完整数值分析试题库与答案解析

1、 试 卷（一）模 拟一、 3分，共30分）填空题（每小题. 次的1有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 315?2?2设A?0?421xxA= _. ， ，则 .= ? 1 ?2421?141591xyf（差商）)3已知(=的均差fx,x,x? fx,x,x? x,x,x?f， 42301312233158fx,x,x ?,x,fxx= , 那么均差 . 3423023 7162n,求积公式的系数分别是：已知Cotes=4时Newton4)4(4)(4?CC?,C?, 201904515则)(4C . 3 ?f(x,yy)?5解初始值问题的改进的Euler方法是 阶方法； ?y(x)?y?

2、 005x?3x?0.1x?3?312?6求解线性代数方程组的高斯塞德尔迭代公式为 ， 2?0.7x2?x?6x?321 ?x?2x?3.5x?1?312rr(0)(1)若取1,1)(1,?x?x , 则 . x?f(x)根的牛顿迭代格式是 . 7求方程 8l(x), l(x),L, l(x)x, x,L, x,为节点的是以整数点Lagrange插值基函数，则 n1100nn?l(x)x= . kkj 0k?Ax?b(?1)k)(k的简单迭代格式解方程组9?Bxgx收敛的充要条件是 . f(-1)?1,f(0)?0,f(1)?1,f(2)?5f(x)的三设10次牛顿，则插值多项式为 ，其误差估

3、计式为 . 二、综合题（每题10分，共60分） ?30?(1)(1)?20p?p(x)p(1)15p 满足：，1求一次数不超过4次的多项式， ?72(2)?p(2)?57p，.11 构造代数精度最高的形式为的求积公式，并求出2?(1)?Afxf(x)dx?Af( 0120 . 其代数精度x?xk?1k?82lnx?x?)(2,? . 要求内的根, Newton3用法求方程在区间10?xk2用最小二乘法求形如4bxa?y? 的经验公式拟合以下数据： 19 25 30 38 x i73.3 19.0 49.0 32.3 y i5用矩阵的直接三角分解法解方程组 x52010?1?x101302?.

4、? ?x1743123?x73010?4?f(x,yy)?的如下数值求解公式 6 试用数值积分法建立求解初值问题?y?y(0)?0hy?y?(f?4f?f)， 1nn?nn?1?n?113(,),1,1其中?xnyni?f?fn. iii三、证明题（10分） ?x(x)f?M?)(xf)(x0?mf,对的导数于满且数的设对任意，函都存在足2*?f(x?xx?)x?00)x?f(. 均收敛于的任意，迭代格式的根 k1?kkM 参考答案 一、填空题 9116； 4. ； 5. 二； 15； 2. 8, 9 ; 3. 1545(k)?(k1)(k)?x(3?3x?0.1x)/5312?1)k?(k?

5、1)(k)6. 0.22, (0.02，0.1543) x6)?(2?2x0.7x/?231?1)(k?1)(k?k?1)(7/2x)*2?x?(1x?312x?f(x); 7. 8. ?kk?x?xx(B)?1; 9. ; jkk?1?1?f(x)k112(4)310. ?(?2)?/241,2)?1)x(x?x?xf?x,1)(x)(x 66二、综合题 1差商表： 1 15 20 1 15 15 7 20 1 22 1 15 8 42 30 2 57 72 57 2 233234x2xx?3x?(x?1)(x?2)?5?x15p(x)?20(x?1)?15(?1)1)?7(x?4? 其他方

6、法： 设233(ax?bx?1)1)1)?7(x?)?(?p(x)?1520(x?1)?15(x ?(2)?72(2)?57pp，求出a和，令b. f(x)?1,x，令公式准确成立，得：2取 11111A?A?A?A?A?A?. , , , 1010102233615123x)?f(xf(x)?x? ；时，公式左公式右时，公式左右, 5244?2. 公式的代数精度(2, ?)f(x)?x?lnx?2s ）内。设，23此方程在区间内只有一个根，而且在区间（4 11则f(?x)?)f(x?1 ，Newton法迭代公式为 ， xx2)lnxx(1?x?lnx?2kkkk?x?x?2,0,1,k? ，

