复变函数复习

1、.不考内容复变函数第一章： 2.2 复球面 2.4 区域 5 第二部分：映射的概念 6 复变函数的极限与连续性第四章 1 复数项级数 第五章 3 留数在定积分上的应用积分变换第一章： 傅立叶变换第二章：4 卷积注意：第二章一般不算积分，除了周期函数的公式以外。 12 / 12. 复变函数复习第一章 复数与复变函数1.复数的表示(1)复数的代数表示:复数z = x + i y ,其中x,y为实数.(2)复数的几何表示:复数z = x + i y可以用xy平面上的点P(x,y)来表示,因而也能用原点指向P点的平面向量来表示.(3)复数的三角表示:复数复数的模 复数的辐角Argz=, , 复数的辐角

2、的主值argzArgz=argz+2k(k为整数). 规定-argz 当时,|z|=0,辐角没有意义.当时,|z|=+,没有实部,虚部和辐角.argz()与反正切的主值的关系： 第一、四象限 x0第二象限 x0,y0第三象限 x0,y0正虚轴 x=0,y0负虚轴 x=0,y0负实轴 x0,y=0(4)复数的指数表示：2.复数的运算设z1= x1+iy1=, z2 = x2+iy2(1)相等 z1= z2 x1=x2 y1=y2(2)加(减)法 z1z2=(x1x2)+i(y1y2)(3)乘法 z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2) (4)除法 =+i (z20)(5)乘幂

3、特别 |z|=1时, (cos+isin)n=cosn+isinn (棣莫弗公式)(6)方根 (7)共轭 = x-iy=re-i , =, , ; ; ; , . 注意:(1)在复数的运算中,除加减法用代数表示较方便外,其它运算宜采用三角表示,特别是用指数表示最方便. (2)关于复数的模与辐角有以下计算公式: , , = (z20)3.复变函数的概念复变函数的定义,极限,连续以及导数等概念在形式上几乎与实变函数完全相同.但需注意的是,复变函数的定义域是复平面上的点集,因此在讨论有关概念时,应注意复变量z变化方式的任意性,即zz0可以以任意方式(直线,曲线),而一元实变函数中实变量xx0只能沿x

4、轴.4.简单曲线是研究复变量的变化范围时经常用到的重要概念之一,特别是简单闭曲线经常作为区域的边界出现.在复变函数的积分运算中,常常需要把曲线表示为复参量的形式,通常用得最多的是一元实参量t的复值函数 z=z(t)=x(t)+iy(t) (t) 其中 x=x(t), y=y(t) (t) 是该曲线在直角坐标系中的参数方程.第二章 解析函数1. 复变函数的导数 (1)定义 函数w = f (z)在其定义域D内一点z 0处(可导)的导数若函数w = f (z)在区域D内处处可导,称 f (z)在D内可导. (2) f(z)在z 0可导 连续(3)求导法则 若f(z),g(z)在点z可导,则(b为复

5、数); ; ; , . ,其中 . ,其中与是两个互为反函数的单值函数,且 .2.解析函数(1)定义 如果函数f(z)在z 0及z 0的邻域内处处可导,那末称f(z)在z 0解析.如果f(z)在z 0不解析,则称z 0为f(z)的奇点. 如果f(z)在区域D内每一点解析,那末称f(z)在D内解析,或称f(z)是D内的一个解析函数.(2)性质 两个解析函数的和,差,积,商(分母不为零)及复合函数仍然解析有理分式函数在复平面内除了使分母为零的点外处处解析 (3)柯西-黎曼方程 (C-R方程) 函数在定义域D内(解析)一点可导u(x,y)与v(x,y)在(D内)点(x,y)可微,并且满足C-R方程

6、,.推论 若f (z)在z处可导, 则 .3.初等函数 定义 定义区域 单值多值性 解析区域(1) 对数函数Lnz=lnz+2 ki 整个复平面 多值 整个复平面 (z0) (除原点和负实轴)(k=0,1,2,) 主值分支(2)乘幂 a b = e bL n a=eblna+2bkpi 多值(k=0,1,2,) 主值分支e b l n ab为正整数n 单值 整个复平面 n个分支 (除原点和负实轴)定义 定义区域 解析区域 单值多值性 基本周期 奇偶性(3)指数函数 ez(4)双曲函数 2pi 偶 整个复平面 单值 奇(5)三角函数 2p 偶 奇 第三章 复变函数的积分 1.积分的计算 光滑曲线

7、C参数方程: , 正向t增加 C是包围z0的任何一条正向简单闭曲线2.积分的性质 f(z),g(z)沿曲线连续(1) ;(2) ;(k为常数)(3) (4)设曲线C的长度为L,函数f(z)在C上满足,那末 .3.柯西-古萨基本定理 如果函数f(z)在单连域B内处处解析，那末函数f(z)沿B内任何一条封闭曲线C的积分为零: .推广:(1)闭路变形原理 在区域内的个解析函数f(z)沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值,只要在变形过程中曲线不经过f(z)的奇点. (2)复合闭路定理 设C为多连域D内的一条简单闭曲线，C1，C2，Cn是在C内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并

