串联电路的谐振

1、9.8串联电路的谐振谐振( resonance)是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象，谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用，对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。1. 谐振的定义含有R、 L、C的一端口电路，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。&IR,L,C&U电路&U& = Z = R I发生谐振IR2. 串联谐振的条件+j LZ = R+ j( L1) = R+ j( XL + XC )U1= R+ j X C_j C当 X = 0 0 =1 LCf0=12 LC 0 L=1时，电路发生谐振。0 C谐振条件谐振角频率 ( resonant ang

2、ular frequency)仅与电路参数有关谐振频率 ( resonant frequency)串联电路实现谐振的方式：（1） L C 不变，改变 。0由电路本身的参数决定，一个 R L C 串联电路只能有一个对应的 0 , 当外加频率等于谐振频率时，电路发生谐振。（2） 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变 C )。3. RLC串联电路谐振时的特点(1).U与 I同相 .入端阻抗 Z为纯电阻，即 Z= R。电路中阻抗值| Z|最小。电流 I达到最大值 I0= U/ R ( U一定)。|Z( )|IR+Z ( )XL( )+ _+Uj LX()RULU +1R 0_OXC( )UCj

3、C(2) LC上的电压大小相等，相位相反，串联总电压为零，也称电压谐振，即ULUL+ UC = 0, LC相当于短路。&电源电压全部加在电阻 上，UR= UURIUC&U&UL =j LI = j LR= jQU&IU&UC = j= j L= jQURC&=&= QUULUC特性阻抗 0 L1=Q=L品质因数RRC R当 0 L=1/( 0 C ) R 时，UL= UC U例某收音机 L=0.3mH，R=10，为收到中央电台560kHz信号，求（1）调谐电容C值；（2）如输入电压为1.5V求谐振电流和此时的电容电压。解(1)C =1= 269 pF+R(2 f)2LuL(2)I0 =U=1.

4、5= 0.15 A_CR10UC = I0 XC = 158.5 V 1.5 VorU = QU =0 LUCR(3) 谐振时的功率P= UIcosUIRI02= U2/ R，电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。Q= UIsin = QL + QC = 0Q = LI2, Q = 1 I2 = LI2L00C C 0000LC电源不向电路输送无功。电感Q中的无功与电容中的无功大小+相等，互相补偿，彼此进行能_RP量交换。(4) 谐振时的能量关系设u= Usin 0t则 i =Umsin 0 t = Im sin 0 tmRu=Imsin( t 90o ) = LIcos t CC0C

5、 m00wC =1Cu2C=1LIm2cos2 0t电场能量22w=1Li2 =1LI2sin2 t磁场能量2L2m0表明（1）电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等WLm= WCm。L、C的电场能量和磁场能量作周期振荡性的能量交换，而不与电源进行能量交换。（2）总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。w = w + w =1LI2=1CU2= LI2总LC2m2Cm电感、电容储能的总值与品质因数的关系：Q=0 L= LI02= 2 LI02R0RI02RI02 T0谐振时电路中电磁场的总储能 = 2 谐振时一周期内电路消耗的能量Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，品质因数越大，总的能量

6、就越大，维持一定量的振荡所消耗的能量愈小， 振荡程度就越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好。一般讲在要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高 Q值。4. RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性谐振曲线物理量与频率关系的图形称谐振曲线，研究谐振曲线可以加深对谐振现象的认识。（1） 阻抗的频率特性幅频1Z = R+ j(L) =| Z() | ()特性C| Z() |= R2 + (L 1C)2 = R2 + ( XL + XC )2 = R2 + X2 L11 XL + XC CX() = tg1= tg= tg1RRR相频特性Z ( )|Z( )|XL( ) ( )X( )/2R 0O0OXC( )/2

7、阻抗幅频特性阻抗相频特性2. 电流谐振曲线幅值关系：I() =U1=| Y() | UR2 + (L)2CI( )与 | Y( )|相似。I( )电流谐振曲线U/ RI( )|Y( )|O 0 选择性 ( selectivity)从电流谐振曲线看到，谐振时电流达到最大，当 偏离 0时，电流从最大值 U/ R降下来。即，串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出(表现为电流最大)，而对远离谐振频率的信号加以抑制(电流小)。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性”。 通用谐振曲线为了不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振曲线的横、纵坐标分别除以0和I( 0)，即 = ,I() I(

8、)=I()I( )I000I() = U/ | Z| =R1=11I(0 ) U/ R2+ (L)21+ (L)2RRRC1C1= 0 )21 + ( Q Q 0 )21 + ( 0 L 1R00 RC0I( ) =1I01 + Q 2 ( 1 ) 2I()通用谐振曲线I00.707Q=0.5Q=1Q=1001 12Q越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力，所以选择性好。因此， Q是反映谐振电路性质的一个重要指标。根据声学研究，如信号功率不低于原有最大值一半，人的听觉辨别不出，这是定义通频带的实践依据。在 I/ I0 = 1/ 2 =

9、 0.707处作一水平线,与每一谐振曲线交于两点, 对应横坐标分别为 1和2 .2 1称为通频带BW (Band Width)1 =1,2=2,2 1 .I000可以证明： Q=1=.0.707 I0 2121Q=1I/ I0=0.707以分贝(dB)表示：20log10 I/ I0=20lg0.707= 3 dB.0 1 02所以，1， 2称为3分贝频率。+一信号源与R、L、C电路串联，例R_uL要求 f0=104Hz， f=100Hz，CR=15，请设计一个线性电路。10Q=0=f0=104= 100解 fRQ10015 100L= 39.8 mH2 1040C =1= 6360 pF 0

