2015年全国高中数学联合竞赛试题与解答B卷

1、 2015年全国高中数学联赛（B卷）（一试） 一、填空题（每个小题8分，满分64分 a?xx?0,3?f(x)f(2)?f(4)aa的取，其中，则1：已知函数为常数，如果?x)?(?alog3,x?2 值范围是3xfy?(x)?)10?15f(f10)? 为偶函数，且，则2：已知的值为tT （单位：摄氏度）与时间（单位：小时）的函数关系为：3：某房间的室温T?asint?bcost,t?(0,?)a,b为正实数，如果该房间的最大温差为10，其中摄氏度，a?b的最大值是 则ABCDA?BD?BCDCABCD?A的设正四棱柱是单位正方形，如果二面角的底面4：111111?AA? 大小为，则 13?

2、a,aa,a依次成等比数列，则使得为等差数列，首项与公差均为正数，且 5：已知数列95n2a?a?a?100ak的值是的最小正整数 121k? 22k)x?yy?2xA?(,y)x( 为实数，在平面直角坐标系中有两个点集6：设和? A?B0?yk?3B?(x,y)kx?k的值为，若 是单元集，则22xy?1 (1,1),AB(0,?1)PPBPA?为椭圆7：设的最大值为，则上的动点，点 43A,AA?AAO，任取它的两个不同顶点内接于单位圆20158：正边形 ji201512 OA?OA?1的概率为则 ji二、解答题 ?a?a?a?2amnn,m,3a? 对任意正整数，均有（本题满分16分）数

3、列满足：9n?nnmm1?a的通项公式； （1）求nk1?c?kcc 的取值范围对所有正整数都成立，求）如果存在实数（2使得 a1i?i a,a,a,a为四个有理数，使得：分）设 10：（本题满分20421331? 1?i?j?4?24,aa?2,?,?,1,3a?a?a?a的值，求 ? 4132ji28? 22yx?1(a?b?0)F(c,0)F，存在经过点20：11（本题满分分）已知椭圆的右焦点为 22abA,BlOA?OB，求该椭圆的离心率的取值范围两点，使得的一条直线交椭圆于 （加试） a,b,c都有： 40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数1：（本题满分2221ab)(c?(ba

4、c)?a(?bc)?，并确定等号成立的充要条件 222(a?b)?(b?c)?(c?a)2 ?ABCAB?AC?ABCID为，设40分）如图，在等腰为其内心，设中，（本题满分2：I,B,C,DCBDADE 四点共圆，过点的延长线交于作的平行线，与内的一个点，满足2CE?BDCD? 求证： (a,b,c)(a,b,c?2015)满足：3：（本题满分50分）证明：存在无穷多个正整数组 abc?1,bac?1,cab?1 a,a,?,a1,2,mm,n(2?n)?,nm个是50（本题满分分）给定正整数中任取，设4：m12?ka?k,m21,?互不相同的数构成的一个排列，如果存在为奇数，或者存在整数使

5、得 ka?aa,a,?,a)k,l(l?mk1?是一个“好排列”，使得，则称，试确定所有好排列mk1l2的个数。 卷）解答2015年全国高中数学联赛（B （一试） 分8分，满分64三、填空题（每个小题30,a?xx?x)f()4?f(f(2)aa的取，其中，则1已知函数为常数，如果?x)?3?alog(,x?2 值范围是a2(4)?2,(2)?a?ff2?a?2?2aa ，所以，解得：（-2,+）解：答案：3x)?y?f(x)?10)?15f(f(10 ，则为偶函数，且2已知的值为331010)?f(10)?f(?10)?(?f00010)10(?)2f(? 即，解：答案：2015由己知得=2

6、015tT （单位：小时）的函数关系为：（单位：摄氏度）与时间3某房间的室温b?)a,cost,t?(0,tT?asin?b摄氏度，为正实数，如果该房间的最大温差为，其中10ba? 的最大值是则 22?25)?b?asin(tT?asint?bcost满足答案：，其中解：由辅助角公式：ab 2222?cossin,?T,a?ab?b?，室条件的值域是，则函数 2222b?baa? 2222102a?b5?ba 内最大温差为，得5 222?a?b25)?ab?2(a?b 故等号成立当且仅当 ,2ABCDC?A?BABCD?ACDBD的是单位正方形，的底面设正四棱柱如果二面角4111111?AA

