二次根式知识点典型例题习题

1、21.1二次根式知识点1. 二次根式的相关概念：像这样一些正数的算术平方根的式子， 我们就把它称二 次根式。因此，一般地，我们把形如.a (a0)的式子叫做二次根式，“” 称为二次根号。二次根式a的特点：(1) 在形式上含有二次根号.,，表示a的算术平方根。(2) 被开方数a 0,即必须是非负数。(3) a可以是数，也可以是式。(4) 既可表示开方运算，也可表示运算的结果。2. 二次根式中字母的取值范围的基本依据：(1)被开方数不小于零。(2)分母中有字母时，要保证分母不为零。3.二次根式的相关等式：.a2二a (a 一0)”a(a 王 0) a(a 0，解得x3.点评： 本题考查的是函数自变

2、量取值范围的求法. 函数自变量的范围一般从三 个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表 达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被 开方数是非负数.变式二：若式子丘1有意义，则x的取值范围是 x考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件.分析：根据二次根式及分式有意义的条件解答即可.解答： 解：根据二次根式的性质可知：x+10,即x- 1,又因为分式的分母不能为0,所以x的取值范围是x- 1且x丰0.点评：此题主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子 a (a0)叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数， 否则二

3、次根式无意义；当分母中含字母时，还要考虑分母不等于零.3. 二次根式的相关等式例题三：对任意实数a,则下列等式一定成立的是()A. Pa =aB.Ja?= -aC.Va2=aD.Ua2 = a考点：二次根式的性质与化简.专题： 计算题.分析： 根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断.解答： 解：Aa为负数时，没有意义，故本选项错误；B、a为正数时不成立，故本选项错误；C、TO2 = a，故本选项错误.D故本选项正确.故选D.点评：本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键.练习题1 .下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

4、2、33、丄、-x (x0 )、x2、当x是多少时，3x -1在实数范围内有意义?13、当x是多少时，.2x 3 + 在实数范围内有意义？x+14、下列式子中，是二次根式的是（）A - . 7 B 3 7C.、一 xD. x5 .下列式子中，不是二次根式的是（）A.、4B.16C. , 8D.-x6 .已知一个正方形的面积是 5，那么它的边长是（）A . 5 B . ,5 C1D .以上皆不对57 .形如的式子叫做二次根式.8 .面积为a的正方形的边长为9. 负数平方根.10、计算1 . ( x 1 ) 2( x 0)2. ( a2 ) 2(a2 2a 1)4. ( -4x2 1 9)课后作业

5、?底面应做成1. 某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为 0.2m，按设计需要,正方形，试问底面边长应是多少？2. 当x是多少时， 2x +x2在实数范围内有意义?x3.若 j3-x + Jx -3 有意义，则 Jx2 =.4使式子. -(x -5)有意义的未知数x有()个.A. 0B. 1C. 2 D.无数5已知a、b为实数，且 Ja匚5+2 .10匚2a =b+4，求a、b的值.6、计算(1 )(79)2(2)-(73 )2( 3)(丄76) 2(4)(-3丿？ ) 22V3(2、3 3、&)(2 3 -3、2)练习题与课后作业答案练习题 1、解：二次根式有：J2、丘(x0)、J

6、0、-J2、Jx + y (x 0, y 0)；不是二次根式的有：3 3、-、4 2xx + y11,2、解：由3x-10,得：X,当X 时，/3x -d在实数范围内有意乂.333、解：依题意，得2x x+0由得：x-|由得：XH -131当x-3且*-1时，”3+刀在实数范围内有意义.4. A 5. D 6. B7.a (a0)a 9 .没有10、解：(1)因为X0，所以x+10(x 1 ) 2=x+1(2)v a20,(.a2 ) 2=a22 2(3)v a +2a+1= (a+1)又( a+1) 2 0,二 a2+2a+1 0a2 2a 1 =a2+2a+12 2 2 2(4)v 4x-

