完整word版天一专升本高数知识点

1、第一讲函数、极限、连续 1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。 2、函数的性质，奇偶性、有界性 f(?x)?f(x)，图像关于原点对称。奇函数： f(?x)?f(x)，图像关于y偶函数：轴对称 3、无穷小量、无穷大量、阶的比较 ，是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则 设0lim?高阶的无穷小量。是比，则（1）若 c?lim是同阶无穷小量与（2）若（不为0），则 lim?1特别地，若是等价无穷小量与 ，则 ?lim是低阶无穷小量（3）若与，则 记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于0的本领高。 4、两个重要极限 sinxx?lim?lim1 （1） xsi

2、nx00?x?x?sinsin0?limlim，一定保证拼凑使用方法：拼凑sin后面和分母保持一致 ? ?00?x11? lim1lim(1)?xe?x? ）（2 x?0?xx?使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。 a?0,n?m? b?xP0nlimmn?0,?、 5? XQ?x?mmn?,?xxPQ的最高次幂是m.,的最高次幂是n,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷大的速度快。mnn?mn?mn?m，分子以更快的速度趋向于，分母以更快的速度趋向于无穷大；以相同的比例趋向于无穷大；, 无穷大。 7、左右极限limf(x)?A 左极限：?xx?0

3、limf(x)?A 右极限：?x?x0注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。 8、连续、间断 ?0?y?limx)?f(xlim)f(x? 连续的定义：00?x?00x?limf(x)?f(x) 或0xx?0f(x)?f(x)lim间断：使得连续定义 无法成立的三种情况0x?x0记忆方法：1、右边不存在2、左边不存在3、左右都存在，但不相等 9、间断点类型 limf(x)limf(x)至少有一个不存在（1）、第二类间断点：、 ?xx?x?x00limf(x)limf(x)都存在 2）、第一类间断点：、（?xx?x?x00注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”，左右只要有一个不存在

4、，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”，左右不等是“跳跃” 10、闭区间上连续函数的性质 ?b,a,ba)xff(x)(上必有最大值最小值。（1） 最值定理：如果 上连续，则在在?b,ba,a)(xf(bf(x)?0f?f(a)在（则内至少存在一点，在零点定理：如果上连续，2） 且?)?0f( 使得第三讲中值定理及导数的应用 1、 罗尔定理 ?ba,f(a)?f(by?f(x)，则3）上连续；（2如果函数满足：（1）在闭区间）在开区间（a,b）内可导；（?0(?f)，使得内至少存在一点 在(a,b)记忆方法：脑海里记着一幅图： 2、 拉格朗日定理 ?b,a)x?f(y

5、上连续 满足（如果1）在闭区间（2）在开区间（a,b）内可导； b )(a)?ff(b?)(f 内至少存在一点，使得(a,b)则在b?a 脑海里记着一幅图：?ba,(x)?0f(a,b)xy?f()，那么在：如果函数）推论（*1上连续，在开区间（a,b在闭区间）内可导，且f(x)=C恒为常数。 内记忆方法：只有常量函数在每一点的切线斜率都为0。 ?ba,),b?)x?g(x),x(af()(),(fxgx(a)b,（*上连续，在开区间，那）推论内可导，且2：如果在f(x)?g(x)?c 么 记忆方法：两条曲线在每一点切线斜率都相等 驻点3、 ?0?(x)f)xf( 的点，称为函数满足的驻点。

6、的点，过此点切线为水平线几何意义：切线斜率为0 、极值的概念4f(x)?f(x)f(xx)f(x)f(x)为函数的某邻域内有定义，则称设有如果对于该邻域内的任一点x,，在点000 x称为极大值点。的极大值， 0xf(x)?f(x)f(x)f(x)f(x)为函数的某邻域内有定义，如果对于该邻域内的任一点设x,有，在点则称000 x称为极小值点。 的极小值，0记忆方法：在图像上，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。 5、 拐点的概念 连续曲线上，凸的曲线弧与凹的曲线弧的分界点，称为曲线的拐点。 3x?y在原点即 注是拐点 6、 单调性的判定定理 ?(x)?f0f(xa,b)(a,b)xf()(