7、，则大小为 13 6 ，连接OA, OA , OC解：取答案：BD的中点O 11 2? , -BD-C的平面角，因此AOC=则AOC是二面角A111111 3 2 C又OA是等边三角形故A，所以O= AC=11111 62 2222?()?AA?AOAO?(2)? 1122?aaa,a, 已知数列依次成等比数列，则使得为等差数列，首项与公差均为正数，且592n5a?a?100a?a?k 的值是的最小正整数1k12?ada?8a?4d,a?aa?d,a?d因为,的公差为则答案：34解：设数列n11251922aa,a,)d?(a?4)(a?a(a?da?8d)a化简上式得，即依次成等比数列，所以

8、9521152192d8a?0d?d8?ad ，所以又到：由111)(k?kd?kaa?a?a1)(k?k 12k12100?k? 16aa11 34k? 解得min? 22k)y?,y)x?y2(x?(A?x 和6设为实数，在平面直角坐标系中有两个点集?B?A 0?k?3?)B?(x,ykx?yk ，若是单元集，则的值为 22?2?3?:(x?1)?(y?1)?2）-1,3（P 是恒过点B，点集是圆周A解：点集答案：1)?k(x:y?3?l作出这两个点集知，及下方（包括边界）的直线 ?的一条切线故圆的圆是过点PA自B是单元集时，直线l当?的圆心 M (1, l）到直线l的距离等于圆| 2?2

9、结合图像，应取较小根的半径，故 21k? k?2?3 22xy ?1A(1,1),B(0,?1)PA?PBP为椭圆设 7上的动点，点的最大值为，则 43答案：5解：取F ( 0 , l )，则 F, B分别是椭圆的上、下焦点，由椭圆定义知，|PF|+|PB|=4因此，| PA|+|PB|=4-|PF|+|PA|4+|FA|=4+l= 5 3,1)(?延长线与椭圆的交点AF 当P在时，|PA|+|PB|最大值为5 2AA,AA?AO 边形，任取它的两个不同顶点内接于单位圆，8正2015ji201521 OA?OA?1的概率为 则ji671|OA|?|OA|?1，所以解：因为答案 ji100722

10、2?2OA?OA?2(1?cos?OA?|OA|,?|OA|OA?)|OA?OA jjiijiji 1 1?OA?OA?OA,OAcos?OA,OA的夹角的充分必要条件是故，即向量 jijiji2 ?2不超过 3 OA?OA?1OA的向量可的取法共有：，满足条件对任意给定的向量 jii?226712015?1342? OA?OA?1?2?1342p? 种，故的概率是：? ji320152015?20141007? 四、解答题 ?a?a?a?2mnanm,3a? 9（本题满分16，均有对任意正整数满足分）数列nmn?nm1?a的通项公式；）求（3 nk1?c?kcc 使得都成立，求的取值范围（4

11、）如果存在实数对所有正整数 a1?ii?amn?2a?a?a1?m：解： (l)推以得到公式在中令的递可nmnnm?a?a?a?2n?a?(3?2n) nn?11n?a的通项公式为：因此 nn?11)?(2n?1)(n5?)?3a?n?2)a?2(3?k?n( 分8 1n21?k?3?1a?a3 ，并且（事实上，对这个数列,n1222)?2(m?mn)(?n?2)?(mn)nm?a(?mnn2)?m?2)?2(n2?m?( n?m?a?a?2mn nm?a2)?na?(n的通项公式所以 是数列 nn11111?(?)，所以 注意到： (2) a2?nn22)?n(nnkk11111311111

12、1?)?(?(1?)?(?)? 2?1kk?242k2a2nn?22k?11?1nnnkk31313?)?(k?c),?c?故分，因此 的取值范围是并且,16 a44a41nn?1?nn a,a,a,a为四个有理数，使得：20分）设 10（本题满分432131? a?a?a?a3,1,?24,?aa2,?,?1?i?j?4的值，求 ? 4213ji28?aa(1?i?j?4)是解：由条件可知，6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，jia,a,a,a|a|?|a|?|a|?|a|，设则的绝对，值互不相等，不妨由此知41342213|a|4?j?a|?(i1|a|a|a|a|最大与次大的及中最

13、小的与次小的两个数分别是，ji3121|a|a|a|a|，从而必须有 及两个数分别是42341?aa?,? 128?aa?1, 10 分 ?13?aa?3,42?aa?24,?43113,a?,a?24aa?于是 23148aaa211132aa,aa?,?24a?2,?，15故分 1314228a211a?Qa?结合，只可能 1141111a?,a?,a?4,a?6a?,a?,a?4,a?6由此易知， 或者 441133224242检验知这两组解均满足问题的条件 9a?a?a?a?故 20 分 4231422yx)0?b?1(a),(c0FF，存在经过点分）已知椭圆的右焦点为11（本题满分2

14、0 22baBA,lOBOA? 的一条直线两点，使得交椭圆于，求该椭圆的离心率的取值范围c的方程为不是水平直线，设直线解：设椭圆的右焦点F的坐标为（l, 0)显然l)(x,y)x,ycx?ky的方程与椭圆方程联立，将直线 l、B的坐标分别为，点A2211222222220?a)?bka)y?24kbcy?b(c(x 得 消去2?ckb24y?y?,? 12222?bk?a由韦达定理 ?2224bb(c?a)?.yy ?21222222ab?bkk?a?22c?y)?kc(y?(ky?1)yykyy)?c?yx?OAOB?x?y(kyc)( 2211221211124222224bac?kcb?