7、12x+9= (2x)-2 2x 3+3 = (2x-3)又( 2x-3) 204x2-12x+9 0,.( 4x22 2-12x 9) =4x -12x+9作业题1 .设底面边长为x，则 0.2x2=1,解答：x= 5 .2.依题意得:2x I，3当 x-且 xm 0 时,22x 3 4 5 + x2在实数范围内没有意义.x6、. (1)(馬)2=9(2) - (、，3 ) 2=-3(4) (-32)2=9X 2 =6(5)-6321.2二次根式的乘除法知识点1.二次根式的乘法, a b = ab(a _ 0,b _ 0).ab = . a . b（a _ 0, b _ o）2. 二次根式的

8、除法有两种常用方法：（1）利用公式： aa（a 一0,b0）7b ba 、. a、=（a-0,b0）b . b（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算3. 化简二次根式的步骤：（1）将被开方数尽可能分解成几个平方数（2）应用 iab a 飞 b（3）将平方式（或平方数）应用. a2 =a（a_0）把这个因式（或因数）开出来, 将二次根式化简。相关例题 二次根式的乘法及其化简 例4 .计算(1),5 x、7(21 x、9(3) . 9 x、, 27(4 ； x 6分析：直接利用 a b = . ab (a0, b 0)计算即可.解: (1) 、. 5 x 、7 = . 35(2)、1

9、x、9=3 9=、3(3),9 x、27 =、9一27 二,92 3=93(4)变式四化简(1).9 16(2)16 81(3) , 81 100(4)9x2y2(5)54分析：利用ab=、a b (a0, b0)直接化简即可.解：(1 ),9 16-9 x , I6=3x 4=12(2)16 81= 16 x 81 =4x 9=36(3).81 100= 81 x ,100 =9x 10=90(4).9x2y2 =、32 x , x2 y2 =、, 32 x x2 x . y2 =3xy(5),54= 9 6 = 32 x 6 =3、6二次函数的除法及其化简例题五计算：（1） 1231J二(

10、3) 、 .28V4 V16分析：上面4小题利用=、4 =2解: (1) 12V3(3)(4)(2)(4)帀48、ab = b(a 0,b0）便可直接得出答案.3(2)=、3 4 = i 3 x =23284.16, 4 164 16 4=2变式五化简:(1)(2)=、.8=2 .2,64.8 =64b29a2(3)9x64y2(4)5x169y2分析：直接利用：=；（a0, b0）就可以达到化简之目的.解:（ 1）3 _3 _ if64= 648(2)64b2. 64b29a2. 9a28b3a9x 、9x(3)(4)5x_ V5x /5x 169y2. I69y213y练习题1.计算i 1

11、； J 21 J 12的结果是（）.B.C.D.2 阅读下列运算过程:鹿 73= =3 3.332、5253 .分母有理化： - =3迈1；(2).12 =；(3)畀=2.54. 已知x=3, y=4, z=5,那么yfyzJxy的最后结果是 .5. 已知字|=乎|，且x为偶数，求（1+x） Jx2；254的值.6. 观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式:1 一仆（血-1）迈-jQ2 1 （*2 1）（.2 -1）2-113-，23-21 二仆(73-72)一3 2 = (*32)( .3-2)同理可得：/厂3，从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算解：原式=(

12、令2 -1+ /3 -2 + -, 4 - -13 +、丄2002 - 、. 2001) x( _ 2002 +1)1 , , , , 亍1 +的 +渥 + “+頂+002+0001)32002+1)的值.答案1.A 2. C3.； F；（3）10 _、25 丄25分析：式子a a b= .b,只有a0, b0时才能成立.因此得到9-x0且x-60,即6 0）I a +12. a卜苛 化简二次根式号后的结果是 .3已知=竺，且x为偶数，求（1+x） J三疋4的值.Yx-6 Jx-6 x -14.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长与宽之比为3 : 1 , ?现用直径为cm的一种圆木做原料加

13、工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？5. 计算(1)(m0, n0)(a0)6 .已知a为实数，化简： J-a3 -aj 1，阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，？请写出正确的解答过程：7 .若x、y为实数，且y=求.x y x_y 的值.答案 1. x x y 2. -a_1b0时才能成立.x=8.解：由题意得9 -x _0x-6 0，即x _9因此得到9-x0且x-60,即6xw 9，又因为x为偶数，所以/ 6x 9/ x为偶数/ x=8原式=(1+x)(x-4)(x-1)(x 1)(x-1)=(1+x)x -4x 1=(1+x)=_(1 x)(x-4)当x=8时，原

