空间曲面曲线方程

1、第七节 空间曲面与曲线,本节内容提要,一、空间曲面的概念,二、几种常见的二次曲面,三、空间曲线及其在坐标上的投影,本节重点： 二次曲面 柱面 旋转曲面 本节难点：旋转曲面 教学方法：启发式、直观式 教学手段：多媒体课件和面授讲解想结合 教学课时：4学时,（返回）,一空间曲面的概念,在空间直角坐标系中，把曲面看成空间一动点M(x, y, z)的运动轨迹。根据运动规律可以得到一个含x, y, z的三元方程，如果方程F(x, y, z)=0与曲面有如下关系 （1） 曲面上的点的坐标满足方程 F(x, y, z)=0 （ 2） 不在曲面上的点的坐标不满足方程F(x, y, z)=0 则称方程F(x,

2、y, z)=0为曲面方程，而曲面称为方程F(x, y, z)=0的图形（或轨迹）如图 这样曲面与 三元方程就一 一对应起来.,例1） 求与点A(2, 1, 0)和点B(1, -3, 6)等距离的点的轨迹 解：设M(x, y, z)为轨迹上任一点，根据题意有 将其写为坐标形式有 两边平方并整理得 这就是所求轨迹方程，是关于X的一次方程，是一个一次曲面， 也就是平面,例2）求球心在 ，半径为R的球面方程 解：如图所示 ，在球面上任取一点M(x, y, z) ，M到 的距离 为R，所以 ， 即 整理得 这就是球心在 半径为R的球面方程，是一个二 次曲面,（返回）,二几种常见的二次曲面,1. 柱面：动

3、直线L沿给定曲线C平行移动形成的曲面叫做柱面（如图），动直线L叫做柱面的母线，定曲线C叫做柱面的准线。我们只讨论母线平行与坐标轴的柱面。 设柱面的准线是xoy平面上的曲线C F(x , y )=0 Z=0 柱面的母线平行与Z轴，(如图) 下面建立柱面方程,x,y,z,L,C,在柱面上任取一点M(x, y, z) ，过M作直线平行与Z轴， 该直线与曲线C交与 点。显然，M与 有相同的横 坐标和纵坐标。点 在曲线C上，所以 点满足曲线C的方程, 即F(x, y )=0 又因为F(x, y )=0与z无关，所以点M (x, y, z ) 的坐标也满足 F(x, y)=0，而不在柱面上的点的垂足不在曲

4、线C上，故其坐 标不满足方程F(x, y )=0 因此，F(x , y )=0为母线平行与轴、 准线为曲线C的柱面方程 同理，F(y, z )=0为母线平行与X轴的柱面方程；F(x, z)=0为 母线平行与Y轴的柱面方程。总之，在空间直角坐标系中， 如果一个方程缺一个变量，那么该方程就是柱面方程。,例3指出 在空间直角坐标系下是什图形 ？ 解：因为 中不含变量Z， 所以 表示一个xoy面上的圆为准线，母线平行与Z轴的柱面，称 这样的柱面为圆柱面（如图）， 类似地 称为椭圆柱面, 为抛物柱面,y,z,x,0,2. 旋转曲面 一条平面曲线C绕一定直线L旋转一周所形成的曲面叫 做旋转曲面，曲线C叫旋

5、转曲面的母线，定直线L叫做旋 转曲面的轴（旋转轴），我们只讨论旋转轴为坐标轴的 旋转曲面。 设旋转曲面的母线是yoz平面上的平面曲线c f (y ,z )=0 x=0 旋转轴是Z轴, 求旋转曲面方程。（如图）,在旋转曲面上任取一点M(x, y, z)，点M是由母线上的 一点 旋转得到 , 的坐标为 , 的坐标 为 (0, 0 , z ) ， 而点 在母线C上，即 旋转曲面上的点都满足方程 ，而 不在旋转曲面上的点都不满足此方程，此方程即为曲线C 绕z轴旋转而成的旋转曲面。,同理，曲线 C 绕 y 轴旋转而成的旋转曲面方程为 类似地可以得到其他坐标面上的曲线绕坐标轴旋转而形 成的曲面方程。,例4