15、b24kb22?ckc(?)?(?k?1)() 分5 222222222a?kba?kba?kb 0?OB?OAOBOA?，等价于存因为等价于，故由上式可知，存在满足条件的直线l42222422ba?cb?a?kcb2?k0?k 在实数，使得, 22222)?cb(1ab?k 4220b?ac?k 显然存在15 满足等价于分 2222242220)?(a?cacacb?a? 又，所以等价于 ，两边除以得到22cc22220?)?(10?e?e)?(1 ,即 22aa 1?5e,1)?1e?，解得：由于分 20 2 加试 c,a,b 1：（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数都有：

16、2221c?ab(b?ac)?(a?bc)(? ，并确定等号成立的充要条件 2222)a?(c?)?(b?c)(a?b c,a,b 解：当不全相等时，原不等式等价于222222)c?c)a?ab)(?(a?b)?(2(a?bc)?2(b?cab?2(c 上式可化简为222222cabc?2?2babc?2c2a?2a12babc?2 , 即222222abcca?6?bab?b?cbc?c?aa 2222220,ca?a,ab,bcab,bc,c 考虑到，故由平均不等式得， 6222222222222abc?6?cbc?cc?aa?ab?bc?ca?6caa?bab?bbcab 20 分因此原

17、不等式成立 下面考虑等号成立的充分必要条件222222ca?bcca?abab?bc? 注意到中等号成立的充分必要条件是cb?caa?abc?0ab?bc 若，与条件矛盾！，显然 ，则c,a,b0?bc?ca?0?b?ca?0ababc?0类，不妨设，但，则若不全为0，则c,b,a 中恰有一个非零这时原不等式中等式确实成立似可得其余两种情况，即c,b,a 40 分中有两个是因此，原不等式等号成立当且仅当0，另一个为正数ACAB?ABCI为中，2（本题满分40分）如图，在等腰，设 D,CI,BABC?D四点共圆，过为其内心，设内的一个点，满足CEBDAD：于证点求作行的平线，与线的延长交2CE?

18、BD?CD 交圆上，延长DE证明：连接BI,CI设I, B , C, D四点在圆O FCO于F，连接FB， 因为BD|CE，所以DCE=180-BDC=BFC DCE，从而BFCCDF=CBF，所以又由于CDE= BFDC ? FCCE 再证明AB, AC与圆O相切11 AB与圆ABI=事实上，因为，ABC=ACB=ICB所以 22O相切同理AC与圆O相切 20 分 因此有ABDAFB，ACDAFC，故 BDABACDCBFBD? 分即, 30 BFAFAFCFFCDCDCBD2CD?BD?CE? 分，即 40 结合、，得 CEDC(a,b,c)(a,b,c?2015)满足： 3（本题满分50

19、分）证明：存在无穷多个正整数组 abc?1,bac?1,cab?1 c|ab?11c?ab?成立证明：考虑的特殊情况，此时10 分 a|b(ab?1)?1a|a|bc?1b?1，故知，由 b|a(ab?1)?1b|b|ac?1a?1 由知，故*2)Nk?b?k?1(a?k,1?kab?1?kc? 分,此时为满足、，取40 21)?k,k?1,ka,b,c)?(k(k因此满足条件的正整时，当正整数均符合条件，2015)cb,(a, 数组分 50 有无穷多个a,?,a,?an,?,2,?m,n(2?mn)?1m个，设分）给定正整数中任取是4（本题满分50m12?ka?mk21,?,互不相同的数构成的一个排列，如果存在为奇数，或者存在整数使得 ka?aa,a,?,a)ml?k,l(1?k?是一个“好排列”，使得，则称，试确定所有好排列m2kl1的个数 a?k?,m?1,2,?k为奇数”是指存在一个数与它所在，使得解：首先注意，“存在ka?a)l?m,l(1?k?k”意味着排列中存，使得的位置序号的奇偶性不同；“存在整数lk在逆序，换言之，此排列不具有单调递增性 将不是好排列的排列称为