基本不等式应用-利用基本不等式求最值的技巧-知识点总结与题型分析

1、基本不等式应用一.基本不等式1. ( 1 )若 a,b R，贝U a2 b2 2ab(2)若a,bR，则 ab2 .2a b2(当且仅当a b时取“二”)2. (1)若a,bR*，则 a b2.ab(2)若a,bR*，则 a b2. ab(当且仅当ab时取“二”)(3)若a,bR*，则 ab2a b(当且仅当ab时取“二”)注：(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的 和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定 积最大”.(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应

2、用.应用一：求最值例1:求下列函数的值域1 1(1) y= 3x 2+2X2(2) y= x+x解: (1) y= 3x 2 + 2X2 2 3x 2 2； 2 = 6 值域为6 , + )(2) 当 x0 时，y=x + X 2寸x 1 = 2;当 XV0 时，y = x+ x = ( x-1 ) 2 3a 3b 2 3a b 6当3a 3b时等号成立，由a b 2及3a 3b得a b 1即当a b 1时，3a 3b的最小值是6.1 1变式：若log4x log4y 2，求-的最小值.并求x,y的值技巧六：整体代换:x y多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2

3、:已知x 0,yy的最小值0,y1 9 x y 2 9 2 xy 12 故 x y, xyX y min12 。错因:解法中两次连用基本不等式,2 xy等号成立条件是x y，在丄9 2 A等号成立条件是丄9即y 9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因x y . xyx y此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而 且是检验转换是否有误的一种方法。正解：Qx 0,y 0,1 - 1， x y x y 1 - 9x 10 6 10 16 x yx yx y当且仅当y 9x时，上式等号成立，又-1，可得x 4,y 12时，x y m. 16 x yx y变式：(1)若x,

4、 y R且2x y 1，求丄丄的最小值x y(2)已知a,b,x,y R且a b 1，求x y的最小值x y技巧七、已知x, y为正实数，且x2 += 1,求xp1 + y2的最大值.a 2 + b 2 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab0 得，Ovbv15令 t = b+1, 1 vtv 16, ab=-2t2 + 34t 312 （t + 学）+ 34v t + 学丄16t T =8ab 18当且仅当t= 4,即b= 3, a= 6时，等号成18立。 法二:由已知得：30 ab= a + 2b t a + 2b2 2 ab 令 u= ab 则 u2 +ab &2 ab2 2

5、 u 300, 5 2 uW3 21abab (a,b R )的应用、不等式的解法及运算能力；a 2b 30 (a,b R )出发求得ab的范围，关键是寻找到a b与ab之间的关系，由此想到不等式 空 ab (a,b R )，这样将已知条件转2换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.变式：1.已知a0, b0, ab (a+ b) = 1,求a+ b的最小值。2若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x, y为正实数，3x+ 2y= 10,求函数W= 3x + 2y的最值.a + b a 2 + b 2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，号 色亍，本题很简单3

6、x + 2y 0, W2 = 3x + 2y + 2.3x 2y = 10+ 2 3x 2y 10+ ( . 3x )2 - (. 2y )2 = 10+ (3x + 2y)= 20 W8abc111例 6:已知 a、b、c R，且 a b c 1。求证：-1-1-1 8 a b c分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“ 2”连乘，又丄1山空，可由此变形入手。a a a a解：Qa、b、c R ,a b c 1。1 1 迈。同理丄1辽，丄1辽aa a abb cc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得丄1 1 1 1 1辽肓上亘8。当且仅当a b c 1时取等号。a b ca b c3应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知x 0, y 0且1 - 1，求使不等式x y m恒成立的实数m的取值范围。x y解：令xyk,x 0,y0 1 9 1 x y 9x 9y 110y宝1x ykxkykkxky1031 2。 k 16,m,16kk应用四：均值定理在比较大小中的应用： 1a b例：若 a b 1,P. Iga lgb,Q (Ig a Ig b), R lg(