中考数学二次函数与四边形综合专题

1、 二次函数与四边形综合专题 一二次函数与四边形的形状232x?y?x?l两例1. 如图，抛物线、点在B点左侧），直线C与抛物线交于A、与x轴交AB两点（A 2点，其中C点的横坐标为 AC的函数表达式；）求A、B 两点的坐标及直线（1 长度的最大值；y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PEP（2）是线段AC上的一个动点，过P点作这样的四个点为顶点的四边形是平C、F、GG（3）点是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、 行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由 23?yxx?1?3?x?2x代入x=20（3，y=0解：（1）令，解得）；将或C点的横坐标-1A（，0

2、）B 12 的函数解析式是y=-x-1 ，-3）直线AC得y=-3，C（2 的坐标分别为：P、Ex（-1x2）则）设（2P点的横坐标为2（），EP（x，-x-13)2x(x,x? 点的上方，PE=P点在E222?xx(?x?1)?(?2x?3)?xA 91?x 时，=PE当的最大值42(1?(4,0),FF(?3,0),F?7，0),F(47,0) F个这样的点，分别是）（3存在41423 7?x1.练习 的抛物线经过点A），（04（6，0如图，对称轴为直线）和B2 （1）求抛物线解析式及顶点坐标；xy求四边形OEAF是以为对角线的平行四边形OA设点（2）E（，且位于第四象限，）是抛物线上一动

3、点，xx 的取值范围；OEAF平行四边形的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量 的面积为 当平行四边形OEAF24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？ 为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由OEAFE 是否存在点，使平行四边形 y 7?x 2 B(0,4) F x O A(6,0) E 772y?a(x?x?)?k把A，可设解析式为练习1.解：（1）由抛物线的对称轴是、B两点坐标代入上 22y 式，得77 20,k?)?a(62522 解之，得?2.,k?a? 637?24.?a(0?)k ?2?B(0,42725725 故抛物线解析式为，顶点为2?y)(x).(?, 3

4、2662F E(x,y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合（2）点 x O A(6,2572 的距离E到OA y0,y表示点，y0，即E 2?)y?(x? 623YOEAF的对角线，OA是 17 2 25)y?4(?S?2?OA?y?6S?2 OAEV22xxx60），所以，自变量 的取值范围是因为抛物线与1轴的两个交点是（1，0）的（6，771x?3,x?4.故所24根据题意，当S = 时，即 化简，得解之，得2224)?25?4(x?.)?(x?21 224求的点E有两个，分别为E（3，4），E（4，4） 21YOEAF是菱形； ，所以，4）满足OE = AE点E（31YOEAF不是菱形

5、 4）不满足OE = AE，所以点E（4，2 当OAEF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的坐标只能是（3，3）而坐标为 OEAFYYOEAF为正方形 ）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使（3，3 lll练习2.xxAC(3，4)(10)B(5，0)，轴交于点轴对关于，抛物线如图，已知与的抛物线与的顶点为和112?C称，顶点为 l的函数关系式； （1）求抛物线2?llx4)D(0，OPPP运动到何处时，上的点与，）已知原点，定点始终关于上的点轴对称，则当点（212?P，PD，O为顶点的四边形是平行四边形？以点 ol30MMABMAB的直角三角形？若存，求出点上是否存在点为斜边且一个

6、角为，使（3）在是以2 的坐标；若不存在，说明理由y y l 5 2l E 5 2E 4 4 3 3 2 2 1 1 ABB A x x1?5 4 3 1 2 1?5 3 4 1 2 OO?1 1? 2? 2? 3? 3? 4? ?4?C 5?C l 5? 1l 1 3. 练习C，(08)E0)0)B(4，?2，A(?，与坐标轴的交点依次是， 如图，已知抛物线1CC 1（）求抛物线的解析式；关于原点对称的抛物线21DC，CCxCNMD，（2）设抛物线在点的顶点为，抛物线的左侧）与两点轴分别交于（点，顶点为21SMDNADA个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；，点的面积为1若点四边形同时以