14、式的值=.79=6.4.设：矩形房梁的宽为 x ( cm),则长为J3xcm,依题意,得: (、3x) 2+x2= (3 .15) 224x =9X 15, x=(cm),曲=罟 3 (Cm2).5.n _ n 2m3 =- m22m3n2 m2n n n - n =3 ” n mm m(2)原式=-23(m n)(mn)a2a2 A、 A、m + n m n2a26.不正确，正确解答:因为 1 ，所以a0.a原式=i _aLa2 -a _ 2 = J-a J a -a ._ =-a 寸a + J-a =(1-a) a a. alx 4017. v2/ x-4=0,. x=2，但T x+2m

15、0,. x=2, y= 4-X 04.x y , x-y = x2 -y2 二21.3二次根式的加减法知识点1. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这 几个二次根式就叫做同类二次根式。2. 二次根式加减运算的步骤：（一化，二找，三合并 ）（1）将每个二次根式化为最简二次根式。（2）找出其中的同类二次根式。（3）合并同类二次根式3. 二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然 适用。相关例题同类二次根式例题七计算(1),8+ ,18( 2) -16x +、64x第二步，将相同的最简二分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;次根式

16、进行合并.解: (1)、.8 + .18=2、2+32= (2+3)2 =5、2(2) . 16x +64x =4 . X+8 . X = (4+8)X =12 . X变式七 已知 4x 2( 2x-1)+ (y-3)=0+y2-4x-6y+10=0，求（|/9x +2二）-（ J丄“（丄）的值.2 2分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1） + （ y-3） =0,1即x=- , y=3.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，？再合并同2类二次根式，最后代入求值.2 2解：T 4x +y -4x-6y+10=02 21c x= , y=3/ 4x

17、 -4x+1+y -6y+9=0=x x +6 . xy当 x=1, y=3 时，2原式=X * I +6 +3 /62 V2 V24注意 (1)不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；(2)相同的最简二次根式进行合并.二次根式的加减计算：例题八 (i)(. 6 +、8)x( 2)( 4、一 6-3)+ 2 2分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，？所以直接可用整式的运算规律.解: (i)( . 6 + .8)x 3=6 x 3 + 8 x3= 18+ .24 =32+2 6解：(4 , 6 -3 2 )+ 2 i 2 =4 6 十 2、2 -3、 2 -2 2 =2“-32变式

18、八 已知-_ =2- a，其中a、b是实数，且a+bz 0,abx 1 -、x 、x T x化间 +，并求值.VFm +Vx-vx分析：由于( x 1 x ) C- x 1 x ) =1,因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可.解：原式=2右-五)2 +_(Jx +1 +1x)( Jx +1 -/x) (Jx+1 _)(Jx + 1 +奴)(；x 1 - . X)2 (、X 1 x)2= +(x 1)-x (x 1)-x=(x+1) +X2 x(x x+皤 x(x 1=4x+2x-bx -aa =2 - b b (x-b ) =2

19、ab-a (x-a ) bx-b2=2ab-ax+ a2 ( a+b) x= a2 +2ab+b2 ( a+b) x=(a b)2/ a+b* 0 x=a+b原式=4x+2=4 (a+b) +2二次根式的混合运算例题九下列运算正确的是（）A. 25 = 5B. 4 3 - 27 =1（24=6D.2考点：二次根式的混合运算。分析：根据二次根式运算的法则，分别计算得出各答案的值，即可得出正确答案.I解答：解：A . v 25 = 5,二故此选项错误;B .4丿3 -J2 = O3 3石=J3，二故此选项错误;C.18 一 2 =9 = 3 ,故此选项错误；点评：此题主要考查了二次根式的混合运算，