7、 k?1k 1x?1/x1?kk3取?x1461932213.?x?s 。，得04?1111?T2T73.319.032.3y?49.0?span1,x?A.， ， 4? ?222238193025?33304TTT解方程组yAAC?A?AA ，其中，?34160823330?1.41665解得：?C ?0.0504305?0.0501025?0.9255577b?a ， 所以. 设解 5100120102?1luuu100121242223? ?1lluu341232313433?1lllu3100?43424144由矩阵乘法可求出lu 和ijij11?1l1021? ?1ll1123231

8、?1lll1010?43424102010210?uuu110242223? ?uu123433?u2?44y51?1?y3012? 解下三角方程组?y171123?y71100?45有6?y4?yy?y?3. ，3421 x50102?1?x31102? 再解上三角方程组 ?x6213?x42?41得原方程组的解为x?2x?x?1x?2. ，3421x， 初值问题等价于如下形式 解 6 ?dx)y(x)?xf(x,(yx)?y(1n?x1n?xn?1， 取?xx?dx(x)y(x?y(x?xf(,y，有1n?1n?n1x1?nh利用辛卜森求积公式可得y?)y?f?4f?f(. 1?n1n1n

9、?1?nn?3三、证明题 ?f(x)?x?x(x)0)?f(x写成将 ， 证明 ?(x)|?|1?1?ff(x)|1(x)|(x)?x?f(x)? ，所以由于*所以迭代格式?f(x)x?x?x0)?f(x. 均收敛于的根kk?k1 模 拟 试 卷（二） 一、填空题（每小题3分，共30分） e的近似值，则其有效位数分别有 位和 作数和分别用12.7182812.718282 位 ； 1?10?2?2 设A?0113?xxA= ， = _ ，则 . ? 2 1 ?2?831?2 x?5x?1?213对于方程组, Jacobi迭代法的迭代矩阵是G=_. ?J10x?4x?3?12?31)(设4, 2

10、, 3,40, 1f3, 0, 1, 2f?xxfx=_. ，=_，则差商12?已知5Cond(A)?A_. 则条件数, ?01?1?具有最高的代数精确度，则其求积为使两点的数值求积公式6)(x)?fx)dx?f(xf(101?基点应为xx=_ ， =_10?f(x,yy)?7解初始值问题近似解的梯形公式是y? ?1?ky(x)?y? 00f(x)?0根的弦截法迭代公式是 8求方程 1 ?，取4位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是 9. 计算积分 ， 用辛xdx0.5 卜生公式计算的结果是 ACond(A)Cond(A)一定大于等于 的条件数 ，其10任一非奇异矩阵 二、综合题（每题10分

11、，共60分） 1?x?sinx0,1有且只有一个根，若利用二分法求其误差不超过1 证明方程在区间1?410?近似解，问要迭代多少次？ 22 已知常微分方程的初值问题： dyx?,1?x?1.2? dxy,?y(1)?2?h?0.2(1.2)y. Euler试用改进的方法计算的近似值，取步长 ?10x335?1?T. 用矩阵的3LDL16x?359 分解法解方程组?2?x301759?31. 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据拟合4 ?y bx?ax 1.0 1.4 1.8 2.2 22.6 2y 0.931 0.473 0.297 0.224 0.168 1z?0.4y?0.4x

12、?试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯赛德尔迭代设方程组，5 20.8z?0.4xy?3z?0.8y?0.4x?法的收敛性。 4?11?6 按幂法求矩阵A?13?2的按模最大特征值的近似值，取初始向量?321?(0)T(2)?(1,0,0)x?即可，迭代两步求得近似值. 三、证明题（10分） a(a?0)的迭代公式为：已知求 1a(x?)x?0k?x0,1,2? 0?k1kx2 k,k?1,2,L 证明：对一切x ax?.是单调递减的，从而迭代过程收敛， 且序列kk 参考答案 一、填空题 02.5?1111 ; 3 . ; 4. 1, 0; 5. 9, 2. 7，16 ； 9; 6. ; ?,