7、内单调增加；，则 在在内可导，如果设?(x)?f0f(x)(a,b)内单调减少。 在如果，则?0?xf)(记忆方法：在图像上凡是和右手向上趋势吻合的，是单调增加， ；?0)f?(x在图像上凡是和左手向上趋势吻合的，是单调减少， ；7、 取得极值的必要条件 ?(x)xf?0)xf( 在点可导函数处取得极值的必要条件是008、 取得极值的充分条件 第一充分条件： xx)()xff(x处连续，则在点在的某空心邻域内可导，且设 00?xf(x)0(x)?x?xf)xf(0x?x时，f?(x)如果）,;那么 （1在时，；处取得极大值 0000?x)ff(x)?0x(xx?)f(x0fx?x时，?(x)如

8、果；，那么 ）时， 在（处取得极小值20000?x)xf(x)f(x的两侧，处没有取得极值； 如果在点同号，那么3） 在（00记忆方法：在脑海里只需记三副图，波峰的顶点为极大值，波谷的谷底为极小值。 第二充分条件： ?(xf0)?0xf(x)?)(fx 设函数在点的某邻域内具有一阶、二阶导数，且，000?(x)?0fxf(x)f(x；处取得极大值 ，那么则（1在）如果000?(x)?0xf(x)f)(fx ）如果（2，那么处取得极小值在0009、 凹凸性的判定 ?(x)?0,x?(a,bf)f(x)b)(a,b)f(x)(a,内凹的；，那么曲线内具有二阶导数，（在1）如果设函数在?(x)?0,

9、x?(a,fb)f(x)(a,b)内凸的。在 ，那么（2）如果 图像表现： 凹的表现凸的表现10、 渐近线的概念 f(x)在伸向无穷远处时，能够逐步逼近的直线，称为曲线的渐近线。 曲线limf(x)?Ay?f(x)y?A ,水平渐近线：若则有水平渐近线（1） ?x?limf(x)?y?f(x)xx?x 有垂直渐近线(2)垂直渐近线：若存在点，则，00?x?f(x)?y?ax?bblim?f(x)lim?ax?a,为其斜渐近线。，则 （2） 求斜渐近线：若 x?xx? 必达法则11、 洛?0”、“”，就分子分母分别求导，直至求出极限。 遇到“ ?0?0)xlnf(e)?f(x”、“如果遇到幂指函

10、数，需用”。把函数变成“ ?0第二讲导数与微分 1、 导数的定义 ?0(x)?x)?fx)?lim?y?lim?f(fx( （1）、000?x?0?x?0f(x?h)?f(x)?lim)f?(x00 2（）、 0h0h?f(x)?f(x)?(x)f?lim0）、 （3 0x?xx?x00x后面和分母保持一致，不一致就拼凑。 注：使用时务必保证0?(x)x?fx处切线斜率 在、2 导数几何意义：00?(xf)乘积为1 法线表示垂直于切线，法线斜率与03、 导数的公式，记忆的时候不仅要从左到右记忆，还要从右到左记忆。 4、 求导方法总结 （1）、导数的四则运算法则 （2）、复合函数求导： ?xf?

11、y(x)u)u?(y?f复合而成，则是由 与（3）、隐函数求导 F(x,y)?0 ，然后利用复合函数求导方法。u当成中间变量y，把y，遇到对于 （4）、参数方程求导dy?)(x?t?)dy(t dt?)f?(xy? 确定一可导函数设，则 dx?)(y?t)(dxt? dt (5)、对数求导法 先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导 6）、幂指函数求导（aln)xv(e?a)xy?u( ，利用公式幂指函数)xv()xlnu(v(x)lnu(x?ee?y? 然后利用复合函数求导方法对指数单独求导即可。 第二种方法可使用对数求导法，先对等号两边取对数，再对等号两边分别求导 注：优选选择第二种方法。