6、 写出在xoy平面上的椭圆 分别 绕 x 轴，y 轴旋转一周形成的旋转曲面方程。 解： 绕 x 轴旋转的曲面方程为： 绕 y 旋转的旋转曲面方程为： 称这样的曲面为旋转椭球面,例5求由yoz平面上的直线z=ky绕z轴旋转而成的旋转曲面 方程 解：在z=ky中，把 y 换成 得到所求方程为 此曲面为顶点在原点，对称轴为z轴的圆锥面.(如图),下面我们介绍几种常见的二次曲面方程，并用平面截痕法讨论他们的图形 1. 椭球面：方程 所表示的曲面称为椭球面，由方程知：,可见曲面包含在这六个平面所围成的长方体内，现在用平面 截痕法来讨论这个曲面的形状,用xoy平面z=0截曲面，结果一个椭圆： 用平面 截曲

7、面，结果也是一个椭圆 该椭圆随着 越大而变的越小，直到时 该椭圆收 缩成一个点,同理，用yoz平面及x=h平面分别截曲面，以及用zox平面和y=h平面分别截曲面得到一样的结果，根据上述结果，可以画出椭球面（如图） 我们可以用上述平面截痕法画出单叶双曲面： 的图形（如图） 双叶双曲面 的图形（如图） 椭圆抛物面 的图形（如图）,（返回）,三、空间曲线及其在坐标上的投影,1. 空间曲线其方程： 任何一条空间曲线都可以 成是两个曲面的交线 。 设 是两个曲面方程, 它们交线上的每一点的坐标都同时满足上 述两个曲面方程；反过来，同时满足上述两个方程 的点都在这条交线上 因此 叫做空间曲线的一般方程。,

8、例6 下列方程表示什么曲线？ 1 2 . 解：1. 表示以原点为球心，半 径为5 的球面 , Z=4 表示平形于XOY面的一个平面。 将Z=4 代入 得 表示此交线在XOY 平面上，以（0， 0 ，4 ）为 圆心，以3 为半径的圆。,解：（2） X+Y=0, X-Y=0 是两个平面。解方程组 得 表示z轴。 注：空间曲线方程 可以用与它等价的 任何两个方程联立的方程组来代替，即空间曲线表示 的方法不唯一。 空间曲线还有参数方程的形式 （t 为参数)）,2 空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线方程为 L 由方程组中消去z 后得到方程 它表示母线平行于z 轴的柱面。空间曲线L上的点一定在柱 面上，

9、（柱面包含曲线L）称柱面为曲线L关于XOY面的投影 柱面投影柱面与XOY平面的交线叫做空间曲线L在XOY平面 上的投影曲线（简称投影），记作 （注：空间曲线L在XOY，YOZ平面上的投影如何确定？）,例7 求曲线L 在XOY平面上的投影 解：消去z ，得到投影柱面为 于是L在XOY平面上的投影为,第七章小结 （习题课）,本章重点 : 1 向量的代数运算：加法、减法、数乘、数量积、向量积 2 向量的模、方向角、方向余弦的概念 3 在一定条件下，求平面或空间直线方程 4 研究平面与平面、直线与直线、平面与直线的相互关系 5 二次曲面的概念，柱面、旋转面等 本章难点 :向量积 方向余弦 平面或空间直

10、线方程,例1 已知两点 ， 试求向量 的模、方向角、方向余弦和的单位向量,例2 求垂直与向量 的 向量,例3 指出下列平面位置的特点，并作出图形 1） 3x-2y+z=0 解：由于方程中的常数项等于零，所以 平面通过坐标原点。 2）x+y=4 解： 由于方程中不含z的项，因此平面 平行于z 轴。 3）2x+y=0 解 ：由于方程中不含常数项，也不含z 的 项，所以平面通过z 轴。 4）z=1 解： 由于方程中不含X和Y的项，所以平 面垂直于z 轴。 如图 1） 2） 3） 4）,例4 一平面过两点 ，且 垂直与平面X+Y+Z=0，求平面方程 解： ，设所求平面的法向量为 因 在所求平面上，故 ，又所求平 面垂直于平面 X+Y+Z=0， 所以 所求平面方程为,例5 分别求出满足下列各组条件的直线方程。 （1）经过点（2，-3，4）而与平面 3X-Y+2Z=4 垂直。 （2）经过点（0，2，4）而与两平面 X+2Z=1 和 Y-3Z=2 平行。 解： （1）平面3X-Y+2Z=4的法向量为 ，所 求直线垂直与已知平面 ，故所求直线方向向量 所以所求直线方程为,解：（2）两平面的法向量分别为 所求直线与这两平面平行，则直线方向向量 所以所求直线方程为,例6 指出下列平面与平面，平面与直线，直线 与 直线的关系。,解：1