13、 ? 2.5033? h7. )x,yy(x,)?fy?(f; 1kkk?1?kk2)(xf1?8. 9. 0.4268, 0.4309; 10. ；k?x?x)(x?xAA, 1 k1kk?k?1)(xf(x)?f1?kk 二、综合题?0?cosxx)?f?0(1)?sin1?0f1()f(x?1?x?sinxf(0)?1 ，则解 令，且，1 xsin?x?10,1*内仅有一个根在区间 故x. 1114?4*?利用二分法求它的误差不超过 10?|?10?|x?x 的近似解，则 1k?1?k2224ln10 解此不等式可得13.2877?k 2ln. 次即可所以迭代14 、解：2 0.5714

14、29,)?,y?hk)?0.5,k?f(xk?f(x,y1110020h2.10714290.571429)?(0.5?k)?2?0.1y?y?(k 21012 lld?1335?131211?ld 3 解 设 19?l35?1?322?21?d?ll15917?13?3231 利用矩阵乘法可求得522?1d?2ll3?d?d?l ， ， 32212131333?10y1?1?4? 得解方程组116y?1?6,y10,?y?y ，? 23123?5?y30?3? 3?2?1 5?1?d 310x11?1?1?1?d 得再解方程组x?1,x?1,x?2612x?. ?2?3122?1?d4?x1

15、?3?3? 3?1令 解 4?YY?a?bx容易得出正规方程组，则 y59a16.971?a?2.0535,b?3.0265. ，解得 ?917.8b35.3902?1. 故所求经验公式为?y ?2.0535?3.0265x 5 解 ?0.40.43由于（1）?0.256?f(0.96)?0.4?0.8 J?0.80.400.256?1.96?0f(?2)?81)f(?1?0.98?0.256? ，JJ0()所以?1|f?1)2,?(?. 在且，故利用雅可比迭代法不收敛内有根iJi ?0.40.42由于（2）?0.128)0.8f()?0.4?(0.832 G?0.80.4?(G)?0.832

16、，故利用高斯赛德尔迭代法收敛所以. (0)T(0)因为 6 解 P?1Px1,0,0x?，故 ?T(1)(1)(0)(1)且?)?4?max(y1,14,?Ax?y. ，从而得 119999(2)(1)(2)(2)(1)T(1)(1)T?max(y)?,y,?Ax?,?1,x?yP/yP?，. ?442442三、证明题 1a 由于证明: (x?)?a,k?0,1,?2,xL k?1k2xk x1a1k ，故对一切1k?(1?)?(1?1)?1ax? ，又 k2x2x2kk所以 x?xx是单调递减有下界，从而迭代过程收敛. ，即序列kkk?1 模 拟 试 卷（三） 一、填空题（每小题3分，共30

17、分） a2.40194x?2.40315a?有 1设 是真值 位有效位数，相对误差限的近似值，则 为 ； 0)?f(x 2 若用二分法求方程3位小数，则需要对在区间1,2内的根，要求精确到第 次。 分 . 次 3有n个节点的高斯求积公式的代数精度为 *2设4?5x?5)?x?a(x)?x)(x?xa的取值局部收敛到，要使迭代格式，则k1k? 范围是 bAx=有唯一解，在不考虑系数矩阵扰动的情况下，若方程组右端项的5设线性方程组xb? 扰动相对误差 ；，就一定能保证解的相对误差xb 8?x?x9?21式公Jacobi迭代，则6给定线性方程组解此线性方程组的?4x?x?5?21 Gauss-Sei

18、del ，迭代公式是 是 nb? 7插值型求积公式的求积系数之和是 ?dx)(xx)?ffA(kka 0?k 8数值求解初值问题的龙格-库塔公式的局部截断误差是 0.697?0.578 , (0.6)?ff(0.4)?0.411, f(0.5)，用此函数表作牛顿插值多已知函数9. 2项式，那么插值多项式x 的系数是 012?T设 10a?A12LLA=LA是对角线元素为正的下三角，为使，其中可分解为?2a0?a 矩阵，则。的取值范围是 分）二、综合题（每题10分，共60x?x1kk?8?2?lnx?x) 2,?(. 内的根Newton1用法求方程在区间, 要求10?xk21112?10?bx?