12、 高阶导数5、 )xf( 对函数多次求导，直至求出。 微分 6、dx 记忆方法：微分公式本质上就是求导公式，后面加，不需要单独记忆。 、7 可微、可导、连续之间的关系? 可微可导? 可导连续，但连续不一定可导 、 可导与连续的区别。8 脑海里记忆两幅图 ）（2）（12y?xx?y 在既连续又可导。x=0只连续但不可导。在x=0 所以可导比连续的要求更高。 第四讲不定积分 一、 原函数与不定积分 ?(x)?f(x)FF(x)f(x)的一个原函数；为，则 1、 原函数：若f(x)F(x)f(x)f(x)dx?F(x)?C? 的不定积分，记作不定积分： +C的所有原函数叫做2、 二、定积分公式 不

13、记忆方法：求导公式反着记就是不定积分公式 三、不定积分的重要性质?dx)f(x)或df(xdx?x(fx)dx?f()? 1、?c)?dxf(xf(x)? 、2注：求导与求不定积分互为逆运算。 四、 积分方法 1、 基本积分公式 2、 第一换元积分法（凑微分法） 把求导公式反着看就是凑微分的方法，所以不需要单独记忆。 第二换元积分法 、3?22tasin令xa?x?22tx?aasec令x? 三角代换?22tatana令x?x?2222tsect?t?1,1?tsin?costan 三角代换主要使用两个三角公式：vduuv?udv? 分部积分法4、 第五讲定积分 1、定积分定义nb?x)f(x

14、)dx?lim?f(? iia0x?1i?baa,b,)(f(x)xf 在上连续，则如果上一定可积。在理解：既然在闭区间上连续，那么在闭区间上形成的就是一个封闭的曲边梯形，面积存在所以一定可积，因为面积 是常数，所以定积分如果可积也是常数。 、定积分的几何意义2?b)f(x(x)f(x?0f,?bxx?a,dx)f(xba,?轴所围成的曲上连续，且在，） 如果，则表示由x（1abdx)(xf? 。边梯形的面积。S=a?b0?)x)f(f(xdx)(x?fb,a? ，S=。在（2） 如果上连续，且a 、定积分的性质：3bbdxx)?kf(kf(x)dx? （1）aabbbdx(x)fdx(x)d

15、x?gf(x)?g(x)? ）=（2aaabbcdxx)x)dx?g(dxf(x)?f(? ）（3caabaabdx)(dx?xx)dx?0ff(x)b1dx?a(f? ）（4aaabbb)(xx()?gfdxx)dx?g(f(x)? ，则（5）如果aa?b,a)f(x分别是m,M（6）设的min,max,在则 M m ?大长方形面积记忆：小长方形面积 曲边梯形面积（7）积分中值定理 ?b?)xf()ab?)dx?f()(fxb?a,ba,? 在上连续，则至少存在一点，使得如果a记忆：总可以找到一个适当的位置，把凸出来的部分切下，剁成粉末，填平在凹下去的部分使曲边梯形变成一个长方形。 1?b)

16、f(xba,dxf(x)? 为称在上的平均值。 b?aa 积分的计算 、4 （1）、变上限的定积分x?)(xfdt(t)?(x)f?的一个原函数。而且变上限的定积分的自变量只有一个是注：由此可看出来axt 而不是是 ）、牛顿莱布尼兹公式（2?b b)()ff(x)xF(x)ab)?F?F(x)(?F(xf()dxb,a? 设上连续，在的一个原函数，则是aa 由牛顿公式可以看出，求定积分，本质上就是求不定积分， 只不过又多出一步代入积分上下限，所以求定积分也有四种方法。 奇函数、偶函数在对称区间上的定积分5、?a)xf(0(x)?faa,? 1（）、若在上为奇函数，则a?aa)xf(dxx)2f