7、每秒NMDA重个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点与点同时以每秒与此同时，点2，点ttSMDNA 之间的关系式，并写出自变量的面积的取值范围；合为止求出四边形与运动时间tSMDNA 的面积为何值时，四边形有最大值，并求出此最大值；（3）当tMDNA ）在运动过程中，四边形的值；若不能，请说明理由能否形成矩形？若能，求出此时4（ 二二次函数与四边形的面积2轴y点两点(A在x轴的正半轴上)，与与10例1.如图，已知抛物线P：y=ax+bx+c(a0) x轴交于A、B上部分点的横G分别在线段BC、AC上，抛物线PAB交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段上，顶点F、 坐标对应的纵坐标如

8、下：x -3 -2 1 2 55 - -4 y 022(1) 求A、B、C三点的坐标； (2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围； (3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=kDF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围. 10 图 NOMNHH，的坐标为（1.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形），点，点6的坐标为（8，0练习 4）AMBCOMNHOOABCA ，的对应点为，并写出顶点）画出直角梯形（1的坐标（点绕点，旋转180的图形，CHNB 的对应点为的对应点为， 点）；点CAB ，三点的抛物线的表达式；2

9、）求出过， （BEFGSABEFGCOOAmOFCEAGm之间的函数，的面积，=分别在线段，且上，求四边形，（3）截取与=mS是否存在最小值?的取值范围；面积若存在，请求出这个最小值；若不存在，关系式，并写出自变量请说明理由； BEFGm的值，并指3）的情况下，四边形是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时（4）在（出相等的邻边；若不存在，说明理由 QO2cmABCDAP出发，在对称中心，练习2.如图，正方形处有一钉子动点的边长为同时从点QCA?2cmDC?A?BPB 方向方向以每秒点点的速度运动，到点沿停止， C 沿P O Q1cmPD两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，停止以每秒，的速度

10、运动，到点D A 2cmyxQ 设秒后橡皮筋扫过的面积为P C B xy1x0 与）当之间的函数关系式；时，求（1O x 2（）当橡皮筋刚好触及钉子时，求值；D A Q xy2x1并写出橡皮筋从触及钉子到运动之间的函数关系式，时，当3（）求与y 3 POQ 停止时的变化范围；2 xy20x 与）当（4之间的函数图象时，请在给出的直角坐标系中画出1 O 12 x 2AxxAlBCBly、-4的图象与上的动点轴相交于如图，已知抛物线、：(=两点，不与是抛物线练习3. 11DACABCDCllx 重合)与为对角线的平行四边形关于.轴对称，以，抛物线的第四个顶点为12l (1) 求的解析式； 2lD

11、一定在(2) 求证：点上；2ABCD若能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(3) ；如果不能为矩形，请说明只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积) . 注：计算结果不取近似值理由 . 三二次函数与四边形的动态探究OAPOABCOAC是，点，0)，3)例1.如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片，已知(0(0，0)，(4，POEOAPABOCEPBPDB将边上的动点(与点、边上选取适当的点不重合)现将再在沿翻折，得到，；PFPFEPDPE 、沿重合翻折，得到，并使直线yyxyPxE 关于，求的最大值；，(0的函数关系式，并求)(1)设(0)，EBCDPB 、边上，求过点、的抛物

12、线的函数关系式；如图(2)2，若翻折后点落在PEQPEQ为直角边的直角三角形？若不存在，说，使是以(2)(3)在的情况下，在该抛物线上是否存在点Q 明理由；若存在，求出点的坐标yyDCBCBFDFEExOxAPOAP2 图1 图 xCBxAByax2ybxc轴的正半轴上，轴交于，其中点、与轴交于点例2. 已知抛物线两点，与在xxOCyOBOCOBC的两个根，且抛物线的对称0的长（160, y0，即表示点到的距离是 712 25?)?4(?OA?y?6y?S?2S?2? OAEV22xxx ），所以，自变量6的取值范围是1因为抛物线与轴的两个交点是（1，0）的（6，01774.?3,xx?2 S

13、 = 24 根据题意，当时，即 化简，得解之，得2.)?(x?24?)25?4(x?21 422 4），E（4，故所求的点E有两个，分别为E（3，4 2 OEAFY 点E（3，4）满足是菱形；OE = AE，所524 OEAFY ，所以不是菱形点E（4，4）不满足OE = AE3 OEAFY EOAEF，且OA = EF时，是正方形，此时点的 当2 ） 坐标只能是（3，31 B ，E3，3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点而坐标为（A x 1?5 4 2 3 1 O1?OEAFY 为正方形使2? 3? 4? ?C 5? l 1 2?43)?a(x?y?l，4)(3?C的坐标为1）由题意知点

