简单数学建模00例

1、实用文档 “学”以致用 -简单数学建模应用问题100例 数学教学过程中学习了一个数学公式后，需要做大量的应用题，通过训练来加深理解所学公式。但是在生活中又有多少实际问题是可以直接套用公式的呢？理想状态下的公式直接运用，在生产及生活中的实例是少之又少。为此学生总感到学了数学没有什么实际用处，所以对学习数学少有兴趣。数学建模的引入对培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径，让中职学生从中体会到数学是来源于生活并应用于生活的. 数学建模是一种思维方式，它是一个动态的过程，通过此过程可以将一个实际的问题，经过模型准备、模型假设、模型构成、模型解析、模型检验与应用等五个具体步骤，

2、转变为可以用数学方法（公式）来解决的，在理想状态下的数学问题，上述的整个流程统称为数学建模 如果想解决某个实际问题（也许它和数学没有直接的关系），可以按下面流程对问题进行数学建模。 一模型准备 先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清要建模的问题属于哪一类学科的问题，可能需要用到哪些知识，然后学习或复习有关的知识，为接下来的数学建模做准备.由于人们所掌握的专业知识是有限的，而实际问题往往是多样和复杂的，模型准备对做好数学建模问题是非常重要的. 二模型假设 有了模型准备的基础，要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必要合理的简化和假设.明确了建模目的又掌握了相关资料，再去除一些次要因素.以主要

3、矛盾为主来对该实际问题进行适当的简化并提出一些合理的假设。模型假设不太可能一蹴而就，可以在模型的不断修改中得到逐步完善. 三模型构成 在模型假设的基础上，选择适当的数学工具并根据已知的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构（如数学公式、定理、算法等）.做模型构 标准文案实用文档 成时可以使用各种各样的数学理论和方法，但要注意的是在保证精度的条件下尽量用简单的数学方法是建模时要遵循的一个原则. 四模型解析 在模型构成中建立的数学模型可以采用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明等各种传统的和现代的数学方法对其进行求解，其中有些可以借助于计算机软件来做这些工作。 五模型检验与应用 把

4、模型解析得到的结果与实际情况对比，以检验其合理和有效性，检验后获取的正确模型对研究的实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析、解释，以供决策者参考称为. 不难发现，在上述的五个步骤中，关键的是第三步“模型构成”由数字、字母或其它数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。所以说模型构成是数学建模的核心，它和数学的关系最密切。所得出的数学公式、图形或算法称之为数学模型（即解决实际问题的数学描述）。通常所说的数学建模实际上就是：寻找有用的数学模型的过程 为了避免作业书写中不必要的繁琐，通常用“分析”，“假设”，“模型”，“解析”，“检验”来表示数学建模的五个不同步骤，虽然每题不一定

5、面面俱到，但假设，模型，解析三个步骤要求明确 标准文案实用文档 第一关：接触数学建模 标准文案 实用文档 张，从中任取 1 】一副扑克牌有54【 多少张，可以保证一定有5张牌的花色 是一样的？ 52张牌，其中4种分析 除去大、小鬼还有 13张.运气最好的情况下所取花色各 的5张牌都是同一花色的，哪运气不 张牌的花色是一样的呢？佳时至少要取多少张牌，才能保证一定有5N 5才能保证一定有张牌的花色是一样的假设 假定至少要取.张， 逆向地思维模型 张是18张，再加大、小鬼2张，共取解析 在运气最不好的情况下，每种花色各4 保证一定没有5张牌的花色一样的最大可能。. 张就所以 191?4?2?N?4是

6、一样的可以保证一定有5张牌的花色 逆向地思维，可以使解题思路清晰、便捷.检验 在很多情况下采用 练习题”共会出现300进行编号，问所有的编号中“1300 公园里准备对棵珍稀树木依次从1 的几次？ 标准文案 实用文档5】一只猫发现离它【210步远的前方有一只老鼠在奔跑，猫便紧追。猫的步子大，它跑 步。步的路程，老鼠要跑9步。但是老鼠的动作频率快，猫跑2步的时间，老鼠能跑3 请问：按照这种速度，猫能追得上老鼠吗？如果能，它要跑多少步才能追到。 x 此题两问可归结为一个问题：假定猫跑步就能追上老鼠 假设 模型 猫与老鼠之间频率的最小公倍数 63?3?92?3?. 步步时，猫跑了解析 由频率关系可知，