20、 熟练化简二次根式后，在加减的过程中， 有同 类二次根式的要合并；相乘的时候， 被开方数简单的直接让被开方数相乘， 再化简；较大的 也可先化简，再相乘，灵活对待，变式九计算：考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幕.分析：（1）各项化为最简根式、去绝对值号、去括号，然后进行四则混合运算即可;解答：（1）18- 1- . 21血 1 2）解：原式=3.2 -2 . 2 -12 = 3 21点评：本题主要考察二次根式的混合运算，分式的混合运算，负整数指数幕，解题的关键在于首先对各项进行化简，然后在进行运算练习题1. 下列根式中，与、3是同类二次根式的是（）A. . 24 B. .12

21、 C. D. 182. 下面说法正确的是（）A.被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B. 、8与、80是同类二次根式C. .2与，二不是同类二次根式D. 同类二次根式是根指数为2的根式3. 一个三角形的三边长分别为、8cm,、12cm,、18cm,则它的周长是 _cm4. 已知 x =+72, y = 73_血，贝U x3y + xy3 =5. 计算：.2、12.、48-、,54“23-，3 加.7 43 7-4,3 - 3.5-1 22 2 2 2.1 &1.31-一21-3答案1.B 2.A3. 52 2.3 ; 4. 10 ;5. 1 .2 3, 2 .4,3 一 32, 3 . 一

22、45 6、5, 4 .4 ;课后作业4. 下列根式中，是最简二次根式的是（）A. . 0.2b B. 、12a-12b C. . x2 - y2D.5ab25. 若1YxY2，贝U -4x x x2 2x 1化简的结果是（）A. 2x_1 B.-2x 1 C. 3 D. -36. 若,18x 2 2 X 2 =10，则x的值等于（A. 4 B._2C. 2 D._47. 若、3的整数部分为x，小数部分为y，则一 3x-y的值是（）A. 3、.33 B. ,3 C. 1 D. 3a - b a b - 2、aba - . b . a - . b x7?_y依 yVx + x77 x 乔+ yVx

23、 y4x-xypy.a 2 ab b . a _ l a-ba亠匕ab18.已知:4322x y 2x y x yx3 - xy2的值答案1.C 2.C 3.C 4.C 5.1 .4, 2 .2 b, 3 . 2 y , 4 .1;y-x6. 5 ;二次根式单元练习题一、选择题1.使.3-x 1一有意义的x的取值范围是（）712.一个自然数的算术平方根为a a 0 ,则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为（(A) a -1,a 1 ( B) , a -1, , a 1(C)a2 -1,、a2 1 (D) a21,a2 13 .若 xcO，贝U jTx2 -x 等于(A) 0(B) -2x

24、(C)2x(D) 0 或 2x4 .若a 0,b0，则-a3b化简得（a . -ab(D) a . ab(A) -a , -ab(B) -a、一 ab(C)11- y25 .若Jy - 二m，则 y的结果为(Jyy(A) m2 2(B) m2-2(C) i m 2(D). m -26. 已知a,b是实数，且 a2ab b2 -a，则a与b的大小关系是（(A) a : b(B) a b(C) a 一 b(D) a 汕7. 已知下列命题:=2：；，5 ;J(3 兀)2 3兀=6; a2 +(, 丫 =(a+3 a3 )； J a2 + b2 = a + b .其中正确的有（(A) 0 个(B) 1

25、 个(C) 2个(D) 3个与,.2：3化成最简二次根式后的被开方数相同,则 m的值为9.当a兰扌时，化简J14a+4a2 +|2a-1等于（(A) 2(B) 2-4a(C) a(D) 010 .化简 4x2 -4x 1 - 2x匚3 得(A) 2(B) -4x 4(C) - 2(D) 4x-4二、填空题11 .若2x +1的平方根是5，贝U J4x +1 = .12 .当x时，式子（5 3x有意义.13.已知：最简二次根式 4a b与弋云的被开方数相同，则a .14 .若x是.8的整数部分，y是；8的小数部分，则x=， y = .15 .已知 2009 = xy，且0 ： x ： y，则满足上式的整数对 x, y有16若1 5届2尽10届2員.故选：B.3. 解：T x+y= - 2a, xy=a （a）,x, y均为负数,2.-I故选：D.解：T ab0, a+bv 0, av 0,bv 0(灯- b，“已b 寸：=U ab*故选：B.?= - b,（故正确）.5.解：血弱=3届何在15典，岳&6體