8、且以 C，C1，C2，Cn为边界的区域全含于D.如果f(z)在D内解析,那末1) ,其中C及Ck均取正向.2) ,这里为由C及Ck（k=1，2，n）所组成的复合闭路,其方向是:C逆时针，Ck顺时针. 推论:(1) ,是连结z0与z1的任一曲线. (2)函数必为B内的个解析函数,并且.5.原函数 如果在区域B内/(z)=f(z),那末(z)称为f(z)在区域B内的原函数 不定积分 ,其中为任意复常数. ,其中z0 ,z1是B内任意两点6.柯西积分公式 如果f(z)在区域D内处处解析,C为D内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z0为C内的任一点,那末 解析函数f(z)的导数仍为解析函数

9、,上式两边形式上对z0求n阶导数得到 高阶导数公式 .7.调和函数 如果二元实变函数(x,y)在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程 ,那末称(x,y)为区域D内的调和函数任何在区域D内解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部和虚部都是D内的调和函数,并且其虚部v(x,y)为实部u(x,y)的共轭调和函数.8.已知实部或虚部求解析函数(1)偏积分法 如已知u(x,y),可利用柯西一黎曼方程 ,将x当成常数,对y积分得 ,再利用 确定g(x).也可以利用 ,将y当成常数，对x积分得 ,再利用 确定h(y).(2)不定积分法 由于 , 利用柯西一黎曼方程得到 ,则 .或 ,

10、则 .第四章 级数1.幂级数 形为或 的级数称为幂级数.(1)阿贝尔定理 如果级数在收敛,那末对满足的z,级数必绝对收敛. 如果在级数发散,那末对满足的z,级数必发散.(2)对于幂级数或 ,存在以a或0为中心,R为半径的圆周CR.在CR的内部,级数绝对收敛;在CR的外部，级数发散.圆周CR称为幂级数的收敛圆,收敛圆的半径R称为收敛半径. 特别1)R=0,级数在复平面内除原点外处处发散2)R=,级数在复平面内处处收敛 (3)对于幂级数,如果或那末收敛半径 .(包括R=0或R=)(4)在收敛圆内幂级数的和函数f(z)是解析函数.在收敛圆内,式,可进行有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积

11、分运算.2.泰勒级数 函数f(z)可在以展开中心z0为圆心,z0到f(z)的最近的一个奇点a的距离为半径R=|a-z0|的解析圆域|z-z0|R内展开为泰勒级数.泰勒展开式具有唯一性,因此可以借助于一些已知函数的展开式,利用幂级数的有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算来得出一个函数的泰勒展开式. 常用的已知函数的展开式为 , . 3.洛朗级数 函数f(z)可在以展开中心z0为圆心的解析的圆环域R1|z-z0|R2内展开为洛朗级数 , 其中 这里C为在圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线.洛朗展开式具有唯一性,因此也可以借助于已知函数的展开式,利用幂级数的有理(加,减.乘法)

12、运算,代换(复合)运算和微积分运算来得出一个函数的洛朗展开式. 第五章 留数1.孤立奇点的概念和分类 (1)定义 如果函数f(z)虽在z0不解析，但在z0的某一个去心邻域内处处解析，则将z0称为f(z)的孤立奇点. (2)孤立奇点的分类和判定z0为f(z)的 f(z)在z0的去心邻域内的洛朗级数 可去奇点 存在且有限 没有负幂项极点 有限多个负幂项本性奇点不存在且不为 无穷多个负幂项z0是f(z)的m级极点 ,其中g(z)是在内解析的函数，且 . (3)函数的零点及其与极点的关系不恒等于零的解析函数f(z)如果能表示成 其中在z0解析并且,m为某一正整数,那末z0称为f(z)的m级零点.如果f

13、(z)在z0解析，那末z0为f(z)的m级零点 z0是f(z)的m级极点z0是的m级零点. 如果,而z0是g(z)的m级零点,h(z)的n级零点,那末z0为的(n-m)级零点,为f(z)的(n-m)级极点.(4)函数在无穷远点的性态如果函数f(z)在无穷远点的去心邻域内解析，那末称点为f(z)的孤立奇点.f(z)在内的洛朗展开式 其中 , C为内绕原点的任一正向简单闭曲线.洛朗级数 z=是f(z)的 没有正幂项 可去奇点 存在且有限 有限正幂项(最高m次) 极点(m级) 无限正幂项 本性奇点 不存在且不为 2.留数与留数的计算(1)留数定义 如果z0为f(z)的一个孤立奇点,C是z0的去心邻域 内包围z0的任意一条正向简单闭曲线,函数f(z)在此邻域内展开成洛朗级数 , 则f(z)在z0处的留数 (2)留数定理 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析.C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那末 (3)留数的计算1)可用洛朗级数计算