7、老鼠跑 步是追上老鼠的路程根据路程关系知，猫跑6步其中有1x0?10 可得本题的数学模型为 660x? 解得（步） .60步才能追得上老鼠 检验 由此可见，按照现有速度，猫要跑 练习题2元，不合格一个扣5现有玩具模型20个，交给小黄加工，规定加工合格一个可得 问小黄在加工玩具模型中不合格的共有几.56元.元，未完成的不得不扣最后小黄共得到 个？ 标准文案实用文档 【3】在小傅家门口有一个十字型的交通路口（如图所示），小傅就想了，警察叔叔需要指挥多少种情况的汽车运行线路？ . 此问题需要分是否可以原路调头的情况来讨论分析 1）每条线路都有往返双向线假设 （ ；4条路分别为A,B,C,D2（）设

8、为起始，3）以A （ ,D,ACABAA,A 如允许原路调头，则有,C,B,AAAD 如不允许原路调头，则有 分步乘法计数原理模型 第一步：始线路条数；第二步：终线路条数。解析4=16?N=4 如允许原路调头：则（种可能）3=12?=4N 如不允许原路调头，则（种可能）种不同的行车情况；如果如果允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有16检验 12种不同的行车情况。不允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有 练习题问用电脑上购票时需要有多少种不同的火车36共有个大站，铁路京广线（北京广州） 票？ 标准文案 实用文档】杭州市车辆管理所的工作人员为汽车牌照的事弄得焦头烂额，现在有个问题要请教一4【 5

9、B 的汽车牌照共有多少块？下，数字号码为浙A 由条件知，问题为三个 分析中各可以填入多少种数字或字母 2,3)(i=1,niN个 假定按要求的汽车牌照共有种且在第种可能，中共有假设 i. 字符可以填写 10个阿根据汽车牌照的特点，在每个中可以填入10共2,3)1,i36(=n= A,B,C,D，26个英语字母，即拉伯数字和i. 分步乘法计数原理模型 n创N=nn 因为各中填入的字符数符合解析321363636创N=46656 故 5B的汽车牌照共有46656块。不难发现，无论 检验 B数字号码为浙A 和 5在何位置，所得结论不变. 练习题 出租车在开始10千米以内收费10.4元，以后每走1千米

10、，收费1.6元，问走20千米需收 ?多少钱 标准文案 实用文档个，可以有多少种个苹果全部分给小明、小惠、小曼三人，要求每人最少分3【5】把20 不同的分法？. 11个再按不同情况讨论假设 先取9个苹果，平均每人3个，剩下的 排列数公式模型 ： 解析 可以有4,0),(7,3,1),2,1),(7,(11,0,0),(10,1,0),(9,2,0),(9,1,1),(8,3,0),(8, 2),(5,3,3),2,(5,4,2),(6,5,0),(6,4,1),(6,3,2),(5,5,1),(7,小明、小惠、小曼的不同次序，用排列种不同种类，对每一种类再考虑 15nA .数公式即可求解m3，（

11、5,3,3）五类，各类可以有，9,1,1），（7,2,2）（5,5,1）， 对（11,0,0）（. 种次序排法，故共有15种分发法3A 610类，各类可以有（种分发法）种次序排法，故共有60对其余的3 . 所以按要求可以有75种不同的分法检验 练习题一个立方体随意翻动，每次翻动朝上一面的颜色与翻动前都不同，那么这个立方体的 颜色至少有几种？ 标准文案实用文档 【6】有243颗外形一模一样的珠子，其中有一颗稍重一点。用一架没有砝码的天平，至少称几次才能找出这颗珠子来? 分析与假设 将243颗珠子平均分成3份，每份81颗，任取其2份放置在天平两边，若平衡则稍重的一颗在另1份中；若不平衡则稍重的一颗