10、2 L例 +u1R_L+u2_C+一接收器的电路参数为：L=250H,R=20 , C=150pF( 调好),U1= U2= U3 =10V, 0=5.5106 rad/s, f0=820 kHz._u3北京台f (kHz)820 L12901C1290X 0 I=U/|Z| (A) I0=0.5中央台北京经济台64010261000161116601034 660577I1=0.0152I2=0.0173I=U/|Z| (A)I0=0.5I1=0.0152I2=0.0173I( f )I= 3.04%I2= 3.46% 小得多II100收到北京台820kHz的节目。0640 8201200

11、f (kHz)（3） UL( )与 UC( )的频率特性UL() = LI = LU=LU12| Z|2R+ (L)QUC=1+ Q2 (11)222U () =I=UCC212CR+ (L)CQU=2 + Q2 (2 1)2U( )UC( Cm)QUUL( )UUC( )UL( ) ：0Cm 1 Lm当 =0， UL( )=0；0 0，电流开始减小，但速度不快， XL 继续增大，UL 仍有增大的趋势，但在某个下UL( )达到最大值，然后减小。 ，XL， UL()= U。类似可讨论UC( )。根据数学分析，当 = Cm时，UC( )获最大值；当 = Lm时， UL( )获最大值。且UC( Cm

12、)= UL( Lm)。 (条件是 Q 1/ 2)cm = 01 1 2Q22 Q2 1Lm00 Lm Cm = 0UC (cm ) = UL(Lm ) =QU QU11 4Q2Q越高，Lm和Cm 越靠近0一接收器的电路参数为： U=10V例R+uL=5103 rad/s, 调C使电路中的电流_最大， Imax=200mA，测得电容电压C为600V，求R、L、C及QV10R=U= 50解I0200103U = QU Q=UC600= 60CU 10RQL=5060= 60 mH51030C =1= 6.67 F 02 L9.9并联电路的谐振1. G、C、L 并联电路+CISU G_对偶：R L

13、C 串联Z = R+ j( L1) C谐振角频率0 =1LCLG C L 并联Y = G+ j( C 1 ) L0 =1 LCR L C 串联|Z|R0I( ) U/ RO 0ULUR= U IUCG C L 并联|Y|G 0U( )IS/ G O 0ICIG = IS UILR L C 串联电压谐振UL( 0)= UC ( 0)= QUQ =0 L=1=1LR RCRC0推导过程如下：由定义得G C L 并联电流谐振IL( 0) = IC( 0) = QISQ =0 C=1=1CG GLGL01CU2CQ= 2 2Cm= 2 fGT GU20=0 C=RG L02. 电感线圈与电容器的并联谐

14、振实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电容器并联时，电路如图： R CL谐振时 B=0，即（1）谐振条件Y = j C+1R+ j L=R+ j(CL)2+ (L)22+ (L)2RR= G+ j B0 C 0 L= 0R2 + ( L)200 = LC1 ( RL)2此电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定时，满足1 ( R)2 0, 即 R L时, 可以发生谐振LCLC一般线圈电阻RL，则等效导纳为：Y =R+ j(CL) R+ j(C1)R2 + (L)2R2 + (L)2(L)21L谐振角频率0LC1( L)2Re=0等效电路CLGeReG（2）谐振特点(a) 电路发生谐振时，

15、输入阻抗达最大值：Z( ) = R = R2 + (0 L)2 (0 L)2= L00RRRC(b) 电流一定时，总电压达最大值： U0 = I0 Z =(c) 支路电流是总电流的Q倍，设R I0IL例100kRCL等效电路ReC100kL如图R=10的线圈其QL=100，与电容接成并联谐振电路，如再并联上一个100k的电阻，求电路的Q.解 QL = 100 = 0 L R0 L= RQL = 1000 RRe (0 L)2 = 106 = 100 kR10Req = 100 /100 = 50 kQ=Req = 50103 = 500 L1000如图RS=50k， US=100V，例0=10

16、6，Q=100，谐振时线圈获取iR最大功率，求L、 、 及谐振时I0、50k0U和 P。C RuCLR= uS5L= 0.5 mH= 0.002 F 0 LC解QL= 100US100I0 = 2 R= 1mAR2250103Re =(0 L)= RS = 50 kSRUSU = 50V1 002LCP = U0 I0 = 0.05W3. 串并联电路的谐振讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路：L3C3LC2L1C21(a)(b)上述电路既可以发生串联谐振( Z=0)，又可以发生并联谐振( Z=)。可通过求入端阻抗来确定串、并联谐振频率。对(a)电路， L1、 C2并联，在低频时呈感性。随着频

17、率增加，在某一角频率 1下发生并联谐振。 1时，并联部分呈容性，在某一角频率 2下可与 L3发生串联谐振。对(b)电路L1、C2并联，在低频时呈感性。在某一角频率 1下可与C3发生串联谐振。 1时，随着频率增加，并联部分可由感性变为容性，在某一角频率2下发生并联谐振。定量分析：j L(1)(a)1j C L21Z() = j L += j L 2313j L+ L1 C2 11j C2L3= j3L1 L3 C2 ( L1 + L3 )2 L C 112LC2当Z( )=0，即分子为零，有：123 L1 L3 C2 2 ( L1 + L3 ) = 0(a)可解得： = 0(舍去)L32 =L1+ L3(串联谐振)2L1L3 C2当Y( )=0，即分母为零，有：12 L1 C2 1 = 0 =1X( )1L1 C2(并联谐振)L1C2(a)Z ( )=j X(