勾股定理的史料及应用

1、学习必备欢迎下载勾股定理的历史勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高 定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这个定理有十分悠久的历史， 几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。 勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉 斯（Pythagoras，公元前572?公元前497?）于公元前550年首先发现的。但毕 达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的

2、希腊数学家欧几里得（Euclid ,公元前330公元前275）在巨著几何原本 （第I卷，命题47）中给出一个很 好的证明。（右图为欧几里得和他的证明图）中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作一一周髀算经的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段 丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形矩得到的一条直角边勾等于3,另一条直角边股等于4的时候，那么它的斜边弦就必定是5。这个原理

3、是大禹在治水 的时候就总结出来的呵。”如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前 1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年 。其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股H4C K 4 miu定理”是非常恰当的。在稍后一点的九章算术一书中（约在公元50至100年间）（右图），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的勾股章说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作 理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，

4、是三国时期吴国的数学家赵爽。赵 爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证 明（右图）。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展，只是具体图形的分合移补略有不同而已。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明， 在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法， 更具有科学创新的重

5、大意义。勾股定理的证明据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。下面我便向大家介绍几种十分著名的证明方法。【证法1】（赵爽证明）以a、b为直角边（ba）,以c为斜边作四个全等的直角三角-ab形，则每个直角三角形的面积等于2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状/ Rt DAH 也 Rt ABE, / HDA = / EAB/ / HAD + / HAD = 90o, / EAB + / HAD = 90o, ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2./ EF = FG =GH =HE = b a , / HEF = 90 o. EFGH是一个边长为b a的正方形，它的面积等

6、于b 一 a .4 丄ab b-a 22b2【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.cc从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.即22121a2 b2 4 ab 二 c2 4 ab22222,整理得 a +b=c .【证法3】（1876年美国总统 Garfield 证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直!ab角三角形的面积等于 2 .把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上/ Rt EAD 也 R

7、t CBE, / ADE = / BEC/ AED + / ADE = 90 o, / AED + / BEC = 90o./ DEC = 180o 90o= 90 o.1 2 c DEC是 一个等腰直角三角形，它的面积等于2又/ DAE = 90o, / EBC = 90 o, AD / BC ABCD是一个直角梯形,1 2 1 1 2a b 2 ab c2 2 2它2（a+bf的面积等于a2+b2=c2.【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏 黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个 小石凳上，有两个

8、小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心 驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身 子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4,那么斜边长为多少呢？ ”伽菲尔德答到：“是 5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了,心理很不是滋味。于

9、是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过 反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的这一证法。第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。【证法4】（欧几里得证明）做三个边长分别为 a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C B三点在一条直线上，连结 BF CD 过C作CL丄DE交AB 于点M,交DE于点L./ AF = AC , AB = AD，/ FAB = / GAD - FAB 也 GADla2/ FAB的面积等于218

10、81 年,1876年4月1日，伽伽菲尔德就任美国矩形ADLM的面积= 正方形ADEB的面积222卄c =a b ,即, GAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半,2 2 a .同理可证，矩形 MLEB勺面积=b .=矩形ADLM的面积+矩形MLEB勺面积2 2 2a +b =c【证法5】（利用相似三角形性质证明） 如图，在Rt ABC中，设直角边 AG BC的长度分别为a、b,斜边 的长为c,过点C作CDL AB,垂足是 D.在厶 ADCDA ACB中，/ ADC = / ACB = 90o , / CAD = / BAC,2A ADC s A ACB AD： AC = AC : AB,即 A

11、C = AD *AB.2同理可证,A CDB s a ACB从而有BC =BDAB. . AC2 BC2 hAD DB AB =AB2 即 a2 b2 =c2【证法6】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形1ab的面积等于2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上， C G D三点在一条直线上./ AHE = / BEF/ AEH + / BEF = 90 o. / HEF = 180 o 90o=/ Rt HAE 也 Rt EBF, / / AEH + / AHE = 90o, 90o.四边形