12、在天平下沉的1份中. 在找出含有稍重珠子的一份中（含81颗），再将其81颗珠子平均分成3份，每份27颗，任取其2份放置在天平两边，若平衡则稍重的一颗在另1份中；若不平衡则稍重的一颗在天平下沉的1份中. 在找出含有稍重珠子的一份中（含27颗），再将其27颗珠子平均分成3份，每份3颗，任取其2份放置在天平两边，若平衡则稍重的一颗在另1份中；若不平衡则稍重的一颗在天平下沉的1份中. 在找出含有稍重珠子的一份中（含1颗），再将其3颗珠子平均分成3份，每份1颗，任取其2颗放置在天平两边，若平衡则另1颗稍重的一颗；若不平衡则稍重的一颗为天平下沉的1颗. 模型 “三分法” 解析 按“分析与假设”所述可知，至

13、少称4次才能找出这颗珠子来. 检验 此题的关键是珠子的颗数243，可以平均分成3份，每份81颗，而81又可以平均分成3份，每份27颗，而27又可以平均分成3份，每份3颗，而3可以平均分成3份，每份1颗，最后找出异样的珠子. 练习题 小敏把100只彩色小灯泡串联起彩灯，用来布置教室，可是其中有只小灯泡坏了，这可急坏了小敏。你能用最速捷的方法很快地找出了那只损坏的小灯泡吗？ 标准文案 实用文档 】【7 水果店进了十筐苹果，每筐 个，共100个，每筐里的苹果重10 量都一样，其中有九筐每个苹果的 斤，另一筐中每个苹果重量都是1 斤，但是外表完全的重量都是0.9 一样，用眼看或用手摸无法分辨。 现在要

14、你用一台普通的大秤一次把 这筐重量轻的找出来。你可以办到么？从这点考虑不妨将十筐苹果进普通的大秤上是有刻度，可以称得具体重量.分析与假设 A4,5,6,7,8,9,10)2,3,1,?i(行标号i 再用所给的 并取与标号对应的苹果数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，共计55个， 55个苹果的总重量大枰称得这斤，由题目条 若此，则总重量应为55个苹果重量均为1斤（理想状态）55jj那么所取苹果数为假定为第框时，0.9件知其中某一框苹果重量均为斤，j. 55斤少两个，大枰称得总重量就要比 模型等差数列的求和个苹果考虑大枰称得总重量与理想状态55 解析利用框数与所取苹果数的对应关系， 的总重

15、量之间的差73斤差两，比55大枰称得总重量为“分析与假设”按所述可解得.若54斤A. 0.9两，即得框号为斤的这框苹果重量为7 练习题要求三个人各自值班日某单位某月112日安排甲、乙、丙三人值夜班，每人值班4.天问丙在自己第一天与最后一天10日值夜班，乙期数字之和相等。已知甲头两天值夜班，9、 值夜班之间，最多有几天不用值夜班？ 标准文案 实用文档千米，已知每人最多可带一个人他们每天向沙漠深处走208】甲、乙两人去沙漠中探险，【（要人最远可深入沙漠多少千米？如果允许将部分食物存放于途中，天的食物和水。其中14 求最后两人返回出发点）食物和水给另一要使其中一位探险者尽可能走得远，另一位须先回，留

16、下 分析与假设 食物和水？.问题是在何处留下位，所以必须分头行动80?4?40，）千米，但回程就没有食物和水了 经过商议让甲走得更远（最远走. 食物和水需要乙在适当的地点留小足够的2份，第份留下11份食物和水，到20千米处吃1第1天乙在10千米处留下3份，第千米处再吃1千米处留下1份食物和水后马上往回返，到20天走到30. 千米回出发点天走20千天走到60千米处吃1份，第3天甲20千米处吃1份，第2天走到401第（到此为止1份到50千米处吃1份，第4天走到65千米处然后往回返，米处吃乙留（此处食物和水是千米处吃1份第甲自带的食物和水已吃完），5天走到30 份，然后回出发点10千米处吃1下的），

17、第6天走到 错位推进法模型 千米处给甲留1030千米和解析 所谓“错位推进法”对于本题来说，关键点为“乙在 位沙漠探险家最多可深入沙 分析与假设食物和水”，根据推知结论其中的1下. 65千米漠千米可以101份，然后回出发点”，感觉似乎还有10检验 从“第6天走到千米处吃 千米呢？考虑一下甲是否还可以再往前推进5. 走，但已经回出发点了 练习题个相邻的花盆中所种的花的品种各种不同的花卉，要求每3在一排10个花盆中种植3 不相同，问共可有多少种不同的种植方法？ 标准文案实用文档 【9】家里有两个容积分别为5升和6升的空水壶.问大明怎样用这两个水壶得到3升的水. 分析 从5升的满水壶倒出2升即可得到

