2017-2018期末随机过程试题及答案

1、1.设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式: P(BC A)=P(B A)P(C AB)。随机过程期末考试卷1 设随机变量X服从参数为的泊松分布，则X的特征函数为。2设随机过程X(t)二Acos(t+),-：vt：其中为正常数，A和门是相互独 立的随机变量，且A和“服从在区间10,1 1上的均匀分布，则X(t)的数学期望 为。3强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为_的同一指数分布。4设Wn ,n 一 1是与泊松过程：X(t),t - 0?对应的一个等待时间序列，则 Wn服 从分布。2.设X(t), t_0是独立增量过程,且X(0)=0,证明X(t), t_

2、0是一个马尔科夫 过程。5袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，r对每一个确定的t对应随机变量x(t)=3如果t时取得红球，则这个随机过et,如果t时取得白球程的状态空间。6 设马氏链的一步转移概率矩阵P=(pj)，n步转移矩阵P(n) =8(；)，二者之间 的关系为。7设汉.，n -0?为马氏链，状态空间I，初始概率Pi二P(X。二i)，绝对概率Pj(n)二PXn二j?，n步转移概率pjn)，三者之间的关系为 。8 .设X(t),t 一 0是泊松过程，且对于任意t2 t 0则PX = 6|X (3) = 4 =3. 设Xn,n 0?为马尔科夫链，状态空间为I，则对

3、任意整数n0,仁I 、证明题(本大题共4道小题，每题8分，共32 分)4.设N(t),t_O?是强度为，的泊松过程，Yk,k=1,2,|爪是一列独立同分布随机变N(t)量，且与:N(t),t -0独立，令 X(t)=v Yk,t _ 0,证明：若 E(Y；：)，贝Uk=1E X(t)丨-tE: Yf。2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在 2分钟内到达的顾 客不超过3人的概率。得分评卷人计算题(本大题共4道小题，每题8分，共32分)1.设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为1/32/30P =1/302/3，求其平稳分布 01/32/3,3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去

4、的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为：；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设=0.7,： = 0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的 概率。得分评卷人四、简答题(本题6分)简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系12 12 14 012 12 14 0=P4. 设有四个状态1=0，,2,3?的马氏链，它的一步转移概率矩阵0 00 014 140 1(1) 画出状态转移图；(2) 对状态进行分类；(3) 对状态空间I进行分解31iI31II 31，即3_： 2 ；：解得1n7,247厂3 -，故平稳分布为2 4(7,7,7)k -4 e k!，则7

5、1 -4e一. 填空题-.(it i)111.为 ee。 2. _ (sin(国t+1)-sincct) 。 3. _ 2 4,二 5 . _ It, 2t,|l(;e,e2HI。6 . P二Pn。7 . Pj(n) p： pjn)Q 3J记6ta8. 18e9。K(t )=H (t )+K(tsdM (s) 10.-二. 证明题1.证明：左边=P(ABC)P(ABC) PIAg) =p(CAB)P(B A)二右边P(A) P(AB) P(A)2.证明：当 0 ： t1 : t2 ： |l( : tn t 时，P(X(t) X X(tJ=X1,X(t 2)=X2,lX(tn)=Xn) =P(X

6、(t)-X(t nV-X-Xn X(tJ-X(O)=X 1,X(t 2)-X(0)=X 2,|X(t n)-X(0)=X n)=P(X(t)-X(t n)沁-Xn)，又因为P(X(t) XX(tn)=Xn)= P(X(t)-X(t n)沁-XnX(tn)=Xn) =P(X(t)-X(t nX-Xn)，故P(X(t)岂 XX(t1)=X1，X(t2)=X2，lX(tn)=Xn)=P(X(t) /X(tn)=Xn)3.证明：Pj(n)二 P：X(n)=j X(O)=i .； - P X(n)=j,Qx(l)=k X(0)=i = PX(n)=j,X(l)=k X(0)=i /kWI=、Plx(l)

7、=k X(O)=i 召PX(n)=j X(l)=k,X(0)=i 心 卩詁时-，其意义为 n 步转移概率可以用较低步数的转移概率来表示。4.证明：由条件期望的性质EX(t)丨-EE X(t) N(t) ?，而N(t)EX(t) N(t) = n卜 E 匡 Yi N(t) = n-i=1n n=E Yj N(t)二 n =E Yj =nE(YJ，所以 EX(t)丨- tEI 丫丿 ILi=1.i=1 三. 计算题(每题10分，共50分)1.解：=1.332=-n 1 +-H3322=兀c + 一兀332解：设N(t),t - 0是顾客到达数的泊松过程,PN(2) _N(2)=0 1+PN(2)=

8、1 ?+PN(2)=2 ?+PN(2)=3 ； = e-4 4e-4 8e-4 里e-43Poo Poi 丨 0.70.31 十口3解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为P= |，于是iPio Pii 一 0.4 0.6一P（2）= pp= 0.61 0.39 四步转移概率矩阵为 P（4）= p（2）p（2）=严749 0.4251，从p.52 0.48一0.5668 0.4332一而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为P0）=0.5749。4.解：（1）图略；（2）P33 =1,而P30, P31, P32均为零，所以状态3构成一个闭集，它是吸收态， 记Ci= 3?； 0, 1两个状态互通，且它