12、EFGH是一个边长为/ Rt GDH也 Rt HAE, / / HGD + / GHD = 90o, c的正方形.它的面积等于cl/ HGD= / EHA/ EHA + / GHD = 90o.又/ GHE = 90o, / DHA = 90o+ 90 o= 180 o.ccaBA a2 a + b的正方形，它的面积等于 a b . ABCD是一个边长为2 1 2 . f 4b）=4 运 ab1-a b crr2 rc4 r2 rc 二 2ab2 2.2 2 c ,a b cB 200m c520ma2 +b2 =c2.【证法7】(利用切割线定理证明)在Rt ABC中，设直角边 BC = a

13、, AC = b，斜边 AB = c .如图，以B为圆心a为半径作圆，交 AB及AB的延长线分别于 D E,贝U BD = BE = BC = a.因为/ BCA = 90o,点C在O B上，所以 AC是O B的切线.由切 割线定理，得AC2 =AE AD = (AB+BEIAB-BD /c + ag-a)= c2 - a2,2 2 2 2,2 2即 b =c a a +b =c .【证法8】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ABC中，设直角边 BC = a , AC = b，斜边 AB = c .作Rt 切圆O O,切点分别为 D E、F （如图），设O O的半径为r./ AE = AF

14、, BF = BD , CD = CE,. AC BC - AB 二 AE CE BD CD - AF BF=CE CD = r + r = 2r,即 a b - c = 2r ,2.222i 2k2a + b =2r +c.（a + b ） =（2r +c ），即 a + b +2ab = 4（r + rc ）+c1SM=2ab,. 2ab=4S幽bc ,又S abc - S aob S.boc S.aoc12 2r c c r =2 =.4 r rc =4S abc ,.a2 b22ab = 2ab勾股定理的应用一、填空题1. 在 Rt ABC中，/ C=90,若 a=5 , b=12 ,

15、贝U c=;若 a=8 ,c=10 ,贝U b=;若 c=61, b=60 ,贝U a=;若 a : b=3 : 4 ,c=10 贝 H Sabc=2如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m ,结果他在水中实际游了520m ,求该河流的宽度为 。3 .女口图，/ OAB= / OBC= / OCD=90 , AB=BC=CD=1 , OA=2 ,则od2=.4. 已知直角三角形两直角边的长分别为3cm,4cm,第三边上的高为.5. 等腰 ABC中，AB=AC=17cm BC=16cm 贝U BC边上的高 AD=。6在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵

16、风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是 m。7 .在 ABC中,若 A扌 + BC2 = AC2,则/ A + / C=8 .如图，直角三角形的两直角边长分别是6cm和8cm,则带阴影的正方形面积是 。9.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形 A, B, C, D的面积之和为2 cm。10.在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走 到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶 D后直接跃到 A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这 棵树高米。O。CD1A/t7cm11二

17、选择题1 .已知一个 Rt的两边长分别为 3和4,则第三边长的平方是（）A、25B、14C、7D、7 或 252 .在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别为8、2，则较长直角边长为（BDA5B4C3D23.如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站 A,在水塔的东南方向24m处有 一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（）A45cm B40cm C50cmD56cm4 小丰妈妈买了一部 29英寸（74cm）电视机，下列对29英寸的说法中正确的是)ABDC东南rAA.小丰认为指的是屏幕的长度；B.小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度C.小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长；D.售货员认为指的

18、是屏幕对角线的长度5 .已知，如图长方形 ABCD中, AB=3cm AD=9cm将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为 EF,则厶ABE的面积为（）2 2 2 2A、6cmB、8cmC、10cmD、12cm6 .已知，如图，一轮船以 16海里/时的速度从港口 A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口 A出发向东南方向航行， 离开港口 2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里7 .如图，正方形网格中的ABC，若小方格边长为1，则 ABC是（ ）（A）直角三角形（B）锐角三角形（C）钝角三角形（D）以上答案都不对8.男孩戴维是城里的飞盘冠军， 戈里是城里最可恶的踩高跷的人， 两人约 定一比高低戴维直立肩高 1.5米，他投飞盘很有力，但需在 13米内才有 威力；戈里踩高跷时鼻子离地 6.5米，他的鼻子是他惟一的弱点. 戴维需离 戈里（） 远时才能刚好击中对方的鼻子而获胜.A. 13 米 B . 12 米 C. 8 米 D . 5 米