斜 y?x,?yyx,?xx?x? ，关的112221 系 yy?y? ? 则：12x?k?x讨论得出任意21xx?x12直线的斜率可 以用其上两点 的坐标表示。 问：这个公式是不是任何时候都成立呢？ yy? 12?kx?x12 问：任何直线都有斜率吗？ 思考这个公式

15、 问：公式的特点有哪些成立的条件， 分析不成立的直线位置。培 xxx?x? 此时直线的斜率不存在。时公式才成立，1. 时不能用此公式，2112养严谨的数学 思维。 . . 时，直线与轴垂直，斜率不存在。2. 当x?xx21 3.是直线上的任意两点；PP,21 公式中的分子分母的下标应是一致的；3. P,P 斜率与的顺序无关；421 平行时，公式依然成立，此时当直线与；5.0y?y,k?x 21 五应用示例： 口答。熟记特 ：已知直线的倾斜角，求斜率。例1切正殊角的 值。 00000?90?45;(4);(5)(1)?0?;(2)?3060;(3)? 3 00;30?tan00;(2)?tan

16、）解：（13 不存在； 00090tan（5）tantan（3）451;?（4）603;? 斜 ? ; ）3（的是 1）下图中能表示直线倾斜角例2（板演：推到 率 率公式，分 公成立条件， 示不成立的 式 的位置特征 学生作笔记 二 考察学生新知 ：求过已知两点的直线斜率例32)3,5),?B(4,?AQP(1)(2,3),(6,5).(2)(识掌握能力及 确公式正的 性。1?532 （解：1；的斜率为：）直线PQ ?k2426? 7?2?5? ）直线2（；的斜率为AB1?k? ?73?4 . . 例4.在平面直角坐标系中画出经过原点且斜率为的直线。 考察学生应用 3，?，?1，2，31知识的

17、灵活 性。 ?，然后分别与原点连成直线即解：只须找出点3?1?113，112，11 可。 y ox 0?l,llll，30? 垂直，求的斜率。直线与5.例直线的倾斜角为121121 指导学生积极研究，互相合000l,30?12090 的倾斜角为解：如图：老师板演， 2作，培养积极生口述。 的学习热情好 探究能力。3l,l 的斜率分别为：3?,21 3知新 应用 学生板演 . . 知 识目标检 测 力能标目 检测 ?的倾斜角MN 时，直线，当例6.已知点2,12m?3,mMm,N?m时，MN的倾斜角为直角；当 为锐角；当 时，直线?m?m MN的倾斜角为钝角；直线 与解：当即时，直线MN轴平行，

18、倾斜角为直角；y5m2?3?m?2mm?m11 当即时，?k5?m2m?3?2?m5m?3?m?2?m21?5?m时，直或时，直线MN若即的倾斜角为锐角；1?m?m?k?05 线MN的倾斜角为钝角；?aA,a,2C,B?5,14,2 7.已知三点的值。在同一条直线上，求例a1a?2?1272k?a?k 三点共线，解：或?aCB,QA,BCAB5?4a?5?2 六知识小结： 一本节课所学基本知识点有： 1.确定直线的要素：由两点或一点和方向确定。 2.直线的倾斜角和倾斜角的取值范围； 3.直线的斜率的概念，求斜率的三种途径； 截直线所得的纵坐标；1)用1?x?000? 2）；90?1800,?k

19、?tany?y12)?x(k?x 3）公式 21xx?12 二感受到的数学思想与数学方法： 数形结合 三情感态度 善于发现，用于研究和探讨。热爱生活，y 七作业 （分组讨论）1.课后探究：M(3,1)Q(6,1)P(0,1)?斜线直的的l经过两点1）O0,6,1B,2?3,Aaa?xA(3,-2)独立思考，知识拓展、 知识延伸，考察学生综合能 力。巩固感受数学内涵 . . 率和倾斜角的变化。 ；2）2P63 2.书面作业：P习题2-1A组1，2，3，4； 7776?练习：1，3，4，5； P63 十.课后反思： 本节课设计的教学目标在同学们的配合下完成的很好。这节课在以下几个方面比较成功： 1