19、其中设有方程组，23?1b?221x?1A3，如 已知它有解，?32?0022? 16?果右端有小扰动10?b? ，试估计由此引起的解的相对误差。 ?22x1/dxe. 3试用Simpson公式计算积分, 并估计截断误差的近似值?1)(xf3,试用埃尔米特插值法求一个次数不高于在区间0,3上具有四阶连续导数4设函数?的多项式)(xP1(2)?1,P(1)?3,PP(0)?0,P(1)?，并写出误差估计式。 ，使其满足3333301?2?51?A?12A ，给出用古典Jacobi方法求 的特征值的第一次迭代运算。?20?1?n0y?y?h2?0h?，证明其近似解为并证明当6用梯形方法解初值问题，

20、 ?y? n1?y(0)h?2?x?时，它收敛于原初值问题的准确解ey? 。 10分）三、证明题（2?n00,?k?kxnn?nji. 若个不同的实根，证明有 xaf(x)?1? i1n?k,?)(fx? 1i?1i?ja?n 参考答案 一、填空题 -31. 3, 100.5?0a?15?-1n 2 ; ; 10; 3. 4. ; 2. ?)cond(A ; 5. )(kk)(k?1)(k?1)(?9/xx?(8?)x?(8?x)/9?226. LL110,1, k0,1, k? , ?1)(k?(k1)(k?1)(k5x)/)/5x?(4?x(4?x?1122ab? 58. 7. ; 3?3

21、?a)hO( 10 . ; 9. 2.4; 二、综合题)2, ?(2?lnx)?x?xf(s ）内。设1此方程在区间2，4内只有一个根，而且在区间（11则?)?(fx)1?(fx ， Newton法迭代公式为， xx2 )1?lnx?xlnx?2x(kkkk?x?x?1,2,k?0, ，k1k? 1x?1?1/xkk3取 ?x1461932213.s?x? 。，得 0411?1?bx?1?，有 2解 1.5A?2?1?)ACond(?22.5?A)Cond(，由公式，?bx?1?21?16?10?x 25? ?10?22.5?1.6875 3x2?243611122?2x1/1/2(4)1/x

22、1/1.5 3 ， ?edx? f)?(e?e4e(?e?)?2.0263, 5786xxxx61 ，43.(1)?198(maxfx)?f )(44()2x?1?)2?1(506890)0.max(截断误差为 ?x?fR)(42 28802?x?17523由所给条件可用插值法确定多项式4)(xPx?P(x)?x7x ， 33222由题意可设(2)?1)(xk(x)x(x)R(x)?f(x)?P(x?)xk(作辅助函，为确定待定函数32数：2)(t?1)x)t(t?)?f(t?P(t)?k(g(t0,3t)0,3g(上存在四阶导数且在,则在30t?0,1,2x, t?t?为二重零点），反复应用

23、罗尔定理，知至少有个零点（5上至少有1?(0,3)?(4)(4)使，个一零点?0(?g)(?fk(x)为式误差估从，而得计故。 4!12(4)?2)(x)x(x?R(x)?1)f(?(0,3)? 。， 4!?1?0?2?cot2i?1,j有先首取，因，故5?sin?cos?，于，是 4211?0? 22?11?(0)?0?(V?V?) ，? 1222?100? (1)(0)(0)(0)TV?AVA11111?00?01? 22222?02?1? 11111?00?12?10?3? 22222?20?1?01100101?2? ?h为公式梯6. 形)fy)?(x,y(y?y?fx,y?x,y)f

24、(得，由， 1nnnn?1?n1n2h)y(y?yy? ， 1nn?1?nn2h?2?2?h2h2?h1?12n?n所以L)?)y?()y(?(yy?()?，用上述梯形公式以步 01nn?n?1h2?h2h2?h2?nh步计算得到长经yx?hn ，所以，所以有nxh2?h2?xn? elimy?lim()?lim()h nh?h2?20h?0h?h?0 三、证明题n?ni故，有实个不同 证明 由于的根x?(x)afi1i?)x)L(x?x)a(xw)(?f(x)a(x?xx? ,于是n12nnnkkkxxxnnn1?jjj ? ?)(x(xxwf()aw)a1?ii?1i?1jnjjnnnk)