14、练习2.设解：的函数关系式为（2224?x?3)y?a(0?4?(1?3)a0)，A(11a?Q 上，在抛物线，解得又点224?3)?y?(x5?6y?xlx? 的函数关系式为（或抛物线）2?xyPPP?QP 轴对称， 与与轴平行始终关于（2）m4QODP?22 ，即设点的横坐标为当，则其纵坐标为2?m?6m?55m6?m?24?2m?6m?5 26?3m2m?3?P2? 2?m?6m?5?2?6m?5?m时，当时，当点运动到解得解得2)，(3?6 y ，?2?2)(3 或或时，或2)6，?(3 2)2，?(35 lC ? 为顶点的四边形是平行四边形，以点PPOD?PP，D，O，2D3 lMM

15、上，满足条件的点在不存在理由如下：若存在满足条件的点（3）22 则oo ），（或30?30?ABMQ?BAMo1 90?AMBEBA11x 2?BM?AB?4?O5 2 1?1 4 3 221?MEAB?MEo 过点于点作，可得30?BME?BAM2?11 4OE? ，3EM?1?EBBM2? 223?M 4?，3)(4?M?的坐标为 点?Cl5?14?x 2 时，但是，当3?524165464y?3?M? 不存在这样的点构成满足条件的直角三角形 ，E(2，0)(08)D(4，0)C0)，0)A(?4，B(?2，点关于原点的对称点分别为，解（1）点，点练习3. C8)，?F(0 设抛物线的解析

16、式是 2，?0c16a?4b?1?，a?，则 解得2?0)a?bx?c(?y?ax，a?2b0c?4?，6b?8c?8c?28?x?x?6y? 所以所求抛物线的解析式是 ，1)，N(31)?M(?3， ）由（21）可计算得点 NADNH?H 作过点，垂足为t ，当运动到时刻 时，t?2NH?1t?2OD?82AD?ODOA?，OM?ONMDNA是平行所以四边形，根据中心对称的性质S2S?MDNA积的边形面所以四边形所以，四ADN28S?(8?14t?t)?4t?2t)(1?2DA重合为止，因为运动至点与点 2t8t?14t?S?44?0t的取，据题意可知所以，所求关系式是40?t 值范围是 8

17、17817?t?S4?tS4?0t ，（ （3有最大值）所以时，?4444?提示：也可用顶点坐标公式来求 MDNAMDNA是平行四边形，对角线是2）知四边形能形成矩形 由（4）在运动过程中四边形AD，MNMDNAOD?ONAD?MN以所形以是矩，所以当形所时四边 所以解之得（舍） 2?6?2，t?t?62222NH?OHOD?ON220?4t?2t?21t?6?2MDNA 可以形成矩形，此时 所以在运动过程中四边形点评本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。 二二次函数与四边形的面积 12)0a?bx?c(?yax2求出解析式的三组值代入，

18、任取， 1）解法一：设x,y，1. 例解：（=x+-4yx2-4)0)B(-4令y=0，求出0)，C(0，A(2CBy=-4x=0；令，得， A、三点的坐标分别是，2=x-=4,x21 55解法二：由抛物线P过点(1，-)，(-3，)可知， -22抛物线P的对称轴方程为x=-1， 又 抛物线P过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知， 点A、B、C的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) . DGAD ， OC=4，AD=2-m（2）由题意，故DG=4-2m，而AO=2，= OCAOEFBE 又 ， DE=3mBE=4-2m，EF=DG，得= OCBOs2 2)

19、.m=DGDE=(4-2m) 3m=12m-6m (0DEFG .BOC是等腰直角三角形建立关系求解及RtAOC，或依据注：也可通过解RtBOC2 6 .m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是m2)，(3)SDEFG=12m-6m (0 ，0)，-2)，E(-2D(1，0)，G(1，-2)，F(-2当矩形面积最大时，其顶点为2222 ，易知，k=，b=-设直线DF的解析式为y=kx+b-y=x 333312 ，又可求得抛物线P的解析式为：4+xy=x- 2611?122x?2令，可求出=与抛物线P相交于点N， . 设射线DF4+x-x-x 3233 61-1- ，有x轴于H，过N作x则N轴的垂