18、3升的水，问题是如何使6升的水壶空出2 升的空间（即得到4升水)，问题是如何使5升的水壶空出1升的空间（即得到4升水），问题是如何使6升的水壶空出1升的空间（即得到5升水），此问题不难解决. 假设 由上分析可以如下操作： 将5升的满水壶的水全部倒出6升的空水壶中，在6升的水壶中得到1升的空间. 用5升水壶取满水，倒满6升水壶中的1升空间，此时的5升水壶空出了1升的空间. 将5升水壶中的4升水倒进6升的空水壶，在6升水壶中的得到2升的空间. 用5升水壶取满水，倒满6升水壶中的2升空间,. 此时在5升的水壶里剩下的就是3升的水了. 模型 逆向推理综合法 解析 按分析及假设即可将问题解决，得到3升的

19、水. 检验 逆向推理综合法是一种非常有用的数学思维方法，用途非常广泛. 练习题 某盐溶液的浓度为20%，加水后溶液的浓度稀释为15%.如果再加同样多的水，问溶液的浓度为多少？ 标准文案实用文档 【10】箱子里放着一箱梨，第一个人拿了梨总数的一半又多半只，第二个人拿了剩下梨的一半又多半只，第三个人拿了第二次剩下的一半又多半只，第四个人3拿了第三次剩下的一半又多半只，第五个人拿了第四次剩下的一半又多半只。这时箱子里的梨正好拿完，而且每人手里的梨都没有半只的，请问箱子里原来有多少只梨? x只梨，则有条件假定箱子里原来有 假设 x1x?1? 第一个人拿梨数：； 222x?111x?1)?(x?第二个人

20、拿梨数： 4222x?1x?111x?1?)?(x 第三个人拿梨数： 24228x?1x?1x?111x?1?)?(x?第四个人拿梨数： 16222481?x1?111x?x1x?1x?(x?)?第五个人拿梨数： 322428162模型 解一元一次方程 11111?)(x?1)?x(?x?31 解方程解析 4281632检验 按题意验证当箱子里原来有31只梨时，题目条件符合. 练习题 去年某种货物的进价为15元/公斤，今年该货物的进口量增加了一半，进口价增加了20%，问今年该货物的进口价是多少？ 标准文案实用文档 第二关：初识数学建模 标准文案实用文档 【11】暑假里，班里共30名学生，其中有

21、姓赵、姓钱、姓孙、姓李、姓周各6位，为了进行社会调查，需要分成15个小组，现要使每个小组的姓都不同，该如何分呢? 分析 题目没有问共有多少种分法，而是问如何分，也就是说只要找出方法即可，如何描述把事情说清楚是关键. 假设 以姓氏赵、钱、孙、李、周分成5组，每组6人，用对应的字符A,B,C,D,E(i?1,2,3,4,5,6)表示. iiiiiA(i?1,2,3,4,5,6)依次放在圆上6等分，把 用一个大圆作为辅助工具，将其iBC,D,E1,2,3,4,5,6)(i?对6的个等弧上，再将个等弧上，依次放在圆上的6iiii作同样的操作.此时大圆上已有30个字符（次序以A,B,C,D,E(i?1,

22、2,3,4,5,6)排列）. iiiii 从圆上任一字符开始，依次两个一组，两个一组，所得15个小组中每个小组的姓都不同. 模型 “等分圆特征的利用”. 解析 根据分析、假设的讨论即得问题的解答. 检验 巧妙利用几何图形，借助其几何特征，使问题的讨论更有条理，这也是一种数学模型. 练习题 100人参加7项活动，要求每人只能参加1项活动，而且每项活动参加的人数都不能相同，问参加人数第四多的活动最多有多少人？ 标准文案实用文档 【12】2001个学生排成一排，从左向右1至2报数，与从右向左1至5报数，其中两种报数时都是偶数的共有多少人 分析 根据题目中条件的周期性，可采用通过局部（10个）结论推广