17、(x)?f(a,?a? （2在）、若上为偶函数，则0?a 注：此方法只适用于对称区间上的定积分。 广义积分6、 无穷积分1） （ 定积分关于面积计算7、 ?bdx)x)?g?S(xf(ba,? 上的定积分。，记忆：面积等于上函数减去下函数在边界面积ad c ?d?dyyy)?)(? 面积S=c记忆方法：把头向右旋转90就是第一副图。 8、 旋转体体积 f(x) 1） y（abx 2?b?xdx?Vx)f()f(x? 曲线轴旋转一周所得旋转体体积：绕xa f(x) 2（）、ab ?b?22xdx)?Vfg(xx? 阴影部分绕绕轴旋转一周所得旋转体体积：xa ）、（3 y d c x 2?d?dy

18、)(V?yy)x(y? 轴旋转一周所得旋转体体积：绕yc(4)、 y d c x ?d?22ydy)?V(y?(y)? 轴旋转一周所得旋转体体积阴影部分绕绕:yc（二）、直线与平面的相关考试内容 一、 二元函数的极限 (x,y)(x,y)(x,yfz?(x,y)无论沿着任点可以除外），如果当点定义：设函数在点某邻域有定义（但0000(x,y)(x,y)zy)x?f(,y)(x,时，时，趋向于都无限接近于唯一确定的常数A，则称当点何途径趋向于0000z?f(x,y)以A为极限，记为 二、 二元函数的连续性 z?f(x,y)(x,y),yy)?f(x(limfx,连续。若在点 ，则称0000)x(

19、,y(x,y)?00z?f(x,y)的不连续点叫函数的间断点，二元函数的间断点可能是一些离散点，也可能是一条或多条曲线。 注：三、 二元函数的偏导数 四、 偏导数求法 由偏导数定义可看出，对哪个变量求偏导就只把哪个变量当成自变量，其它的变量都当成常数看待。 ?z?zdz?dx?dy 微分：五、 全 ?x?y六、 二元函数的连续、偏导、可微之间的关系 二元函数可微，则必连续，可偏导，但反之不一定成立。 若偏导存在且连续，则一定可微。 z?f(x,y)的偏导存在与否，与函数是否连续毫无关系。函数 七、 二元复合函数求偏导 ?(x,v?yu?)(x,y),z?f(u,v),， 设?z?z?u?z?v

20、vz?u?z?z?，则 ?y?u?y?v?yxv?x?u?x?注：有几个中间变量就处理几次，按照复合函数求导处理。 八、 隐函数求偏导 x)yx,z?f(0F(x,y,z)?zz当成中间求导，遇到确定的隐函数为方程，则对等号两边同时对的函数，把 变量。第八讲多元函数积分学知识点 一、 二重积分的概念、性质 n?f(x,y)?f()yf(x,)dxdy?lim,?，D，几何意义：代表由围成的曲顶柱体体积。1、 iii0?d1i?D2、性质： kf(x,y)dxdy?kf(x,y)dxdy? （1）DD?dxdyf(x,y)dxdyg(x,y)dxdyyxg),(fxy?(,)? =2（）+DDD

21、dxdy?D? ）、3（Ddxdy)(x,yfDD?D?dxdyx,y)(fx,y)dxdyf(? +（4）,=21DDD21)(x,yf(x,y)?gdxdyx,y),y)dxdy?g(f(x? (5)若，则DD,)?Mfm?(x,yMD)dxdy?mD?f(x,y? ）若则（6D?D,)?Df(f(x,y)(,)?)dxdyf(x,y? (7)设在区域上连续，则至少存在一点，使DD 计算二、 ?a(x?x?b,(x)?y?)D: （ 1）21?cy)?x?)?yd,(y： D（2） ，21 技巧：“谁”的范围最容易确定就先确定“谁”的范围，然后通过划水平线和 垂直线的方法确定另一个变量的范围 ?rdrd?,?xrcosdxdy,y?rsin （3）极坐标下： 三、 曲线积分 、第一型曲线积分的计算1?b),a?xy?(x L：，则（1）若积分路径为b?2dxx(x)1?()f(dsx,y)f(x,(? =aL?xdy?(y),c?：L2，则 ）若积分路径为（d?2dy(y)1?(yf(,xy)dsf()(