20、线交的横坐标为3 -1-61-2 61-5+HEFN3 =，= 9DEDF3 P上，即点M不与N的取值范围是重合时，此时k点M不在抛物线 61+-5 0.k且k9 .说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分 若选择另一问题：CPFGADDG ，则，OC=4，则DG=2，又 而AB=6，CP=2，OC=4FG=3AO=2(2)，而AD=1，= OCABAOOCs=DGFG=6. DEFG 练习1.解：利用中心对称性质，画出梯形OABC 1分 A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称， A（0，4），B（6，4），C（8，0） 3分 （写错一个点的坐标扣1分） （2）设过A，B，C三点的抛物线

21、关系式为，抛物线过点 4），A（0，则抛物线关系式为 4分 将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得 5AB，垂足为G，则sin CABsinFEG分 解得 6分 7分所求抛物线关系式为： 8分 ，（3）OA=4OC=8，AF=4m，OE=8m ） OA （AB+OC AFAGOEOFOA CE 0 （ 10分）4 当 S的取最小值时， m4m0又，不存在值，使 S的取得最小值 12分 当（4）当时，GB=GF， 分 14时，BE=BG 122xy?x?APyg?AQx?AQx21xAP?0 ，时， ，即，练习2.解 （1）当2111S?S2x?BP?2xAQ?时，当，橡皮筋刚好触

22、及钉子，（2）?22?2?2x?2?xABCD正方形ABPQ四边形2224?x? 34AQ?BPx?2x?21xx?AQ2?AB2?PB2x?）当时，（3， 2?3x?y?gAB?2322y?3x?2 即 y ABOEE 为垂足作，3 42xx?AQ1?OE2x?BP?2 ，当时，32 3x?1?1?2x2x?SSy? ，1?1?OEAQBEOP梯形梯形2221 O 412x 3 3oox?y270180POQoo 或即180POQ902 ）如图所示：（4 2abxclyax 设0)的解析式为(=，+练习3. 解(1) 2xlllxAC 关于与(0(2，0)，顶点坐标是，与- 4)轴的交点为，

23、(-2，0)，轴对称，112CAl (0，过4)(-2,0),，(2,0)，顶点坐标是2,0b?c?4a?2? ,0c?4a?2b?4.?c?2xyabcl =-1,=0,= -=4，即+4 . 的解析式为2 )(还可利用顶点式、对称性关系等方法解答22 mnlyxBmn ：=(2) 设点-4 (*).(-4，上任意一点，则)为1ODCOBABCDA 关于原点对称， 四边形 是平行四边形，点、对称，关于原点nDDm 点的坐标为,-(-) .222lyxDnmmD = - -上=-(+4-4)= -(-， 点)+4，即点. 的坐标满足在由(*)式可知，2ABCD 能为矩形. (3) 222xxB

24、HOH xBBHxHBlyxBx =| -4)轴于，由点则在，：=|=-4| 可设点-4上，.的坐标为 (|过点，作00010ABCDBOAO = 为矩形=2时，易知，当且仅当.222222xxxOBH xxx )、，(3 . -4)( -3)=0，在Rt|中，由勾股定理得，=|+| =2(舍去-4|=2000000ABCDBBB ，-1)时，-1)或为矩形，(-所以，当点3 坐标为(3 DDD 1).( 3 (-3 ，1)、，此时，点的坐标分别是CDABABCD 因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形 .和矩形AHBAOEAByE 与轴交于，显然， 设直线，BHEO1EO ， .= ?AH

25、AO232?EO =4-2 . 3CDABCDAB 与矩形由该图形的对称性知矩形重合部分是菱形，11EOSAC S 3 )=16 - 83 . =2 =2=2 4(4-2其面积为 ACE22 三二次函数与四边形的动态探究 解：例1.APBOPEPDPFBPEPEPBAPDOPF 、重合，则(1) 由已知平分=90，平分，且=90PBAAPBABPOPE =90，又=BAPO3x411xPOEBPAy? 4)即RtRt(0=2x?x?(4x?x)x?y4APOE3331yx 有最大值=2时，且当3BEPABPOEP 3)，0)由已知，(2)、均为等腰三角形，可得(1，(01)(4， 1?,a?1