23、到全体的方法. 假设 不妨取最右端的局部： 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 不难得出，在最右的10个数字中满足条件的只有2个. 模型 数型结合法 2001?1?2?400（人） 解析 10检验 两种报数时多是偶数的共有400人. 练习题 某市将在今年12月举办一个全国招商引资交 4300人。流会议，目前确定参加的人数已经达到50 在安排会场的时候，负责人打算租用一个设置 个座位，往后每排排座位的大剧院，第一排有48 人。估算一下这个大剧院是否可都比

24、前一排多2 用？ 标准文案实用文档 【13】小新开着一艘帆船在河里航行，一阵狂风吹来，把小新的草帽吹落水中，6分钟后小新才发现草帽被风吹走了，于是开船返回去追，试问小新需要几分钟方可追上落水的草帽. 分析 此题按帆船逆水与顺水两种情况讨论 xy米/分设船速为 米/分，水速为 假设 ?,yx6?草帽向前漂的路程为6分钟共向前行驶路程为当船顺水行驶时，船6y6x. ，两者相距?,?6yx草帽向后漂的路程为分钟共向前行驶路程为当船逆水行驶时，船66y6(x?y)?6y?6x. ，两者相距模型 船要追上草帽所需时间=船帽距离/船行速度 6x/x=6（分钟） 船要追上草帽所需时间= 解析检验 由上述推论

25、可知，船往回返到追上草帽所需时间同等于草帽落水到发现草帽落水所化时间，此结论对判断能否打捞草帽十分有用. 练习题 如左图，有正整数1、2、3、416,每一个数在正方形中占有一 5 4 小格,图中已填入若干数字, 使每, 试将其余数字填入正方形的空格处 1 . 一行，每一列，每一条对角线上的4个数字的和都相等5 3 1 2 8 1 4 标准文案 实用文档】14【一蜡烛，同时点燃两根，点完细蜡烛要1小时。现时两根同样长的蜡烛，点完粗蜡烛要3小? 时间后同时熄灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的3倍。问两根蜡烛燃烧了多长时间段yx、l./细蜡烛的燃烧速度分别为小时）（厘米分析及假设 设两根蜡烛额长度为厘米

26、，粗、x?3y?l ；则有r3、rR?R. 时间后同时熄灭，粗、细蜡烛的长度分别为，则蜡烛一段两 点燃根 代数方法，等量关系叠代模型 r3rl?l? 根据条件有：（燃烧时间相同）解析 xy31rl?4. ，即细蜡烛燃烧后的长度是原来长度的 化简为（也即燃烧了） 44 33ll3 44?所以燃烧的时间为 （小时）. 4yl. 为了明确各量之间的相互关系，在必要的地方可以加注检验 练习题4张卡片上，然后打乱卡片，先后随机取出4张，问这100将自然数1分别写在完全相同的100? 张先后取出的卡片上的数字呈增序的几率是多少 标准文案实用文档 【15】一个十位数字为0的三位数，恰好是各数字之和的34倍.

27、现交换个位于百位数字后得到一个新的三位数，求新数是各数字和的几倍？ b0aa0b100b?100a?ab .其值为其值为.假设 三位数可记为；则新三位数可记为模型 代数方法 100a?b?34(a?0?b)?2a?b 解析 由条件100b?a201a?67 所以 a?0?b3a 即新数是各数字和的67倍. 练习题 标准文案实用文档 【16】果农要用绳子捆扎甘蔗，有三种规格的绳子可供选择：长绳子1米，每根可捆扎7根甘蔗；中绳子0.6米，每根可捆扎5根甘蔗；短绳子0.3米，每根可捆扎3根甘蔗.现在有甘蔗46根，问果农共有多少种绳子的取法？其中最节约的是哪一种？ 分析 先求三种绳子各需多少根，根据长、中、短绳子的价值（长度于所捆甘蔗的根数之比），不难发现，用短绳子比较合算. x、y、z) 设所需三种绳子的根数以次为(假设 模型 求不定方程的自然数解 46?5y?3z?xz?4657x?y?3，解析 有条件可得方程 7x46?5y?3z是7的倍数，按要使0有自然数解需分子，7,14,21,28,35,42讨论可得：（0,8,2），（1,6,3