因式分解专题4_用十字相乘法(含答案

1、4、用十字相乘法把二次三项式分解因式【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式2x （a b）x ab hx a X b进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的 两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。对于二次三项ax2 bx c （ a、b、c都是整数，且a 0 ）来说，如果存在四个整数a1， c，a2， c2 满足 a1a a， qq = c，并且 a1c2 - a2C| = b，那么二次三项式2 2ax bxc 即 a1a2x-a1c2-a2c1x- c1c2 可以分解为a1x-c1a2x -c2。这里要确定四个常数a1，c1，a2，q

2、，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。【分类解析】1.在方程、不等式中的应用2例1.已知：x - 11x240，求x的取值范围。分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。解：x2 -11x 24 0.x -3 x -80x - 30lx 8 - 0或 x - 3 ” 0x - 8 ： 0将它与原式的各项系数进行对比，得：a b-1, m=1, 2a-b - -2m解得：a - -1, b =0, m =12 2此时，原式二x 2 x -x-1(2)设原式分解为 x2 cx-2 x2 dx

3、1，其中c、d为整数，去括号，得:x4 亠c d x - x2 亠c - 2d x - 2将它与原式的各项系数进行对比，得：c d - -1，m - -1，c-2d - -2m解得：c=0， d = -1，m=-12 2此时，原式二x -2 x -x 12.在几何学中的应用例.已知：长方形的长、宽为x、y,周长为16cm，且满足2-2xy - y *2=0，求长方形的面积。分析:要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。解：-x - y - x2 2xy - y22=0-2xy y2 | i x - y _ 2 二 0、2x2(x -y)2 - x - y -2 =0x-y-2

4、x-y1 =0x-y-2 = 0 或 x-y1=0 又 x y = 8x _ y 1 二 0=35x y =8解得：厂5或(x|_y = 3y = 4.5632长方形的面积为 15cm2或cm43、在代数证明题中的应用2 2例证明：若4x-y是7的倍数，其中x，y都是整数，则8x 10x3y是49的倍数。分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成 49与一个整数的乘积的形式。2 2证明一：8x 10xy-3y = 2x 3y 4x - y2 2x 3y = 4x 6y = 4x - y 7y/ 4x - y是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数） 2 2x 3y是7的倍数而2与7互质，因此，

5、2x 3y是7的倍数，所以8x210xy-3y2是49的倍数。证明二： 4x - y是7的倍数，设4x - y = 7m （m是整数）贝U y = 4x -7m2 2又 8x 10xy-3y = 2x 3y 4x - y2x 12x -21m 4x -4x 7m=7m 14x -21m=49m 2x -3m/x, m是整数， m2x-3m也是整数2 2所以，8x 10xy -3y是49的倍数。4、中考点拨例1.把4x4y2 5x2y2 9y2分解因式的结果是 。解: 4x4y2 -5x2y2 -9y2=y2 4x4 _5x2 _ 9-y2 4x2 -9 x212 2=y x 1 2x 3 2x

6、 -3说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。例2.2因式分解：6x 7x 5 =解：6x2 -7x -5 = 2x 1 3x -5说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。5、题型展示2 2例1.若x - y mx 5 6能分解为两个一次因式的积，则m的值为（）A. 1B. -1C. -1D. 22 2解：x - y mx 5y _ 6 = x y x _ y i 亠 mx 5y _6-6可分解成 -23或-32，因此，存在两种情况：(1) x + y-2/(2) x + y-3x-y3/x-y2由(1)可得：m =1,由(1)可得：m - -1故选

7、择C。说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积， 再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。2例2.已知：a、b、c为互不相等的数，且满足 a-c 4b-a c-b。求证：a -b 二 b - c证明： a-c2 =4b-a c-b2(a _c) _4(b_a (c_b)=0a2 -2ac c2 -4bc 4ac -4ab 4b2 = 02 2(a+c) _4bg+c)+4b2 =02二(a +c-2b) =0a c -2b 二 0a _b = b _c说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。32例3.若x 5x 7x a有一因式x 1。求a,并将原

8、式因式分解。【实战模拟】1.分解因式:(1) a2b2 16ab 39(2) 15x2n 7xnyn 1 -4y2n 2222(3) x 3x -22 x 3x 722.在多项式 x 1, x 2, x 3, x2 23, x2 2x -1, x2 2x 3，哪些是多项2422式x 2x -10 x 2x 9的因式？3.已知多项式2x3 -x2 - 13x - k有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。2 24分解因式：3x ，5xy-2y x 9 45.已知：x y = 05，x 3y = 1.2，求 3x2 12xy 9y2 的值。【试题答案】1.2(1) 解：原式=(ab) +16ab

9、+ 39 =(ab + 3ab + 13)(2) 解:原式=1 _ yn41i5xn +4ynH1)2 2(3) 解：原式二 x 3x4 x 3x18 二 x 4 x1 x 6x32.2422解： x 2x -10 x 2x 9 =Ijx2 +2x j 9 収 +2x j 1】2 2 2 2二 x 2x 3 x 2x3 x 2x 1 x 2x12 2 2= x 2x 3x 3x-1x1 x2x-122其中 x 1, x 3, x 2x 3, x 2x -1 是多项式2422x2 2x -10 x2 2x9 的因式。说明：先正确分解，再判断。3.解：设 2x3 - x2 -13x k = 2x

10、1 x2 ax b则 2x3 - x2 - 13x k 二 2x3 2a 1 x2a 2b x b”2a +1 = -1二 “a+ 2b = -13b = ka = -1解得：Jb = -6k= -6k 一6且2x3 -x2-13x-6 = 2x-1 x2-x-6 二 2x-1 x-3 x 2说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式， 已知有个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。4.解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。2 2设 3x 5xy-2y x 9y4=3x _ y m x 2y n22 t.二 3x 5

11、xy2y 亠m 3n x 2m-n y mnm 3n = 1比较同类项系数，得：2m-n = 9mn 二 -4m = 4解得：n - -12 23x 5xy-2y x 9y-4 二 3x-y 4 x-2y-15.2 2解：3x12xy9yx 8 或 x ： 3例2.如果x4 - x3 mx2 -2mx -2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。分析：应当把x4分成x2 x2，而对于常数项-2，可能分解成-12，或者分解成-21，由此分为两种情况进行讨论。解：（1）设原式分解为 x2 ax -1 x2 bx 2，其中a、b为整数，去括号，得：432x 亠a b x x 亠2a - b x - 232解：；x 5x 7x a有一因式x 1当 x 1 = 0，即 x = T 时，x3 5x2 7x a = 0a = 3x3 5x2 7x 3=x3 x2 4x2 4x 3x 3=x2