26、,c? 2?2cyaxbx 设过此三点的抛物线为，则=30,?b?ca?,?b? ?23.c?16a4b?1.?c?132y?x?x1 = 22EPBQBPByxy轴交于点(0，1)= (3)由(2)知=90，即点1与点，与重合时满足条件直线为PBE(0，1)， 将向上平移2个单位则过点yx1=该直线为 y?x?1,?5,?x?得 由Q(5，6)?13?2y?x?x?1,y?6.? 22?Q(4，3)、(5，6)满足条件故该抛物线上存在两点 例2.解： xxxx28 1得分12，（1）解方程102 160BxCyOBOC 在轴的正半轴上，且轴的正半轴上，点在点BC的坐标为（0，8，0），点）点

27、 的坐标为（2yaxbxcx2 又抛物线的对称轴是直线2A的坐标为（6，0） 由抛物线的对称性可得点4分 CyaxbxccAB（2，0）代入表达）、，将802（）点（，）在抛物线2的图象上，8（60式，得 解得 xy2 式物线的表达为所求抛x 7分8 ACOAOCmBEAEm ，）依题意，（3，则8，6810 BACBEFEFAC 即， EF FG8m mSBFEBCESS（8）8mm 88）（）（ mm）8（8）（8mm（8）mm 42 10分 mm8 11自变量的取值范围是0分 Smm4：在存理由2）（4m 且（ 82）4 0， mSS最大值8 有最大值，12分当 4时，mE的坐标为（2，

28、04，点） BCE为等腰三角形 14分 （以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分） ABCDEFGH是矩形， 、: （1）相等。理由是：因为四边形例3解S?S,S?S,S?S 所以CGM?ECN?CGQ?EGH?ECP?EGF?SS?,SS?S?S?S?S? 即：所以 CGQ?CGM?ECN?EGH?EGF?ECP34xECBCACAExAB 5，设5（2）3，则4，,x),MC?PC?x(5? 55121212 所以，即2)gMC?xx(5?S?PC5)x?xx(0?S 2525512552?)3S?(x?S有最大值3时，所以当 配方得：?x 25225?ABEAEABAEBEAE是等腰

29、三角形3.6时，（3）当或 3或 2 练习1 解： M 1 分 （1）点NB?tOM?2t t 秒时，（2）经过，oBCA?2ttAM?4?CN?3?45PQ ?1? ttMAQ3?QN? CN ? =则，2112192?t?t? ?AMgPQ?(4?S2t)(1?t)2?t?2?tS?t? AMQ 2224?12t0?tS的值最大 当时， 2oCN?3?tAM?4?2t?BCA45MAQ?t OM=NBtt 则，（3）存在设经过秒时， =，=2o90?AQMPQMQAPQMAMA若底边 上的高，则的中线是等腰Rt是底边111MA1?t?(4?AP?2t)t?PQ 222 M的坐标为（1，0）

30、 点 ot?1t2?1?t?490?QMAQPQMMAQM?QP? 与重合，此时若M的坐标为（2，0点） 练习2.解： (e?c，d)(c?e?a，d)）（1， A，B，C，DAE?BBxDA，D，ABC，于，分别过作轴的垂线，垂足分别为）分别过点2（作 11111 DF?CCFE， 于点1QBBCCABCDBACD?，在平行四边形，又中， 11y C o180?FCD?BCF?ABC?BCF?EBA?ABC )，dB(c F )fD(e，FCD?EBA E )bA(a，o90?CFDQ?BEA? 又，x BDACO 1111CFDBEA? bd?BE?CF?AF?DF?a?c? ，ac?e?xc?x?ae)yC(x， 由设，得)?bf?de?c?a，d?by?f?d?b?C(y?f? 由，得 e?a?c?e?am?m?cf?b?n?d?f?bdn? 3），或（，c(?27c)PPGS）可得为平行四边形的对角线，由（要使3在抛物线上， （4）若11220c?c?c)?(5c?3)?(?2c?7c4c 则有，即，2(?c?1P7)?c?0 （舍去），此时112，(3cPP(3，2)2c)SH1c?）可得3为平行四边形的对角线，由（，此时，同理可得 若22，P(1?2)c?2