25、x(xgnn11?)(jjk 记Lxx,x?,g?xx?g ，则 n21?)xf()aaxw(1i1i?jnnnj0,2k0?n?kxn?j再由差商与导数的关系知. ?1? ,k1?n?)f(x? 1i?ja?n 卷（四）试 模 拟 30分）一、填空题（每小题3分，共824写式改应将算算1 为了减少运次数，?1?y? 323)(2x?3)?2x?3(2x809? ，为减少舍入误差的影响，应将算式 。改写为 为 1?11?2?2A11?AA? ，。 ，? 1 ?1?3?2?x?g(x) * 设在3的根x1)?xg ( ，则 附近有连续的二阶导数，且当 时迭代过程x?g(x)是线性收敛的，则当 时

26、迭代过kk?1 程x?g(x)是平方收敛的。 k?1k a10?k设4limA?0a?A ，则当满足 时，有?01?k? Ax=bkk列取在增广矩阵的第用列主元消去法解线性方程组1在第时，步消元时，5 1)(k?主元)?1(ka?a ，使得 。 rkrk f0,1,2f(x)(2)?7f0,1f(0)?1, f(1)?3 , f的 = ，6已知函数 ，= ，则 二次牛顿插值多项式 ? (x)x)00f(x)? ? (xf(x)? ，那么 7求解方程可以表成若，则用简单迭代法求根，满足 ，近似根序列x,x,L,x,L一定收敛。 n12 nb?1n?最高 次，点插值型数值积分公式的代数精度至少是

27、8 ?dxAf(x)?f(x)kka 0k? 次。不超过 2x?y?y? 0,1写出初值问题9. 在 上欧拉计算格式 y? ?y(0)?1?f(x,y)y?10解初始值问题的梯形方法是 阶方法 ?y(x)?y ?00二、综合题（每题10分，共60分） 3证明方程10?1x?xxx位精确至3*，用牛顿迭代法求*(1在区间，2内有唯一根 )。小数x?x?x?3?312?2用列主元消去法解线性方程组; 2x2?x?3x?312?2x?2x?x?1?132xy=1,3,2,4，求三次拉格朗日或牛顿插值多项=0,1,2,3，对应函数值分别为给定数据3式。 2?10?4设有矩阵A?12?1 用“规范化”的

28、方法求其按模最大的特征值及对应的特?210?征向量（注：求迭代4次即可） 2?yy?(0?x?1,取步长h?0.1) . 5用改进的Euler方法求初值问题 , ?y(0)?1?f(0.1)?5.1234, f(0.2)?5.3053, f(0.3)?5.5684，求一次最小二乘拟合6给定数据 多项式。 三、证明题（10分） ax?ax?b?1211112，设线性方程组为aa?0 ?2211ax?ax?b?2221212（1） 证明用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发散； （2） 当同时收敛时，比较它们的收敛速度。 参考答案 一、填空题 11; 2. 6, 6;

29、 , 1. 1?2)uyu?(8u-4)u, 2x?39?80*3. g (x)?0, g (x)?00? (x)ga?1 ; ; 4. , 25. )1k?(? (x)?L?1n1?x?x2n?1amax; ，; ; 7. ; 6. 2, 1, 8. ikn?ik2x?ny?y?h(y?)? n?1nn 10. 二 9. y?n?y?1?0二、综合题 321.?1?0,f(x)在（，）严格单增123(?f令(x)x?x1,fx)?x ?2，1（fx）在（，）上有唯一根；f1)?1,又（f2）?5 31x?x ，由牛顿迭代公式 kk?xx? k1k?21?3xk 1.32472 1.32472

30、,1.2, 1.34217, 1.325, 1.32472,x =1.2，得取 0或取1.0?x 1.32472 1.3252,1., 1.5, 1.34783, 1.32472,1.32472x*? ，., 所以0 2121?2113211?21?1.5432?02.53?22?(A,b)?11?2? ?2.520.5102113?211? 11?22?故, 1.542.5?0?1x?x? x? . ?321?4/500/45?2 3. 1?4.5 x?5.5x?x (x?1) (x?2)x?3/N(x)?1?2x?2 x (x?1) 3323 或1x?5.5x?) L(x?x?4.5 3 (1,1,1)T取4?u ，由乘幂法得，0TTT T =VAu =(1,0,1)=(2,-2,2) V=Au 1,1)u(1,0,1)u=(1,? , ，101221 TT T ?3.4142?0.7071)0.7071,1,?x?(?=(3,-4,3