二次函数模型

1、数学基础模块 上册 3.2.3 二次函数模型【教学目标】1. 理解并掌握二次函数的图象和性质；了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系；2. 通过教学，使学生初步掌握数形结合研究二次函数的方法；3. 渗透数形结合思想，渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生观察分析、类比抽象的能力【教学难点】函数对称性的分析与数形结合研究二次函数的方法【教学方法】 这节课主要采用启发式教学法和讲练结合法本节课通过对例题中的二次三项式进行代数分析，探究二次函数性质的由来，使学生从初中对二次函数的直观感知上升到理性认识的高度更重要的是在学习函数的一般通性之后，以二次函数为载体较系统地呈现数形结合研

2、究函数的方法，为后面学习其它函数的性质奠定基础【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导 入二次函数的一般形式：ya x2b xc (a0)，定义域是 R练习1 下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别指出二次项系数，一次项系数，常数项(1) y2 x23 x1； (2) yx；(3) y3(x1)21； (4) y(x3)2x2；(5) s32 t2； (6) v4 r2教师引导学生回忆二次函数的一般式，并让学生举例 学生口答教师在引导学生复习旧知识的同时，让学生自主探索新知识，激发学生获取新知的动力新课新课新课新课引例 在同一坐标系内作出下列函数的图象yx2， y2 x2， y3 x2，yx

3、2，y2x2，y3 x2观察图象并完成填空函数 ya x2 的图象，当a0时开口 当a0时开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 函数是 函数（用奇或偶填空）| a | 越大，开口越 例1 研讨二次函数f (x) x24 x6的性质与图象解 (1) 因为f (x) x24 x6(x28 x12)(x4)22由于对任意实数 x，都有 (x4)20，所以 f (x)2，并且，当 x4时取等号，即 f(4)2得出性质：x4时，取得最小值2记为 ymin2点(4，2)是这个图象的顶点(2) 当y0时， x24 x60，x28 x120，解得 x16，x22故该函数图象与 x 轴交于两点 (6，0)，(2，0)

4、y-2-6Ox-4-2(3) 列表作图以 x4为中间值，取 x 的一些值，列出这个函数的对应值表然后画出函数的图象观察上表或图形回答：1关于x4对称的两个自变量的值对应的函数值有什么特点？答：相同24h 与4h (h0) 关于 x4对称吗？分别计算4h与4h的函数值，你能发现什么？答：f (4h)f (4h)得出性质：直线 x4为该函数的对称轴函数在(，4上是减函数，在4，)上是增函数小结例2中的函数性质：1开口2最值3顶点4对称轴5单调性练习2(课本例3) 用配方法求函数 f (x)3 x22 x1的最小值和图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数，在哪个区间上是减函数？解：f (x)3

5、x22 x13(x2 x)13(x2 x)13(x)2所以 yf()，函数图象的对称轴是直线 x，在(，上是减函数，在，)上是增函数例2 研讨二次函数f (x)x24x3的性质与图象小结 二次函数的性质(表格见课件)例3 已知二次函数 yx2x6说出：(1) x 取哪些值时，y0；(2) x 取哪些值时，y0，x 取哪些值时，y0解 (1)求使 y0的 x 的值，即求二次方程 x2x60的所有根方程的判别式 D(1)241(6)250，解得：x12，x23(2)画出简图，函数的开口向上从图象上可以看出，它与x轴相交于两点(2，0)，(3，0)，这两点把x轴分成三段所以当x(2，3)时，y0当x

6、(，2)(3，)时，y0x-23-6y练习3 下列函数自变量在什么范围内取值时，函数值大于0、小于0或等于0(1) yx27 x8；(2) yx22 x8总结二次函数，二次方程，二次不等式三者之间的关系(表格见课件)师：如果 bc0，则一般式变为 ya x2 (a0)，下面我们先来研究这类函数的性质出示引例学生在初中已经重点学过二次函数的作图，所以教师只讲述 yx2的图象画法，其余5个函数的图象，学生分组合作解答，教师巡回观察最后通过屏幕演示，集体对照 生：观察图象，小组合作讨论然后每组选一名代表汇报各组的交流结果，最后师生一起汇总得出结论师生共同解决例1，教师详细板书解题过程，带领学生仔细分

7、析各个性质的由来教师引导学生观察图象可得出：函数的对称轴是直线 x4师:这个结论是否是正确的呢？教师通过问题1、2，引导学生证明上述结论正确学生模仿练习老师巡回观察点拨、解答学生疑难例2是二次函数中a0的类型，学生可类比例1，自己得出图象与性质例1与例2分别是二次函数中 a0，a0的两种类型，教师引导学生填表，自己总结出二次函数的性质表格，对比记忆例3板书详细的解题过程通过此例题，教师总结一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间的关系：求二次方程ax2bxc0的解，就是求二次函数：ya x2bxc(a0)的根；求不等式 a x2b xc0的解集，就是求使二次函数：yax2bxc(a0 )的函

8、数值小于0的自变量的取值范围；求不等式 a x2b xc0的解集，就是求使二次函数 ya x2b xc(a0)的函数值大于0的自变量的取值范围学生模仿练习老师巡回观察点拨、解答学生疑难通过引例，使学生进一步掌握二次函数图象的描点作图法，并根据所做图象来分析函数 ya x2 中系数 a 对图象的影响，提高学生读图能力学生合作，集体回忆初中所学二次函数的知识通过对例1中二次三项式的代数分析，使学生对二次函数的直观感知上升到理性认识的高度，更重要的是使学生掌握数形结合研究函数的方法，初步培养学生的画图、识图能力 分析图象与x轴的交点，一方面为描点作图，另一方面为下节研究函数与方程，不等式的关系做铺垫

9、对称性的教学设计是为了启发学生完成从直观到抽象、从感性思维到理性思维的升华教师让学生经历“观察发现验证归纳”四个过程，感受数学的严密性、科学性小结函数性质，将例1的分析条理化通过练习2，进一步练习配方法以及巩固二次函数的性质以表格的形式整理二次函数性质，使知识结构一目了然本例题有两种方法，方法一：在图象中用区间分析法，方法二；求一元二次方程或一元二次不等式的解集的方法教师在讲解时可根据学生的实际情况进行讲解和拓展方法一：在图象中用区间分析法是比较简单的一种方法，通过此法可进一步培养学生的读图，识图能力，培养学生数形结合的思想巩固用图象法解一元二次不等式的步骤利用表格总结，使所学知识系统化小结1二次函数的性